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基于MATLAB下的PID控制仿真

【摘要】自动化控制的参数的定值控制系统多采用P、I、D的组合控制。本文通过MATLAB软件用于直流伺服电机对单位阶跃信号输入的PID控制进行动态仿真，显示了不同作用组合和不同增益设置时的动态过程，为系统控制规律的选择和参数设定提供了依据。

【关键词】自动化控制 仿真 直流伺服电机 MATLAB PID

【引言】现代自动化控制中，参数的自动控制占有很大的比例，这些控制多采用P、I、D的组合。通常情况下，对系统的动态过程利用微分方程经拉普拉斯变换导出时间函数，可得到输出量的时间函数，但要得到系统的动态响应曲线，其计算量庞大。因而在一般情况下对控制结果很难得到精确的预见。
矩阵实验室（Matrix laboratory,MATLAB）软件是一个适用于科学计算和工程应用的数学软件系统，历尽20多年的发展，现已是IEEE组织认可的最优化的科技应用软件。该软件有以下特点：数值运算功能强大；编程环境简单；数据可视化功能强；丰富的程序工具箱；可扩展性能强等。
在本文中以工程控制中常用的直流伺服电机的自动控制为例，演示MATLAB编程在自动控制系统动态仿真中的应用。
【理论推断】
1.直流伺服电机模型
1.1直流伺服电机的物理模型

图1 直流伺服电机的物理模型
---电枢输入电压（） ---电枢电阻（） ---电枢电感（H）
---感应电动势（） ---电机电磁转矩（N） J---转动惯量（）
B---粘性阻尼系数（） ---流过电枢的电流（A）
---电机输出的转角（）
本文所采用的直流伺服电机的物理模型和参数如图1所示。
1.2直流电机的数学模型
1.2.1基本方程
根据基尔霍夫定律和牛顿第二定律对图1所示的电机列基本方程：
①
②
③
④

式中：为电机的转动常数（）；为感应电动势常数（）
1.2.2电机的传递函数
对上式进行拉普拉斯变换，得：

设，则图1所示的伺服直流电机模型的方框图如图2所示

图2 直流伺服电机模型方框图
消去方程组（2）的中间变量，整理得

即G(S)为图2所示系统的开环传递函数

设图2中的系统参数如下：

2.MATLATB 仿真
利用MATLAB软件对自动控制系统进行仿真的方法有多种，本文介绍一种比较简单的方法Mfile 方法，即新创建一个M程序文件，然后将其在MATLAB Windows 主界面内运行，MATLAB软件会自动绘制出系统对外界输入的响应曲线。
2.1仿真系统的要求
图1所示的直流伺服电机的电枢在外加控制电压前是停转状态的，当电枢外加阶跃电压后，由于电枢绕组有电感，电枢电流不能突然增加，有一个电气过程，响应的电磁转矩的增加也有一个过程。但是，为了满足自动控制系统快速响应的要求，只有伺服电机的转速变化应能够快速跟上控制信号的变化。所以本文所述系统（图2）要求在电压输入端输入单位阶跃电压（1V）后，直流伺服电机的转轴应能输出1rad转角，且该系统应同时满足下列要求：系统调整时间ts<40ms，最大超调量MP<15%,系统稳态误差ess=0.
2.2系统阶跃输入响应仿真
首先创建一个MATLAB文件motor.m，即将直流电机的传递函数转换为MATLAB可执行的命令。文件motor.m的内容如下：

J=3.23E-6;
B=3.51E-6;
Ra=4;
La=2.75E-6;
Kt=0.03;
num= Kt;
den=[(J*La) ((J*Ra)+(La*B)) ((B*Ra)+Kt*Kt) 0];
t=0:0.001:0.2;
step(num,den,t);
现在，在MATLAB的主界面中输入motor后，就可以得到直流伺服电机对单位阶跃输入的响应曲线，如图3所示。

图3 系统阶跃响应（Kp=10）
图3显示的结果是图4所示开环系统对单位阶跃输入的响应，即直流伺服电机输入1V单位阶跃电压时，电机的转轴输出呈直线性上升。这个分析结果表明，该系统没有达到预期的设计要求。

U(s)
U(s)

图4 开环系统对单位阶跃输入的响应
2.3 PID校正
为了使系统能够达到设计要求，可以在图4的前向通道上设置一个控制构成闭环系统来校正直流伺服电机，如图5所示。

图5 PID校正
2.3.1 比例控制校正
为能在要求的40ms内达到设定的角位移，比例增益尽可能的大，以提高比例作用的强度，但必须同时考虑系统的稳定性。采用单纯的比例控制，器调整时间和超调量是一对矛盾，无法同时满足，要缩短调整时间，Kp要加大，但超调量也同时加大了。经过多次参数选择，但Kp=10时，阶跃响应曲线较为理想，呈现解决0.75衰减率的震荡过程。
在图5的前向通道G(s)前加一个比例控制器，即G（c）=Kp，令Kp=10，则motor1为：
J=3.23E-6;
B=3.51E-6;
Ra=4;
La=2.75E-6;
Kt=0.03;
num= Kt;
den=[(J*La) ((J*Ra)+(La*B)) ((B*Ra)+Kt*Kt) 0];
t=0:0.001:0.2;
step(num,den,t);
Kp=10;
numcf=[Kp];
dencf=[1];
numf=conv(numcf,num);
denf=conv(dencf,den);
[numc,denc]=cloop(numf,denf);
t=0:0.001:0.1;
step(numc,denc,t);

