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比的应用综合讲义
一、 基础知识整理
1. 比的意义：两个数相除又叫两个数的比。它表示两个量之间的倍比关系。
2. 求比值的方法：用比的前项除以比的后项得到一个数，这个数就是比值。比值可以是整数，也可以是分数或小数。
3. 比与除法、分数的关系：比的前项相当于被除数、分子；比的后项相当于除数、分母；比值相当于商、分数值；比号相当于除号、分数线。因为除数和分母不能为0，所以比的后项也不能为0.
4. 最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且比的前项和后项的最大公因数是1。
5. 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变。
6. 化简比的方法：①整数比的化简；②分数比的化简；③小数比的化简。
7. 化简比的注意事项：在化简比的过程中必须保证比值不变，且最后结果仍然是两个数的比。
8. 化简比和求比值的区别：化简比的最终结果是一个比；求比值的结果是一个数，可以是整数、分数和小数。
9. 按比分配：根据两个数的比，可以先求出其中一个数占这两个数总和的几分之几，然后用乘法来求出每个部分量的具体数量。
10. 三角形内角度数比与三角形形状的关系：
① 1:1:1 等边三角形 （60° 60° 60°）
② 1:2:3 直角三角形 （30° 60° 90°）
③ 1:2:2 等腰三角形 （36° 72° 72°）
④ 1:1:2 等腰直角三角形 （45° 45° 90°）
注意：我们只可以利用上面的内角度数比得出三角形的形状，但不可以利用三角形的形状得出三角形的内角度数比。

二、 重点题型演练
例1.甲数的与乙数的相等，求甲数和乙数的比？
解析：由题意可知：甲×=乙× 可以假设它们的积为1，则甲=3，乙等于2。
则甲数与乙数的比为3:2
小提示：在做这类题型时，可以把它们的积假设为一个数，然后求出甲、乙具体的量。
例2.甲、乙两个数的和是140，甲、乙两数的比是3:2，求甲、乙两数各是多少？
解析：①归一法：因为甲、乙两数的比是3:2，那么可以把甲、乙两数的和看作3+2=5份，也就是说把甲、乙两数的和平均分成5份，每一份的值为140÷5=28
甲数占了其中的3份，则甲数为28×3=84；
乙数占了其中的2份，则甲数为28×2=56。
②分数法：因为甲、乙两数的比是3:2，那么可以把甲、乙两数的和看作3+2=5份。
其中甲数占了总数的，乙数占了总数的。
则甲数为140×=84 乙数为140×=56
例3.甲、乙两数的比是5:3，甲数比乙数大16。甲、乙两数分别是多少？
解析：因为甲、乙两数的比是5:3，则可以把甲数看作5份，乙数看作3份，那么甲数比乙数多（5-3）=2份。又因为甲数比乙数大16，则每一份为16÷2=8 。甲数占了5份，则甲数为8×5=40 ；乙数占了3份，则甲数为3×8=24 。
例4.一个长方形的周长是480米，它的长和宽的比是2:1，这个长方形的长和宽各是多少？
解析：长方形的周长公式为（长+宽）×2 ，要计算长方形的长和宽各是多少，首先要计算出一条长和一条宽的和是多少，即用周长除以2，然后按比分配。
一条长与一条宽的和：480÷2=240（米）
长与宽的比是2:1 ，则可以吧长和宽的和看作1+2=3（份）
240÷3=80（米） 长：80×2=160（米） 宽：80×1=80（米）
例5. A和B的比是7:6 ，B和C的比是5:4 。求A、B、C的比？
解析：此题是考察将两个单比化成连比的方法。两个含有公共部分的单比我们可以写成三个量的连比。方法：找出公共部分两个量的最小公倍数，在两个单比中，根据比的性质，将公共部分换成所求出来的最小公倍数的这个数（要注意前项和后项的位置）；两个单比中公共部分的量相一致时，就可以直接将两个单比写成连比形式。

