2.1.1不定积分的概念与性质.doc

新编经济应用数学（微分学 积分学）第五版
课题
2.1.1 不定积分的概念与性质（2学时）
时间
年 月 日
教
学
目
的
要
求
1、 掌握原函数及不定积分的概念。
2、 掌握不定积分的性质。
3、 理解和掌握不定积分的运算法则。
重点
不定积分的概念、性质、运算法则
难点
不定积分的概念、性质
教
学
方
法
手
段
讲授为主，数形结合。
启发式
主
要
内
容
时
间
分
配
一、 掌握原函数及不定积分的概念。（45分钟）
二、掌握不定积分的性质。（45分钟）
三、理解和掌握不定积分的运算法则。
作业

备注

1
2.1.1 不定积分的概念与性质

新编经济应用数学
§2.1.1 不定积分的概念与性质
微积分主要由微分学与积分学构成，前边我们讨论了微分学部分。现在我们来学习积分学，积分学中主要有两个基本概念：不定积分和定积分。前面已经介绍已知函数求导数的问题，现在我们要考虑其反问题：已知导数求其函数，即求一个未知函数，使其导数恰好是某一已知函数。这种由导数或微分求原来函数的逆运算就是我们要学的不定积分。本章将介绍不定积分的概念性质及其计算方法。
本节课我们主要来学习不定积分的概念与性质。
一、原函数和不定积分的概念
定义1 设为定义在区间 上的已知函数，如果存在一个函数，使其对有 或，
则称函数为函数在该区间上的一个原函数。
例如，因，故是的原函数，原函数与导函数是一对互逆的概念。
定理 如果函数在区间上有原函数，则+C也是在区间上的原函数，且的任一原函数均可表示成+C的形式。
定义2 若是在区间上的一个原函数，那么表达式
=（C为任意常数）
称为函数在区间上的不定积分，记为
即
其中（拉长的S）称为积分号，称为被积函数，
称为被积表达式，称为积分变量。

【例1】 求。
解 由于，所以是的一个原函数，因此

【例2】 求
解 由于，所以是的一个原函数，因此
=+C
【例3】求
解 当时， ，则在内

当时，，则在内，

故在的定义区间内，
【例4】 求过（1，2）点，且在任意一点处切线的斜率为的曲线方程。
解 由得积分曲线族，将，代入该式，有2=1+C，故C=1。所以为所求曲线方程。
二、不定积分的性质
性质 求不定积分与求导数（或微分）互为逆运算。
，或
，或

三、不定积分的运算法则
法则1求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即
（是常数，且）。
法则2两个函数之和的不定积分等于这两个函数的不定积分之和 ，
即

这个性质可推广到有限个函数。

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2.1.1 不定积分的概念与性质