锐角三角函数单元测试9.doc

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1、如图，ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上AD=OA=1，则图中阴影部分的面积为

A．
B．
C．
D．
2、tan60°的值等于
A．1
B．
C．
D．2
3、3tan30°的值等于
A．
B．
C．
D．
4、sin30°=
A．0
B．1
C．
D．
5、下列四个数中最大的数是（）
A．2.5
B．
C．sin600
D．
6、sin60°=
A．
B．
C．
D．
7、对于sin60°有下列说法：①sin60°是一个无理数；②sin60°>sin50°；③sin60°=6sin10°。其中说法正确的有（   ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
8、直角三角形有一条直角边为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长为（    ）
A．20
B． 22
C． 24
D． 26
9、为迎接“五一”的到来，同学们做了许多拉花布置教室准备召开“五一”联欢晚会，小刚搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙距离应为（     ）
A．0.7米
B．0.8米
C．0.9米
D．1.0米
10、如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）
A．
B．
C．
D．

11、计算的结果是【   】
A．　
B．4　
C．　
D．5
12、如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则BC两地之间的距离为
A．100m
B．50m
C．50m
D．m
13、如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是(结果精确到0.1m)
A．34.64m
B．34.6m
C．28.3m
D．17.3m

14、如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是，则的值是【   】
A．　
B．　　
C．　
D．
15、如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于【   】
A．3
B．﹣3
C．
D．

16、△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果，那么下列结
论正确的是【   】
A．csinA= a          B．b cosB=c       C．a tanA= b        D．ctanB= b

19、如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为
A．
B．
C．
D．2

20、如图，在△ABC中，∠A=450，∠B=300，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为【   】
A．2　　
B．　　
C．　　
D．
21、如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是【   】
A．AE=6cm
B．
C．当0＜t≤10时，
D．当t=12s时，△PBQ是等腰三角形

22、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为
A．4cm
B．3cm
C．2cm
D．1cm
23、如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为
A．40m　
B．80m
C．120m 　
D．160m

24、如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（结果精确到0.1m，≈1.73）．
A．3.5m      B．3.6m       C．4.3m       D．5.1m
25、如图，O为原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），⊙D过A、B、O三点，点C为优弧ABO上的一点（不与O、A两点重合），则cosC的值为
A.               B.              C.             D.

二、填空题()
26、如图，AB是⊙O的直径， ，AB=5，BD=4，则sin∠ECB=        ．
27、如图，A，B，C为⊙O上相邻的三个n等分点，，点E在上，EF为⊙O的直径，将⊙O沿EF折叠，使点A与A′重合，点B与B′重合，连接EB′，EC，EA′．设EB′=b，EC=c，EA′=p．现探究b，c，p三者的数量关系：发现当n=3时，p=b+c．请继续探究b，c，p三者的数量关系：当n=4时，p=     ；当n=12时，p=     ．
（参考数据：，）
28、sin30°的值为　   　．
29、2cos30°=　　．
30、的值是　   　．
31、计算：＝            ．
32、计算：cos60°＝        ．
33、如图，小聪用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度=        米
34、在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA=       .
35、在△ABC中，已知∠C=90°，，则 =　 　．
36、　 　．

39、如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为     （取 ，结果精确到0.1海里）．

40、如图，点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB1为一边，构造等边△OB1A1（点O，B1，A1按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B2是△OBA的两条中线的交点，再以OB2为一边，构造等边△OB2A2（点O，B2，A2按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是   　．

三、计算题()
41、计算：．

42、计算：．

43、计算：；

44、化简：。

45、计算：

四、解答题()
46、问题背景:
如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.

（1）实践运用：
如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为       ．
（2）知识拓展：
如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．

47、如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西600的方向，从B测得小船在北偏东450的方向．
（1）求点P到海岸线l的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西150的方向．求点C与点B之间的距离．
（上述2小题的结果都保留根号）

48、交通安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=300，∠CBD=600．
（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：）；
（2）已知本路段对汽车限速为40千米/小时，若测得某辆汽车从A到B用时为2秒，这辆汽车是否超速？说明理由．

49、有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=。将这副直角三角板按如图（1）所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上，现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动。

（1）如图（2），当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=       度；

（2）如图（3），在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；

（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围。

50、如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．

（1）求直线AB的解析式；
（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案
1.【解析】
试题分析：连接DO，EO，BE，过点D作DF⊥AB于点F，