公共部分的量为B，在两个比中分别对应的是6和5，则6和5的最小公倍数为30.
A：B=7:6=（7×5）：（6×5）=35:30 B：C=5:4=（5×6）：（4×6）=30:24
则A：B：C=35:30:24
例6.甲校和乙校的人数比是3:5，如果从甲校转入乙校150人，则甲校和乙校的人数比是3:7，求原来甲、乙两校各多少人？
解析：在解决此类问题时，我们首先要明确不管甲校转入乙校多少人，两个学校在转入前和转入后总人数没有发生变化。那么我们就要抓住这一特点进行分析，只要计算出两个学校的总人数，然后再按比分配。
转入前：因为甲校和乙校的人数比是3:5，则甲校占两校总人数的
转入后：因为甲校和乙校的人数比是3:7，则甲校占两校总人数的
则转入前和转入后甲校减少了两校总人数的（ -）
因为甲校在转入前和转入后人数减少了150人，
则两校总人数：150÷（ -）=2000（人）
原来甲校人数：2000×750（人） 原来乙校人数：2000× =1250（人）
例7.一段路分为上坡、平路、下坡三段，各段的路程比是1:2:3，走这三段路所用的时间比是4:5:6。已知上坡速度是每小时3千米，这段路全长12千米，走完这段路一共用多少小时？
解析：要计算走完这段路一共用了多少小时，只要计算出每段路所用的时间，把它们相加就行。要计算每段路的时间，就先要计算出每段路的路程和速度，那么我们就要从题目中已知的量入手。因为上坡、平路、下坡各段的路程比是1:2:3，全长是12千米，可先算出每段路的路程。又知道上坡的速度，可以算出上坡的时间，再根据三段路的时间比，可算出一共用的时间。
解题过程：1+2+3=6 12÷6=2（千米）
上坡路程为：2×1=2（千米） 平路路程：2×2=4（千米） 下坡路程：2×3=6（千米）
则上坡时间为：2÷3=（小时） 因为三段路的时间比是4:5:6
则 平路时间为：÷4×5=（小时） 下坡时间为：1（小时）
总时间为：上坡时间+平路时间+下坡时间= + + 1=2.5（小时）
例8.两个盒子里都装有水果糖和奶糖，且两盒糖的质量相等。一个盒子里水果糖和奶糖的质量比是3:2，另一个盒子里水果糖和奶糖的质量比是1:5，若把两个盒子混合在一起，则水果糖和奶糖的质量比是多少？
解析：要计算混合后水果糖和奶糖的质量比，首先要计算出两盒糖在混合之前水果糖和奶糖的质量各是多少，但是题中并没有告诉我们两盒糖的质量具体是多少，从题中现有的已知量中我们是无法计算出结果的，但是我们又发现题目所求的结果是两个量之间的比，跟这两个量的具体数量是没有关系的，这时候我们就可以采用设数法，将题目中缺少的量设成一个已知的量，然后再作答。
解题过程：设每盒糖的质量都是30千克。
第一盒：水果糖：30×18（千克） 奶糖：30×12（千克）
第二盒：水果糖：30×5（千克） 奶糖：30×25（千克）
混合后： 水果糖的质量：18+5=23（千克） 奶糖的质量：12+25=37（千克）
则混合后水果糖和奶糖的质量比是 23:37
设数法：在解一些数学题时，常常会遇到一些看起来好像缺少条件的题目，按照常规解法似乎无解，但仔细分析就会发现题目中缺少的条件对于答案并无影响，这时我们就可以采用“设数法”，即对题目中“缺少”的条件先设一个数代入（设的这个数要尽量方便计算，在此题中选用两个比的份数和的最小公倍数），再解答。
例9.小强的速度比小刚慢，小刚的速度比小林慢，求他们三人的速度比？
解析：因为小强的速度比小刚慢，则小强的速度是小刚的（1- ）=
则小强和小刚的速度比是9:10
又因为小刚的速度比小林慢，则小刚的速度是小林的（1- ）=
则小刚和小林的速度比是9:10
所以小强、小刚、小林的速度比为 81:90:100
三、 习题演练（每一个例题配一道练习，参照例题仔细思考，保证每题掌握）
1. 甲数的 与乙数的 相等，求甲数和乙数的比？

2. 甲、乙两数的和是1200，甲数和乙数的比是1:19，求甲、乙两数各是多少？

3. 一个减法算式中，减数与差的比是4:3，已知被减数是14，减数和差各是多少？

4. 一个长方体框架的棱长总合是36分米，长、宽、高的比是3:2:1，求这个长方体的长、宽、高各是多少分米？

5. A和B的比是4:7，B和C的比是5:8，求A、B、C的比是多少？

6. 甲校和乙校的人数比是2:3，如果从甲校转入乙校200人，则甲校和乙校的比是3:7.求原来甲、乙两校各多少人？

7. 一段路分为上坡、平路、下坡三段，各段的路程比是4:5:6，走这三段路的速度比是4:5:8，已知上坡速度是8千米/时，这段路总长是36千米，走完这段路共用多少小时？

8. 甲、乙两班人数相同，甲班男生与女生人数的比是3:4，乙班男生与女生的人数比是4:5，求甲、乙两班总人数中男、女生的人数比是多少？

9. 甲走的路程比乙多 ，而乙走的时间比甲多 ，求甲和乙的速度比？