1、比的应用综合讲义一、 基础知识整理1. 比的意义:两个数相除又叫两个数的比。它表示两个量之间的倍比关系。2. 求比值的方法:用比的前项除以比的后项得到一个数,这个数就是比值。比值可以是整数,也可以是分数或小数。3. 比与除法、分数的关系:比的前项相当于被除数、分子;比的后项相当于除数、分母;比值相当于商、分数值;比号相当于除号、分数线。因为除数和分母不能为0,所以比的后项也不能为0.4. 最简整数比:比的前项和后项都是整数,并且比的前项和后项的最大公因数是1。5. 比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0除外),比值不变。6. 化简比的方法:整数比的化简;分数比的化简;小数比的
2、化简。7. 化简比的注意事项:在化简比的过程中必须保证比值不变,且最后结果仍然是两个数的比。8. 化简比和求比值的区别:化简比的最终结果是一个比;求比值的结果是一个数,可以是整数、分数和小数。9. 按比分配:根据两个数的比,可以先求出其中一个数占这两个数总和的几分之几,然后用乘法来求出每个部分量的具体数量。10. 三角形内角度数比与三角形形状的关系: 1:1:1 等边三角形 (60 60 60) 1:2:3 直角三角形 (30 60 90) 1:2:2 等腰三角形 (36 72 72) 1:1:2 等腰直角三角形 (45 45 90)注意:我们只可以利用上面的内角度数比得出三角形的形状,但不可
3、以利用三角形的形状得出三角形的内角度数比。二、 重点题型演练例1.甲数的与乙数的相等,求甲数和乙数的比?解析:由题意可知:甲=乙 可以假设它们的积为1,则甲=3,乙等于2。 则甲数与乙数的比为3:2小提示:在做这类题型时,可以把它们的积假设为一个数,然后求出甲、乙具体的量。例2.甲、乙两个数的和是140,甲、乙两数的比是3:2,求甲、乙两数各是多少?解析:归一法:因为甲、乙两数的比是3:2,那么可以把甲、乙两数的和看作3+2=5份,也就是说把甲、乙两数的和平均分成5份,每一份的值为1405=28甲数占了其中的3份,则甲数为283=84;乙数占了其中的2份,则甲数为282=56。分数法:因为甲、
4、乙两数的比是3:2,那么可以把甲、乙两数的和看作3+2=5份。其中甲数占了总数的,乙数占了总数的。则甲数为140=84 乙数为140=56例3.甲、乙两数的比是5:3,甲数比乙数大16。甲、乙两数分别是多少?解析:因为甲、乙两数的比是5:3,则可以把甲数看作5份,乙数看作3份,那么甲数比乙数多(5-3)=2份。又因为甲数比乙数大16,则每一份为162=8 。甲数占了5份,则甲数为85=40 ;乙数占了3份,则甲数为38=24 。例4.一个长方形的周长是480米,它的长和宽的比是2:1,这个长方形的长和宽各是多少?解析:长方形的周长公式为(长+宽)2 ,要计算长方形的长和宽各是多少,首先要计算出
5、一条长和一条宽的和是多少,即用周长除以2,然后按比分配。一条长与一条宽的和:4802=240(米)长与宽的比是2:1 ,则可以吧长和宽的和看作1+2=3(份)2403=80(米) 长:802=160(米) 宽:801=80(米)例5. A和B的比是7:6 ,B和C的比是5:4 。求A、B、C的比?解析:此题是考察将两个单比化成连比的方法。两个含有公共部分的单比我们可以写成三个量的连比。方法:找出公共部分两个量的最小公倍数,在两个单比中,根据比的性质,将公共部分换成所求出来的最小公倍数的这个数(要注意前项和后项的位置);两个单比中公共部分的量相一致时,就可以直接将两个单比写成连比形式。公共部分的
6、量为B,在两个比中分别对应的是6和5,则6和5的最小公倍数为30.A:B=7:6=(75):(65)=35:30 B:C=5:4=(56):(46)=30:24则A:B:C=35:30:24例6.甲校和乙校的人数比是3:5,如果从甲校转入乙校150人,则甲校和乙校的人数比是3:7,求原来甲、乙两校各多少人?解析:在解决此类问题时,我们首先要明确不管甲校转入乙校多少人,两个学校在转入前和转入后总人数没有发生变化。那么我们就要抓住这一特点进行分析,只要计算出两个学校的总人数,然后再按比分配。转入前:因为甲校和乙校的人数比是3:5,则甲校占两校总人数的转入后:因为甲校和乙校的人数比是3:7,则甲校占
