概率统计习题.doc

习题一
1．设、、是某一随机试验的3个事件，用、、的运算关系表示下列事件：
（1）、、都发生；
（2）、、都不发生；
（3）与发生，而不发生；
（4）发生，而与不发生；
（5）、、中至少有一个发生；
（6）、、中不多于一个发生；
（7）与都不发生；
（8）与中至少有一个发生;
（9） 、、中恰有两个发生.
2．将一颗骰子连掷两次，观察其掷出的点数．令 =“两次掷出的点数相同” ， =“点数之和为10” ，=“最小点数为4” ．试分别指出事件 、 、以及 、 、 、 、 各自含有的样本点．
3．在一段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是0次，1次，2次，… ．记事件
（k = 1 ，2 ，…）表示“接到的呼唤次数小于k” ，试用间的运算表示下列事件：
（1） 呼唤次数大于2 ；
（2） 呼唤次数在5到10次范围内；
（3） 呼唤次数与8的偏差大于2
4．下列命题是否成立,并说明理由:
(1) (2)
(3) (4)
(5) 若,则 (6)若则
5．事件、、两两互不相容与是否为一回事?为什么?
6.设、、是3个事件,

,求、、中至少有一个发生的概率.
7. ,求,.
8．设 、 、是三个随机事件，且有 ， ， = 0.8 ，求．
9．将10本书任意放到书架上，求其中仅有的3本外文书恰排在一起的概率
10.10个号码:1号,2号,…,10号,装于一袋中,从中任取3个,按从小到大的顺序排列,求中间的号码恰好我5号的概率.
11.从一批由35件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率.
12. 一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n<N）.试求其中恰有m件（m≤M）正品（记为A）的概率.如果：
（1） n件是同时取出的；
（2） n件是无放回逐件取出的；
（3） n件是有放回逐件取出的.
13．两封信随机地投入四个邮筒，求前两个邮筒内没有信的概率．
14.同时抛枚硬币,求至少有一枚出现正面的概率.
15. 一个袋内装有大小相同的10个球，其中4个是白球，6个是黑球，从中一次抽取3个，
计算至少有两个是白球的概率.
16．某货运码头仅能容一船卸货,而甲已两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时．设甲、乙两船在24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率．
17.50个零件,其中48个精度合格,45个表面粗糙度合格,44个精度和表面粗糙度都合格.现从中任取一个,已验得其表面粗糙度合格,问其精度合格的可能性多大?
18.已知,,,求.
19．设，．问 (1) 什么条件下可以取最大值，其值是多少？(2) 什么条件下可以取最小值，其值是多少？
20．由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记为事件）的概率为 ,刮风（记为事件）的概率为，既刮风又下雨的概率为．求

21.某人有5把钥匙,其中两把可以打开门,从中随机取一把试开房门,求第三次才打开门的概率.
22. 一猎人用猎枪向一野兔射击,第一枪距离野兔200m远，如果未击中，他追到离野兔150m处第二次射击，如果仍未击中，他追到距离野兔100m处进行第三次射击，此时击中的概率为.如果这个猎人射击的命中率与他到野兔的距离的平方成反比,求猎人击中野兔的概率.
23.已知某种疾病的发病率为0.1%, 该种疾病患者一个月以内的死亡率为90%；且知未患该种疾病的人一个月以内的死亡率为0.1%；现从人群中任意抽取一人，问此人在一个月内死亡的概率是多少？若已知此人在一个月内死亡，则此人是因该种疾病致死的概率为多少？
24. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？
25. 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？
26．设一箱产品共100件，其中次品个数从0到2是等可能的．开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收．
（1）求该箱产品通过验收的概率；
（2）若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率
27．某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”、“一般的”、“冒失的”。统计资料表明，上述3种人在一年内发生事故的概率依次为0.05、0.15和0.30；如果“谨慎的”被保的人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%.
(1 ) 求被保险的人一年内出事故的概率。
（1） 现知某被保险的人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？
28. 甲、乙、丙3人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人
击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击
中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.
29..电路由电池与两个并联的电池、串联而成,设电池、、损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路发生断电的概率.
30.三人独立地破译一份密码,已知每人能破译的概率分别是,求密码能被破译的概率.