∵AD=OA=1，∴AD=AO=DO。∴△AOD是等边三角形。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB。
∴∠CDO=∠DOA=60°，∴△ODE是等边三角形。
同理可得出△OBE是等边三角形且3个等边三角形全等。
∴阴影部分面积等于△BCE面积。
∵DF=ADsin60°=，DE=EC=1，
∴图中阴影部分的面积为：××1=。
故选A。
2.【解析】
试题分析：根据特殊角的正切函数值直接作答：tan60°＝。故选C。
3.【解析】
试题分析：
3直接把tan30°=代入进行计算即可：3tan30°=3×=。故选A。
4.【解析】
试题分析：直接根据特殊角的三角函数值进行解答即可：sin30°=。故选C。
5.A
6.C
7.C
8.C
9.B
10.D
11.【解析】直接由特殊角的三角函数值代入计算即可：
。故选D。
12.【解析】
试题分析：根据题意得：AC＝100，∠ABC＝30°，
∴（m）。故选A。
13.【解析】
试题分析：∵∠C=90°，∠A=60°，AC=20m，
∴。
故选B。
14.【解析】如图，过点P作PH⊥x轴于点H，则

∵P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），∴OH=3，PH= m。
又∵OP与x轴正半轴的夹角的正切值是，即，
∴。
根据勾股定理，得OP=5。
∴。故选B。
15.【解析】如图，连接AO并延长交圆于点E，连接BE，则∠C=∠E。
由AE为直径，且BD⊥AC，得到∠BDC=∠ABE=90°，
∴△ABE和△BCD都是直角三角形。∴∠CBD=∠EAB。
又∵△OAM是直角三角形， AO=1，
∴，即sin∠CBD的值等于OM的长。
故选A。
16.【解析】∵，∴根据勾股定理逆定理，得△ABC是直角三角形，且∠C=900。
∴根据锐角三角函数定义，有：
。
∴正确的是：csinA= a。故选A。
17.【解析】
试题分析：根据直角三角形全等SAS，HL的判定，使两个直角三角形全等的条件是两条边对应相等。故选D。
18.【解析】
试题分析：如图，连接AE，

在正六边形中，∠F=×（6﹣2）•180°=120°。
∵AF=EF，∴∠AEF=∠EAF=（180°﹣120°）=30°。∴∠AEP=120°﹣30°=90°。
∴AE=2×2cos30°=2×2×。
∵点P是ED的中点，∴EP=×2=1。
在Rt△AEP中，。
故选C。　
19.【解析】
试题分析：如图，作点C关于OB的对称点C′，交OB于点D，连接AC′交OB于点P，根据轴对称的知识可知，此时A C′=PA＋PC最小。

过点C′作 C′H⊥x轴于点H，
∵点B的坐标为（3，），∴。
∵点C的坐标为（，0），∴。
∴C C′=2CD=。
又∵，∴。
∴OH=。∴HC=。
在Rt△A C′H中，根据勾股定理，得：。
∴PA＋PC的最小值为。故选B。
20.【解析】∵CD⊥AB，∴△ACD和△BCD都是直角三角形。
∵∠A=450，CD=1，∴AD=CD=1。
∵∠B=300，∴。
∴AB=AD＋BD=。故选D。
21.【解析】（1）结论A正确，理由如下：
解析函数图象可知，BC=10cm，ED=4cm，
故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm。
（2）结论B正确，理由如下：
如图，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F，

由函数图象可知，BC=BE=10cm，，
∴EF=8。∴。
（3）结论C正确，理由如下：
如图，过点P作PG⊥BQ于点G，

∵BQ=BP=t，∴。
（4）结论D错误，理由如下：
当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，
设为N，如图，连接NB，NC。

此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=，NC=。
∵BC=10，
∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形。
故选D。
22.【解析】
试题分析：连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，

∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，
∴∠B=∠C=30°，BD=CD=3cm。∴。
∵AB的垂直平分线EM，∴BE=AB=cm。∴。
同理CF=cm，CN=2cm。
∴MN=BC﹣BM﹣CN=2cm。故选C。
23.【解析】
试题分析：如图，过A作AD⊥BC于D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120 m。

在Rt△ABD中，，
在Rt△CD中，，
∴（m）。
故选D。
24.D。
25.D
26.【解析】
试题分析：连接AD，则∠ADB=90°，

在Rt△ABD中，AB=5，BD=4，则，
∵，∴∠DAC=∠DBA。∴△DAC∽△DBA。
∴，即。∴。
∴。
∴。
27.【解析】如图，连接AB、AC、BC，
由题意，点A、B、C为圆上的n等分点，
∴AB=BC，（度）。
在等腰△ABC中，过顶点B作BN⊥AC于点N，
则AC=2CN=2BC•cos∠ACB=2cos•BC，
∴。
连接AE、BE，在AE上取一点D，使ED=EC，连接CD，