7、两校总人数的则转入前和转入后甲校减少了两校总人数的( -)因为甲校在转入前和转入后人数减少了150人,则两校总人数:150( -)=2000(人)原来甲校人数:2000750(人) 原来乙校人数:2000 =1250(人)例7.一段路分为上坡、平路、下坡三段,各段的路程比是1:2:3,走这三段路所用的时间比是4:5:6。已知上坡速度是每小时3千米,这段路全长12千米,走完这段路一共用多少小时?解析:要计算走完这段路一共用了多少小时,只要计算出每段路所用的时间,把它们相加就行。要计算每段路的时间,就先要计算出每段路的路程和速度,那么我们就要从题目中已知的量入手。因为上坡、平路、下坡各段的路程比是
8、1:2:3,全长是12千米,可先算出每段路的路程。又知道上坡的速度,可以算出上坡的时间,再根据三段路的时间比,可算出一共用的时间。解题过程:1+2+3=6 126=2(千米)上坡路程为:21=2(千米) 平路路程:22=4(千米) 下坡路程:23=6(千米)则上坡时间为:23=(小时) 因为三段路的时间比是4:5:6则 平路时间为:45=(小时) 下坡时间为:1(小时)总时间为:上坡时间+平路时间+下坡时间= + + 1=2.5(小时)例8.两个盒子里都装有水果糖和奶糖,且两盒糖的质量相等。一个盒子里水果糖和奶糖的质量比是3:2,另一个盒子里水果糖和奶糖的质量比是1:5,若把两个盒子混合在一起
9、,则水果糖和奶糖的质量比是多少?解析:要计算混合后水果糖和奶糖的质量比,首先要计算出两盒糖在混合之前水果糖和奶糖的质量各是多少,但是题中并没有告诉我们两盒糖的质量具体是多少,从题中现有的已知量中我们是无法计算出结果的,但是我们又发现题目所求的结果是两个量之间的比,跟这两个量的具体数量是没有关系的,这时候我们就可以采用设数法,将题目中缺少的量设成一个已知的量,然后再作答。解题过程:设每盒糖的质量都是30千克。第一盒:水果糖:3018(千克) 奶糖:3012(千克)第二盒:水果糖:305(千克) 奶糖:3025(千克)混合后: 水果糖的质量:18+5=23(千克) 奶糖的质量:12+25=37(千
10、克)则混合后水果糖和奶糖的质量比是 23:37设数法:在解一些数学题时,常常会遇到一些看起来好像缺少条件的题目,按照常规解法似乎无解,但仔细分析就会发现题目中缺少的条件对于答案并无影响,这时我们就可以采用“设数法”,即对题目中“缺少”的条件先设一个数代入(设的这个数要尽量方便计算,在此题中选用两个比的份数和的最小公倍数),再解答。例9.小强的速度比小刚慢,小刚的速度比小林慢,求他们三人的速度比?解析:因为小强的速度比小刚慢,则小强的速度是小刚的(1- )= 则小强和小刚的速度比是9:10 又因为小刚的速度比小林慢,则小刚的速度是小林的(1- )= 则小刚和小林的速度比是9:10 所以小强、小刚
11、、小林的速度比为 81:90:100三、 习题演练(每一个例题配一道练习,参照例题仔细思考,保证每题掌握)1. 甲数的 与乙数的 相等,求甲数和乙数的比?2. 甲、乙两数的和是1200,甲数和乙数的比是1:19,求甲、乙两数各是多少?3. 一个减法算式中,减数与差的比是4:3,已知被减数是14,减数和差各是多少?4. 一个长方体框架的棱长总合是36分米,长、宽、高的比是3:2:1,求这个长方体的长、宽、高各是多少分米?5. A和B的比是4:7,B和C的比是5:8,求A、B、C的比是多少?6. 甲校和乙校的人数比是2:3,如果从甲校转入乙校200人,则甲校和乙校的比是3:7.求原来甲、乙两校各多少人?7. 一段路分为上坡、平路、下坡三段,各段的路程比是4:5:6,走这三段路的速度比是4:5:8,已知上坡速度是8千米/时,这段路总长是36千米,走完这段路共用多少小时?8. 甲、乙两班人数相同,甲班男生与女生人数的比是3:4,乙班男生与女生的人数比是4:5,求甲、乙两班总人数中男、女生的人数比是多少?9. 甲走的路程比乙多 ,而乙走的时间比甲多 ,求甲和乙的速度比?
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