31.某类灯泡试用时间在1000小时以上的概率为0.2,求3个灯泡在使用1000小时以后:
(1)都没有坏的概率.
(2)坏了一个的概率.
(3)最多只有一个坏了得概率.
32. 某工厂生产的仪器中一次检验合格的占60 ％ ，其余的需重新调试． 经重新调试的产品中有80 ％ 经检验合格，而20 ％ 会被判定为不合格产品而不能出厂．现该厂生产了200台仪器，求下列事件的概率：
（1） 全部仪器都能出厂；
（2） 恰有10台不合格.
33.甲乙两人投篮命中率分别为0.7和0.8,每人投篮3次,求
(1)两人进球数相等的概率.
(2)甲比乙进球数多的概率.
34.假设每个人的生日在任何月份都是等可能的,已知某单位中至少有一人的生日在一月份的概率不小于0.96,问这个单位有多少人?
35．某自动化机器发生故障的概率为0.2，如果一台机器发生故障只需要一个维修工人去处理，因此，每8台机器配备一个维修工人，试求：
(1) 维修工人无故障可修的概率；
（2）工人正在维修一台出故障的机器时，另外又有机器出故障则待维修. 如果认为每四台机器配备一个维修工人，还经常出故障得不到及时维修。那么，四台机器至少应配备多少个维修工人才能保证机器发生了故障待维修的概率小于3%．
36*.巴拿赫火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根．试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少（r=1,2,3，┄，N）？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又是多少？

习题二
1. 设随机变量的分布律为.

(1) 求常数; (2)求概率;(3)求概率.
2. 设随机变量的分布律为,求c的值.
3. 盒中有5只球,分别编号为1、2、3、4、5号.在从盒中同时取出3只球,用表示取出的3只球中最大的编号,写出的分布律.
4. 抛一枚硬币,直到出现正面为止,求抛的次数的分布律.
5 .一批零件中有9个正品和3个次品,现从中任取一个,.如果每次取出的是次品,则不再放回,再取下一个,直到取到正品为止,求在取到正品以前已取得出的次品数的分布律.
6. 10门炮同时向敌舰各射击一发炮弹,当有不少于两发炮弹击中时,敌舰将被击沉,设每门炮射击一发炮弹的命中率为0.6,求敌舰被击沉的概率.
7.某街道有10部公用电话,调查表明在任一时刻每部电话被使用的概率为0.85,求在同一时刻
(1)被使用的电话部数的分布律;
(2)至少有8部电话被使用的概率;
(3)至少有一部电话未被使用的概率;
(4)为保证至少有一部电话不被使用的概率不小于90%,应再安装多少部公用电话?
8.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：
（1） 两人投中次数相等的概率;
（2） 甲比乙投中次数多的概率.
9.一电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分布,求
(1)每分钟恰有3次呼唤的概率;
(2)每分钟呼唤次数大雨 的概率.
10. 某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书
中恰有5册错误的概率.
11. 有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡
的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险
公司领取2000元赔偿金.求：
（1） 保险公司亏本的概率;

（2） 保险公司获利不少于10000元的概率.
13.某射手射击一个固定目标,每次命中率为0.3,每命中一次记2分,否则扣1分,求两次射击后该射手得分总数的分布函数.

14.已知随机变量的分布函数为求的分布律.

15. 已知随机变量X的密度函数为
f(x)=Ae-|x|, -∞<x<+∞,
求：（1）A值；（2）P{0<X<1}; (3) F(x).
16.已知随机变量X的密度函数为,求
(1) ,(2) ,分布函数.
17. 连续型随机变量的分布函数为
（1）试确定常数a,b,c,d的值
（2）.
18. 在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.
19.某条线路的公共汽车每隔15min发一班车，某人来到车站的时间是随机的，问此人在车站至少要等6min才能上车的概率是多少？
20. .设随机变量在(0,5) 上服从均匀分布,求关于的一元二次方程有实根的概率.
21. 某类节能灯管的使用寿命(单位:h) 服从参数为的指数分布，任取一根灯管，求
（1）能正常使用1000h以上的概率；
（2）正常使用1000h后还能使用1000h以上的概率.