∵∠ABC=∠CED，
∴△ABC与△CED为顶角相等的两个等腰三角形。
∴△ABC∽△CED。∴，∠ACB=∠DCE。
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠DCE=∠BCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE。
在△ACD与△BCE中，∵，∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE。
∴。∴。
∴EA=ED+DA=EC+。
由折叠性质可知，p=EA′=EA，b=EB′=EB，c=EC。
∴p=c+。
当n=4时，p=c+2cos45°•b=c+b；
当n=12时，p=c+2cos15°•b=c+b。
28.【解析】
试题分析：根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=。　
29.【解析】
试题分析：根据cos30°=，继而代入可得出答案．
解：原式=．
故答案为：．
点评：此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，需要我们熟练记忆，难度一般．
30.【解析】
分析：将特殊角的三角函数值代入计算即可：。
31.
32.0.5
33.4.7  
34.【解析】
试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴根据勾股定理，得AC=5。
∴。
35.【解析】根据题意，设AB=c，BC=a，AC=b，则。
∵，
∴。
∴。
∴。
36.【解析】
试题分析：针对零零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果：
。
37.【解析】
试题分析：∵在等边△ABC中，∠B=60°，AB=6，D是BC的中点，∴AD⊥BD，∠BAD=∠CAD=30°。
∴AD=ABcos30°=6×。
根据旋转的性质知，∠EAC=∠DAB=30°，AD=AE，
∴∠DAE=∠EAC+∠BAD=60°。∴△ADE的等边三角形。
∴DE=AD=，即线段DE的长度为。
38.【解析】
试题分析：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D=60°。
∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴AB•AE=CD•AF，∠BAE=∠DAF=30°。
∴AE=AF。
∵∠B=60°，∴∠BAD=120°。∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°。
∴△AEF是等边三角形。∴AE=EF，∠AEF=60°。
∵AB=4，∴AE=2。∴EF=AE=2。
过A作AM⊥EF，交EF于点M,

∴AM=AE•cos60°=3。
∴△AEF的面积是：EF•AM=×2×3=3。
39.【解析】∵∠DBA=∠DAB=45°，
∴△DAB是等腰直角三角形。
过点D作DE⊥AB于点E，则DE=AB，

设DE=x，则AB=2x，
在Rt△CDE中，∠DCE=30°，
则CE=DE=x，
在Rt△BDE中，∠DAE=45°，则DE=BE=x，
由题意得，CB=CE﹣BE=x﹣x=25，
解得：x=。
∴AB=≈67.5（海里）。
40.【解析】
试题分析：∵点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，∴点B1是△OBA的重心，也是内心。
∴∠BOB1=30°。
∵△OB1A1是等边三角形，∴∠A1OB=60°+30°=90°。
∵每构造一次三角形，OBi 边与OB边的夹角增加30°，
∴还需要（360﹣90）÷30=9，即一共1+9=10次构造后等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合。
∴构造出的最后一个三角形为等边△OB10A10。
如图，过点B1作B1M⊥OB于点M，

∵，
∴，即。
∴，即。
同理，可得，即。
…，
∴，即构造出的最后一个三角形的面积是。　
41.【解析】
试题分析：针对二次根式化简，绝对值，特殊角的三角函数值3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。
42.【解析】针对特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，有理数的乘方，负整数指数幂5个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。
43.【解析】针对有理数的乘方，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。
44.【解析】针对绝对值，特殊角的三角函数值，有理数的乘方，二次根式化简4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。
45.【解析】针对零指数幂，有理数的乘方，绝对值，特殊角的三角函数值，二次根式化简4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。
46.【解析】
试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：
如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A。作直径AC′，连接C′E，
根据垂径定理得弧BD=弧DE。

∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°。∴∠AOE=90°。
∴∠C′AE=45°。
又AC为圆的直径，∴∠AEC′=90°。
∴∠C′=∠C′AE=45°。∴C′E=AE=AC′=。
∴AP+BP的最小值是。
（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线段B′F的长即为所求。
47.【解析】
试题分析：（1）过点P作PD⊥AB于点D，构造直角三角形BDP和PDA，PD即为点P到海岸线l的距离，应用锐角三角函数即可求解。
（2）过点B作BF⊥CA于点F，构造直角三角形ABF和BFC，应用锐角三角函数即可求解。
48.【解析】
试题分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，从而求得AB的长。
（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速。
49.【解析】
试题分析：（1）如题图2所示，
∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=，
∴。∴∠DFE=60°。
∴∠EMC=∠FMB=∠DFE－∠ABC=60°－45°=15°。
（2）如题图3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可。
（3）认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形的变化情况，分0≤x≤2，2＜x≤，＜x≤6三时段讨论：
当0≤x≤2，即开始到DE与AC重合之前时，；
当2＜x≤，即DE与AC重合之后到EF经过点C之前时，；
当＜x≤6，即EF经过点C之后到停止之前时，。
50.【解析】（1）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解。
（2）由△ABD由△AOP旋转得到，△ABD≌△AOP，AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等边三角形，利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标。
（3）分三种情况进行讨论：
①当P在x轴正半轴上时，即t＞0时；
②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时；即＜t≤0时
③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤时。
综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值。

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
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