图6 系统阶跃响应（Kp=10）
在MATLAB界面下运行motor1得到图6，由图可知，此时的超调量为50.6%，40ms时的稳态误差为0.248，均不能满足设计要求，特别是调节过程，100ms后才能逐步进入稳态。
经过上述分析，对图6所示的动态过程，首先要采取采取措施缩短调整时间，减小超调量。
2.3.2比例微分控制校正
微分作用具有超前控制能力，可抑制最大动态偏差，提高系统的稳定性。但微分作用有不能单独使用，因为它的输出仅和偏差的变化速度有关。现将比例和微分控制结合使用，取长补短，组成PD控制器。
加入微分控制后，控制器的传递函数为Gc（s）=Kp+Kds，令Kp=10、Kd=0.2，得motor2文件如下修改：
J=3.23E-6;
B=3.51E-6;
Ra=4;
La=2.75E-6;
Kt=0.03;
num= Kt;
den=[(J*La) ((J*Ra)+(La*B)) ((B*Ra)+Kt*Kt) 0];
t=0:0.001:0.2;
step(num,den,t);
Kp=10;
Kd=0.2;
numcf=[Kd Kp];
dencf=[1];
numf=conv(numcf,num);
denf=conv(dencf,den);
[numc,denc]=cloop(numf,denf);
t=0:0.001:0.04;
step(numc,denc,t);

图7 系统阶跃响应（Kp=10，Kd=0.2）
运行motorm2文件，系统的阶跃响应曲线如图7所示，由图可知，此时动态过程的品质指标大幅度提高，其超调量、调整时间等均能满足设计要求，只是在调整时间范围内的稳态误差（1~0.992）尚需进一步减小。
由于加入了D作用，系统的稳定性提高了，可适当增加比例增益Kp以减小稳态误差，通常可将Kp提高20%左右。
令Kp=12、Kd=0.2，修改参数后再次模拟，得到图8所示的响应曲线，和图7相比，其稳态误差（1~0.997）减小了。

图8 系统阶跃响应（Kp=12，Kd=0.2）
2.3.3PID控制器校正
从比例、微分作用的原理可知，PD作用无法完全消除稳态误差。为此，在PD作用的基础上加入积分作用，以便稳态误差减至0。
加入积分控制后，控制器的传递函数

令Kp=12、Kd=0.2、Ki=220，得motor4程序文件如下：
J=3.23E-6;
B=3.51E-6;
Ra=4;
La=2.75E-6;
Kt=0.03;
num= Kt;
den=[(J*La) ((J*Ra)+(La*B)) ((B*Ra)+Kt*Kt) 0];
t=0:0.001:0.2;
step(num,den,t);
Kp=12;
Ki=220;
Kd=0.2;
numcf=[Kd Kp Ki];
dencf=[1 0];
numf=conv(numcf,num);
denf=conv(dencf,den);
[numc,denc]=cloop(numf,denf);
t=0:0.001:0.04;
step(numc,denc,t);

图9 系统阶跃响应（Kp=12，Ki=220，Kd=0.2）
运行motor4得到如图9所示的阶跃响应曲线。由曲线可知在40ms处的稳态误差为（1~1.03），未达到设计要求。同时其响应过程产生过调，究其原因，是积分作用太强而产生了过调或震荡负面影响，考虑到原PD控制时其稳态误差已很小，稍有积分作用即可，于是将Ki设为20.，得到motor5文件，运行得到图10所示的曲线，超调量为0，在35.2ms处的稳态误差已为0，性能远高于设计要求，稳定、准确、快速达到了完满的统一。

图10 系统阶跃响应（Kp=12，Ki=20，Kd=0.2）

【结语】
通过上述的实例的演示可知，当采用不同控制方式及改变控制增益时，MATLAB都能准确、清晰地测绘出直流伺服电机对单位阶跃的输出响应曲线图，且具有很高的量化精度，同时也说明了MATLAB软件功能的强大，这种预见性，为系统控制规律的选择和参数设定提供了直观而准确的依据。
通过本次对PID控制仿真，我们掌握了P、I、D的组合控制，通过MATLAB软件用于直流伺服电机对单位阶跃信号输入的PID控制进行动态仿真，显示了不同作用组合和不同增益设置时的动态过程，为系统控制规律的选择和参数设定提供了理论依据。

【参考文献】
[1]张志勇、杨祖樱 《MATLAB教程》 北京航空航天大学出版社
[2]黄坚 《自动控制原理及其应用》 高等教育出版社
[3]魏克新 王云亮 《MATLAB语言与自动控制系统设计》 机械工业出版
[4]梅晓榕 《自动控制原理》 科学出版社
[5]郑阿奇 《MATLAB实用教程》 电子工业出版社

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