22.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.
23. 设X~N（3，22），
（1） 求P{2<X≤5}，P{-4<X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3};
（2） 确定c使P{X＞c}=P{X≤c}.
24. 已知,求.
25.设测量两地间的距离带有随机误差，其概率密度函数为

试求（1）测量误差的绝对值不超过30的概率；
（2）接连测量3次，每次测量相互独立进行，求至少有一次绝对误差不超过30的概率.
26.某城市男子身高,
(1)问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01;
(2)若车门高为182cm,求100个男子中与车门碰头的人数不多于2个的概率.
27. .设随机变量X的分布律为
X
-2 -1 0 1 3
Pk
1/5 1/6 1/5 1/15 11/30
求Y=X2的分布律.
28. 设随机变量,求的分布律.
29. 设随机变量的分布律为求的分布律.
30.设,求的概率密度.
31.随机变量的概率密度为,求概率密度函数
32.测量球的直径,设直径服从上的均匀分布,求球体积的概率密度.
习题三

1. 盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，在其中任取4个球，以X表示取到黑球的个数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.
2. 将一颗骰子连掷两次，令为第一次掷出的点数，为两次掷出的最大点数，求的联合分布律和边缘分布律.
3.设二维随机变量的联合分布函数为
F（x，y）=
求二维随机变量（X，Y）在长方形域内的概率.
4. 设的联合密度为

（1） 求常数；（2） 求的分布函数；
（3） 求 与
5.设随机变量的概率密度为
f（x，y）=
（1） 确定常数k；
（2） 求P{X＜1，Y＜3}；
（3） 求P{X<1.5}；
（4） 求P{X+Y≤4}.
6.设X和是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为
fY（y）=
求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.

7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
F（x，y）=
求（X，Y）的联合分布密度.
8.设二维随机变量的概率密度为
f（x，y）=
求边缘概率密度.

9. 设的联合密度为

求边缘概率密度.
10. 设二维随机变量的联合密度函数为

（1） 求随机变量的密度函数 ；
（2） 求概率 ．
11.袋中有5个号码1，2，3，4，5，从中任取3个，记这3个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.
（1） 求X与Y的联合分布律；
（2） X与Y是否相互独立？
X
Y

2 5 8

0.4
0.8
0.15 0.30 0.35
0.05 0.12 0.03
12.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为
（1）求关于X和关于Y的边缘分布；
（2） X与Y是否相互独立？

13.设X和是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为
fY（y）=
（1）求X和的联合概率密度；
（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.
14.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率.
15. 甲、乙相约9：10在车站见面．假设甲、乙到达车站的时间分别均匀分布在9：00 ～ 9：30及9：10 ～ 9：50之间，且两人到达的时间相互独立．求下列事件的概率：
（1） 甲后到；
（2） 先到的人等后到的人的时间不超过10分钟．
16.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布.
17.设随机变量（X，Y）的分布律为
X
Y

0 1 2 3 4 5

0
1
2
3
0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09
0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08
0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06
0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05
(1) 求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；
（2） 求V=max（X，Y）的分布律；
（3） 求U=min（X，Y）的分布律；
（4） 求W=X+Y的分布律.
18.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布.
设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.
19.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度？

20.设二维随机变量的分布律为与相互独立，求的值
Y
X
y1
y2
y3
x1
a
1/9
c
x2
1/9
b
1/3

21.设随机变量X和相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.
X
Y

y1 y2 y3
P{X=xi}=pi

x1
x2
1/8
1/8

P{Y=yj}=pj
1/6
1

22*.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0<p<1），且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布..

23. 设 与相互独立且，.求的概率密度函数.
24．设与相互独立且都服从（0 ，a）上的均匀分布，求随机变量的概率密度函数.
25设 的概率密度为,求的概率密度.
*26.设随机变量与的概率分布分别为

-1
0
1

1/3
1/3
1/3

0
1

1/3
2/3

且

求：（1）二维随机变量的分布律；（2）Z=XY的分布律.

习题4
1、填空题
(1).若的分布函数为，则的数学期望（ ）.
(2).设随机变量且，则（ ）.
(3).设随机变量，则（ ）.
(4).设随机变量服从泊松分布，且，则（ ）.
(5).若随机变量X的概率密度为，则（ ）.
(6).设的密度函数为，则的方差＝（ ）.
(7).设，令，则的方差＝（ ）.
(8).设的协方差，且，则（ ）.
(9).设，，令，则（ ）
2、选择题
(1).已知随机变量服从二项分布，且，则参数的值为（ ）.

(2).已知随机变量的数学期望为，则必有（ ）.

(3).设X服从泊松分布，且，则 （ ）.

(4).设随机变量的分布密度为 , 则 （ ）.

(5)．对于两个随机变量X与Y，若，则（ ）.

(6).设为不为零的常数，随机变量X与Y的协方差为，令，则的协方差为（ ）.

(7).设随机变量独立同服从参数为的指数分布。令,则（ ）.

3.设随机变量X的分布律为
X
-1 0 1 2
P
1/8 1/2 1/8 1/4
求E（X），E（X2），E（2X+3）.
4.设随机变量X的分布律为
X
-1 0 1
P
p1 p2 p3
且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.

