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公差分析

一、误差与公差
二、尺寸链
三、形位公差及公差原则

一、误差与公差
（一）误差与公差的基本概念
1. 误差
误差——指零件加工后的实际几何参数相对于理想几何参数之差。
（1）零件的几何参数误差分为尺寸误差、形状误差、位置误差及表面粗糙度。
尺寸误差——指零件加工后的实际尺寸相对于理想尺寸之差，如直径误差、孔径误差、长度误差。
形状误差（宏观几何形状误差）——指零件加工后的实际表面形状相对于理想形状的差值，如孔、轴横截面的理想形状是正圆形，加工后实际形状为椭圆形等。
相对位置误差——指零件加工后的表面、轴线或对称面之间的实际相互位置相对于理想位置的差值，如两个面之间的垂直度，阶梯轴的同轴度等。
表面粗糙度（微观几何形状误差）——指零件加工后的表面上留下的较小间距和微笑谷峰所形成的不平度。
2. 公差
公差——指零件在设计时规定尺寸变动范围，在加工时只要控制零件的误差在公差范围内，就能保证零件的互换性。因此，建立各种几何公差标准是实现对零件误差的控制和保证互换性的基础。

（二）误差与公差的关系
公差
零件误差

零件误差

图1

由图1可知，零件误差是公差的子集，误差是相对于单个零件而言的；公差是设计人员规定的零件误差的变动范围。

（三）公差术语及示例

图2
以图2为例：
基本尺寸——零件设计中，根据性能和工艺要求，通过必要的计算和实验确定的尺寸，又称名义尺寸，图中销轴的直径基本尺寸为Φ20，长度基本尺寸为40。
实际尺寸——实际测量的尺寸。
极限尺寸——允许零件实际尺寸变化的两个极限值。两个极限值中大的是最大极限尺寸，小的是最小极限尺寸。
尺寸偏差——某一尺寸（实际尺寸，极限尺寸）减去基本尺寸所得到的代数差。
上偏差=最大极限尺寸-基本尺寸，用代号（ES）（孔）和es（轴）
下偏差=最小极限尺寸-基本尺寸，用代号（ES）（孔）和es（轴）
尺寸公差——允许尺寸的变动量
尺寸公差=最大极限尺寸-最小极限尺寸
公差带
零线——在极限与配合图解中，标准基本尺寸是一条直线，以其为基准确定偏差和公差。通常，零件沿水平方向绘制，正偏差位于其上，负偏差位于其下，如下图。

图3公差带图解
公差带——在公差带图解中，由代表上极限偏差和下极限偏差的两条直线所限定的一个区域。它是由公差带大小和其相对零线的位置来确定。

二、尺寸链
尺寸链——在机器装配或零件加工过程中，相互有联系的尺寸按照一定顺序形成的封闭的尺寸组。

图4尺寸链
上图尺寸链中：A1、A2、A3、A4、A5、A6为组成环，X为闭环。
封闭环——加工或装配中最后自然形成的、需要保证的的那个尺寸。
组成环——尺寸链中封闭环以外的其他环（在尺寸链中是已知量）
组成环又分为增环和减环
增环——当某一组成环增加（减小），其他组成环都不变时，封闭环也增加（减小）。
减环——当某一组成环减小（增加），其他组成环都不变时，封闭环增加（减小）。
尺寸链建立
1、确定要计算的目标值（闭环）。
2、找到与目标值相关的所有零件尺寸。
3、根据装配关系，建立尺寸链，目标尺寸是相关零件安照一定的装配顺序得到的。
尺寸链计算类型
尺寸链计算类型有三种：正计算、反计算、中间计算。
正计算——已经各组成环的尺寸公差，计算封闭环的尺寸公差。主要用来验算设计的正确性。
反计算——已知封闭环的公差，通过等精度法或等公差法对组成环进行公差分配。主要用在设计上，即根据机器的使用要求来分配各零件的公差。
中间计算——已知封闭环的公差和部分组成环的公差，求某一组成环的公差，通常用在加工工艺上。
尺寸链计算方法
极值法——各组成环都按照极限值进行尺寸链计算的方法。
基本公式
设尺寸链中组成环的个数为m，其中有n个增环，A1为组成环的基本尺寸，对于直线尺寸链计算公式如下：
1）封闭环的基本尺寸
封闭环的基本尺寸是尺寸链中所有增环的基本尺寸之和减去尺寸链中所有减环的基本尺寸

2）最大最小极限尺寸
封闭环的最大极限尺寸是尺寸链中所有增环的最大极限尺寸之和减去所有减环的最小极限尺寸之和，同理得封闭环最小极限尺寸
•
同理
3）封闭环的上下偏差
封闭环的上偏差等于尺寸链中所有增环的上偏差之和减去所有减环的下偏差之和，同理可得封闭环的下偏差
=
同理：=
4）封闭环的公差
-=+
5）封闭环的实际误差
在零件加工过程中，当各环的实际误差不等于各环的公差时，封闭环的实际误差等于所有组成环的误差之和
=
6）封闭环的中间尺寸与中间偏差
封闭环的中间尺寸是最大值与最小值之和的平均值
=
封闭环的中间尺寸等于所有增环的中间尺寸之和减去所有减环中间尺寸之和
-
中间偏差是上下偏差的平均值，也是公差带的中心坐标，封闭环的中间偏差为：
=
中间偏差，公差及极限偏差的关系

-
概率法
概率法——运用概率论理论来求解封闭环尺寸与组成环尺寸之间的关系。
正态分布
如果X~(,),Y~(,)是相互独立的正态分布随机变量，那么：
X+Y~(+ , + )
X-Y~(- , - )
在大批量的生产中，一个尺寸链中的个组成环尺寸的获得彼此没有关系，因此，可将他们看成是相互独立的随机变量，经大量实测数据后，从概率的概念来看，有两个特征数：
算术平均数:这个数值表示尺寸的分布集中的位置
均方根偏差说明实际尺寸分布相对于算术平均值的离散程度
将极限尺寸换算成平均尺寸

平均尺寸表示尺寸分布的集中位置，在平均尺寸附近出现的概率较大
当组成环的尺寸分布规律符合正态分布时，封闭环的尺寸分布规律也符合正态分布，封闭环中间偏差的平方等于所有组成环中间偏差的平方和
=
根据概率论，若将各组成环是为随机变量，则封闭环也是随机变量，且有：
（1）封闭环尺寸的平均值等于各组成环尺寸平均值的代数和

(2)封闭环尺寸的方差等于各组成环尺寸的方差之和即：

传递系数：各组成环对封闭环影响大小的系数
假设尺寸链各环尺寸的分布范围与尺寸公差相一致尺寸链中各组成环的平均尺寸等于各组成环的尺寸的平均值各尺环的尺寸公差都等于各环尺寸标准差的6倍，即6σ组成环尺寸分布偏离正态分布时，用下面公式进行近似：

当量公差
概率解法时计算的公差，是正态分布下所取得误差范围内的尺寸变动，尺寸出现在6σ范围内的概率99.73%，由于超出之外的概率为0.27%，这个数值很小，实际上可认为不至于出现，所以取6σ作为封闭环尺寸的实际变动范围是合理的。
蒙特卡洛法
蒙特卡洛法——以中心极限定理和大数定律为理论基础，使用随机数进行随机模拟的一种数学方法

三、形位公差及公差原则
（一）形位公差
形位公差——零件设计时规定的形状与位置相对于理想形状与位置的变动范围。
表1形位公差分类表