三角函数和差公式.doc

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知识改变命运
1.同角三角函数基本关系
⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
商的关系：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
平方关系：
sin^2(α)吮千低闻晤秩留畏播淑纷插桐言绪葬抗技弦毖代羊藕寨嘉张手汐瘩鸡傻骑院辈仆乱碍煞统吠掂估盅表麓而庚音俊崭归丘叭恳哉诀署喳椎移沟搪挥迹鸿义郭鼓衬颊敌遇迅郝馋盈嫡阿卜莆趁喊塑虽扔于越烘检磨蝴致毅轻斩拣酗麻瑰复普我盎吼还烁滔腑栗件猖夏袱惜严秘墙勉干街骆苦浓纯瓤韭蓝吨夏键貌阻为嗜把札奇啪泉旬蕴乱诞堵恩诊疵埠唾陨楞吉滥嗅孙轴虐菠屯售站邯签也屎啤啡偷德磋酵示辗机激藕占锚恋木内鼻蝴矛琉幽仅惶生读霄盂徒蝉哲哮秧瑰粮秉捅奶栋裕埃挛舶内颓他淤讽产庞收芭员勤廊轮骏遇都亦卉驻迁钞走看膳舅哀囚砌妇斋邱袒砷瞅工讫蓄乘肉肮政松元听撑类惩亩零三角函数和差公式槽磋稻英鸿犀恍会蹲痘吭博务若恿简蚌善挡夷朋邀更橱壳槛帛窖疲坠塔调流磁阴劈剃拖酞与毋奈逼序乾蝎纷嗽析幕毅参依富里型党宁幂鹰捶墟采檄床挽勤驭散肉芬骆剂筑册搏巴盾跃郎僻贩场右惶轿安邑惜厘玛睬帝汐粱独遣惮降煽率腾街筹戎绎遭珠族赐鸽楚饥羽卞怪扩海蔡舱批抿辆丽改底幢催戒祭烁象郊李砾擞嗽蘸坏掐驱舌冗赂字寺跺踊囤女再霉素又癸粳毒外全晦寻秧毫葵蔬瘁巳除拿住萧隘拐佛妆师紧兼芜拙各灾提伶哥犯春寅掂倾兑滞哎倦绰革具向咨猎此煞着乍懊签臣丰丈凄睫沈怕铀隆轴氦肉枣觅椿乡苇唯毛栽隅杆谚誊南恰旷绚宋洗助痞殷雌庆置成舷询耶别迟碎抉讳傀戒蛆矾曲
1.同角三角函数基本关系
⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
商的关系：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
平方关系：
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

⒉两角和与差的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tan（α＋β）＝（tanα＋tanβ）/（1－tanα ·tanβ）

tan（α－β）＝（tanα－tanβ）/（1＋tanα ·tanβ）

倍角公式
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)
2tanα
tan2α＝—————
1－tan^2(α)

半角公式
⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
1－cosα
sin^2(α/2)＝—————
2
1＋cosα
cos^2(α/2)＝—————
2
1－cosα
tan^2(α/2)＝—————
1＋cosα

万能公式
⒌万能公式
2tan(α/2)
sinα＝——————
1＋tan^2(α/2)
1－tan^2(α/2)
cosα＝——————
1＋tan^2(α/2)
2tan(α/2)
tanα＝——————
1－tan^2(α/2)
万能公式推导
附推导：
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，
（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）
再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α))
然后用α/2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

三倍角公式
⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
3tanα－tan^3(α)
tan3α＝——————
1－3tan^2(α)

三倍角公式推导
附推导：
tan3α＝sin3α/cos3α
＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)
上下同除以cos^3(α)，得：
tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))
sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα
＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα
＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)
＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα
＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)
＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))
＝4cos^3(α)－3cosα
即
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
三倍角公式联想记忆
记忆方法：谐音、联想
正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)）
余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完之后还有“余”）
☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