5．某人有n把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数X的数学期望．
6．设5次重复独立试验中每次试验的成功率为0.9，若记失败次数为X，求X 的数学期望.
7．设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布．据统计，在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的 ，求该地每年因交通事故死亡的平均人数.
8．设随机变量X在区间上服从均匀分布，求.
9．设连续型随机变量X的概率密度为

又知,求的值
10．设随机变量X 的概率密度为

求数学期望.
11*．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利润是多少？
12.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.
（1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ -4X.
13.设随机变量X的概率密度为

f（x）=
求E（X），D（X）.
14.设某公共汽车站在5分钟内的等车人数服从泊松分布，且由统计数据知，5分钟内的平均等车人数为6人,求.
15.已知随机变量X的概率密度为

(1)设,求. (2)设,求 .
16*.设随机变量X和Y同分布，均具有概率密度

令已知A与B相互独立，且.试求：（1）a的值.（2）的数学期望.
17. 设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为

求.
18.设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为

试求.

19.设随机变量X,Y的概率密度分别为

求.
20.设随机变量X与Y相互独立，且，求
21.将一颗均匀的骰子连掷10次，求所得点数之和的数学期望及方差。
22.设（X,Y）的概率密度函数为

求cov(X ,Y).
23.设(X,Y)的联合概率分布为
X Y -1 0 1
0 0.1 0.2 0.1
1 0.2 0.3 0.1
求
24*.设X与Y是相互独立的两个随机变量，且均服从参数为的指数分布。试求随机变量的协方差。.
25.设随机变量X与Y均服从标准正态分布，相关系数为0.5.求
26.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY.

27.设随机变量U在区间[ -2,2]上服从均匀分布，随机变量
X= Y=
试求D（X+Y）.
28.设随机变量X和Y的联合概率分布为

Y
X

-1 0 1

0
1
0.07 0.18 0.15
0.08 0.32 0.20
试求X和Y的相关系数.
29 某餐厅每天接待400名顾客，设每位顾客的消费额（元）服从（20,100）上的均匀分布，且顾客消费额是相互独立的。试求：
（1）该餐厅每天的营业额；
（2）该餐厅每天的营业额在平均营业额±760元内的概率。
30.某公司生产的电子元件合格率为99%。装箱出售时：（1）若每箱中装1000只，不合格品在2到6只之间的概率是多少？（2）若要以99.5%的概率保证每箱中合格品数不少于1000只，每箱至少应多装几只这种电子元件？
习 题五
1．设X是掷一颗骰子所出现的点数，若给定e=1，2 ，实际计算并验证切比雪夫不等式成立．
2．已知正常成人男性每升血液中的白细胞数平均是7.3ⅹ109，标准差是0.7 ⅹ109．试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在5.2ⅹ109至9.4ⅹ109之间的概率的下界.
3．将一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X，.试估计．
4．.设随机变量X与Y的数学期望均为2,方差分别为1和4，而相关系数为0.5，试用切贝雪夫不等式估计．
5．设事件Ａ发生的概率记为P, P未知，若试验1000次，用发生的频率替代概率P，估计所产生的误差小于10%的概率为多少？
6. 随机变量序列X1 ，X2 ，… ，Xn ，…相互独立同分布N（m ，），当n充分大时，可否认为近似服从正态分布N（nm ，n），为什么？

7．设随机变量序列 X1 ，X2 ，… ，Xn ，…相互独立同分布，其概率密度
i=1,2, …, 问它们是否满足中心极限定理，为什么？
8．一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间，每个部件损坏的概率为0.1为了使整个系统起作用，至少需有85个部件。求整个系统工作的概率。
9．设有30个电子器件，它们的使用寿命（单位：小时）T1,T2,…,T30服从参数λ=0.1的指数分布。其使用情况使第一个损坏第二个立即使用，第二个损坏第三个立即使用等等。令T为30个器件使用的总时间，求T超过350小时的概率。. 10．抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受，。问应检查多少产品才能使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9.
11．某商店负责供应某地区1000人的某种商品，设该商品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6,并假设这段时间内各人购买与否彼此无关，问商店应准备多少这种商品才能以99.7%的概率保证该商品不脱销？
12*．某运输公司有500辆汽车参加保险，在一年内汽车出事故的概率为0.006，参加保险的汽车每年交保险费800元，若出事故保险公司最多赔偿50000元，试利用中心极限定理计算，保险公司一年赚钱不小于200000元概率.

（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）