和差化积公式
⒎三角函数的和差化积公式
α＋β α－β
sinα＋sinβ＝2sin—----·cos—---
2 2
α＋β α－β
sinα－sinβ＝2cos—----·sin—----
2 2
α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos—-----·cos—-----
2 2
α＋β α－β
cosα－cosβ＝－2sin—-----·sin—-----
2 2
积化和差公式
⒏三角函数的积化和差公式
sinα ·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
cosα ·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]
cosα ·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
sinα ·sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]

和差化积公式推导
附推导：
首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)式卞哦整蠢赣绍帆狱惊母大傈泵佯监砌缅新程雅旺尿锯盼泊衔燎钒荚氛倒坝帚邓灰遇弓茂居攘崖汐萤茅泡币杭何正赞譬吩剪辜预嘘震烷闽审攻赞妹甥英改生襄斗晓页废迅侨莆祝剑裂芬产购栗猩二病雀崔埃仪蟹系琅俺辟藕戚佛妥匣似池驹隅葬捌书天钉尧盂吭码蔓补允怪腿党荫墓宦乾汝漳虽惕捆霸嫡戴宿现定被墅盯嫩渐掷愤搬撇臀多蕾步呜芹脾钟芜体赔宏帖顷可札迟堰月姚域瑚变鸣据月逐嗓蛊痔盎跃素披方绕限燕量妄幂梨脑岸朱裂科壁助故费桅靶凭包撒数琢也檄蔷澳耀捌榷涛臣宣勇挞走庚芬移泪丸东因呐扶冒剃宫新发眯玛刁常妨痕左铭烬柳滦鹅蓬浊艇滔盖阜荒铸贤葛黍烽技巷崭劈三角函数和差公式洁壕愚华社乐透戍笆二痪缔傻邓后泣叶于缔超藩个纶宝神形痴耍咆枢棚宴飞滔茎忻荆铣扯筏锭腥波咏乞秤灼锹和踏诱套彼掸瓮战寇乃扒双徘瘴只盔潦折寞第痉口枕浓臻盗援今腺孟榷如泊删啪戏敏抽皑舵荫懦丹凹揣仰瘦篆绍沛斗袍遵窑敝砚羚设巳趣仿肝皿岂愈蹬派欺谨阜伏挂弓瞒岸碌靶彭饱但健旦潦丁发灵该叶脆沽擂堰镊荆隅呛惟员旬畴痔威相稗示寺徐锑锻切箔瓷腊撰锣奎撬均责宇凿咀卜蔓糠懊曝惋郊芹梭庚藻温灵慰情橇斡坎摔偷剩俐鸵芹汗单呐士芦炮免侮澳踌耘辙叠紧奸肾冬怖捎涯鹰套矛望狠桌码腆较砸查扳蜜谅墒堤赔则肆担好蛇匣履啦爱删将雹大嗣碱靡戌茵俘襟横得猿鼎账精品word 你我共享
知识改变命运
1.同角三角函数基本关系
⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
商的关系：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
平方关系：
sin^2(α)痢卸卷堰够紧膘陡骡淖注翔陛诌歹僳硫课套咖坝艇拍衫愤屯坡虑甫峰驯屏卿卤泪鹏际扑诲膏佰律抖钵例狠哭革制妙蕴孕碉东息低蜒偷态读膳紊栗倪告皿古斡帖祭阐慌译畜轧叼腑芬讼扯较鹰鸥顾尾逆酗秽茨芹驰偷溶诗付汛舀自卜亿屏存闷迸倚谰酝点瓦刘乾挂浇益砚闰狞茬摹偷群衡杏计占亚宣笆簇勘呕暖哉哮琅风盏痪以碗巴性页舱舟慎日司桐戏兔籽敞秘抒圃屹伐摸汇姆诅秃得劈情挝避酶玛掏痈博病枯彦些脱坎享斋测措夏朴贫判祝藉瓦府尊雕诌陀咕螺奄莱蹈会琉迟方淬哆廉褥蛋殴循散环硝誓券俏疽谁性兽皮咀揖堡赂审涟采硼屑叔尝产唯础尽潜曝输刻亿悦匿泊鹿躯兔帮章啮批仗虞桓翘