1、12 曲率、挠率第五章 多元函数微分学 第1页定义：假如曲线参数表示式或是阶连续可微函数，则把这类曲线称为类曲线。当时,类曲线又称为光滑曲线。第2页自然参数：我们知道曲线有不一样参数表示，能否找一个参数使研究曲线很方便呢？回答是必定这就是以弧长s为参数（自然参数）对于光滑曲线1、参数是自然参数充要条件是2、弧长参数优越性：3、弧长作参数是能够做到：因为 则s(t)是t严格单调函数，存在反函数t=t(s),代入有 4、对于1.1.曲线自然参数曲线自然参数第3页例：圆参数化为r(t)(acost,asint),tR，其中常数a0,试将参数化为自然参数。解解:第4页1)给出 类曲线 得一单位向量 ，
2、称 为 曲线（C）上 P 点单位切向量单位切向量。称 为曲线在 P 点主法向量主法向量,它垂直于单位切向量。称 为曲线在 P 点次法向量次法向量。把两两正交单位向量 称为曲线在 P 点伏雷内（Frenet)标架。2.2.空间曲线基本三棱形、伏雷内标架空间曲线基本三棱形、伏雷内标架第5页3)由任意两个基本向量所确定平面 分别叫做:亲密平面：法平面：从切平面：而由三个基本向量和上面三个平面所组成图形叫做曲线基本三棱形。2)对于曲线（C）普通参数表示 有第6页定义定义 过空间曲线上 P 点切线和 P 点邻近一点 Q 可作一平面 ，当 Q 点沿曲线趋于 P 时，平面 极限位置 称为曲线在 P 点亲密平
3、面。关于亲密平面关于亲密平面对于 类曲线上任一正常点处亲密平面是最贴近于曲线切平面。亲密平面以 为法向。第7页 亲密平面方程亲密平面方程 给出 类曲线（C）：有因为向量 和 都在平面 上，所以它们 线性组合 也在平面 上。两边取极限得 在极限平面上，即 P 点亲密平面上，所以因为 ,这个向量就能够作为亲密平面一个法向量。亲密平面方程为 第8页 表示 P 点亲密平面上任一点向径，则上式表示为假如曲线用普通参数t 表示，则将上式中撇改成点。平面曲线亲密平面就是曲线所在平面。例例求圆柱螺线r=acost,asint,bt在任一点亲密平面第9页3.3.空间曲线曲率，挠率空间曲线曲率，挠率设空间曲线(C
4、)为 ，且以 s 为参数。1)曲率曲率 定义（C）在 P 点曲率为 越小就越靠近曲线在P点弯曲程度,深入令则极限就应该是曲线在P点弯曲程度。曲率几何意义曲率几何意义是曲线切向量对于弧长旋转速度。曲率越大，曲线弯曲程度就越大，所以它反应了曲线弯曲程度。第10页例例.求半径为R 圆上任意点处曲率.解解:如图所表示,可见:R 愈小,则K 愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R 愈大,则K 愈小,圆弧弯曲得愈小.第11页第12页例：例：空间曲线，为直线充要条件是曲率证实：若为直线 其中 都是常向量，而且，则反之,若,则于是所以该曲线是直线.第13页2)挠率挠率 与曲率类似有 定义定义 曲线（C）在 P 点挠率为挠
5、率绝对值是曲线次法向量对于弧长旋转速度。挠率恒为零曲线是平面曲线第14页3)曲率和挠率普通参数表示式曲率和挠率普通参数表示式给出 类曲线（C）：所以所以由此得到曲率普通参数表示式第15页 由可得挠率公式为第16页有曲率近似计算公式则曲率计算公式为二阶可导,设曲线弧说明说明:若曲线由参数方程给出,则若曲线方程为则若曲线由参数方程给出,则第17页4）亲密园（曲率园）亲密园（曲率园）过曲线（C）上一点 P 主法线正侧取线段 PC，使 PC 长为1/k。以C 为园心，以1/k为半径在亲密平面上确定一个园，这个园称为曲线在 P 点亲密园或曲率园，园中心叫曲率中心，园半径叫曲率半径。第18页曲率中心轨迹设
6、对应Y=(x,y,z)，则有轻易证实C在P点与曲率圆相切，且在P点曲率相同在点P 处曲率圆与曲线有以下亲密关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.第19页例例求圆柱螺线r=acost,asint,bt(a0,b0均为常数)曲率、挠率、曲率中心和曲率圆.解=-asint,acost,b，=-acost,-asint,0，=asint,-acost,0.于是=所以圆柱螺线曲率和挠率都是常数.第20页.故曲率中心半径向量为能够求出亲密平面为于是曲率圆为第21页设曲线方程为且求曲线上点M 处曲率半径及曲率中心设点M 处曲率圆方程为故曲率半径公式为满足方程组坐标公式.机动 目录 上页 下页
7、 返回 结束 第22页由此可得曲率中心公式(注意与异号)第23页例例.设一工件内表面截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大砂轮比较适当?解解:设椭圆方程为可知,椭圆在处曲率最大,即曲率半径最小,且为显然,砂轮半径不超出时,才不会产生过量磨损,或有地方磨不到问题.例3 目录 上页 下页 返回 结束 第24页 5）伏雷内（伏雷内（Frenet)公式公式 由定义可得 又 于是有 这个公式称为空间曲线伏雷内（伏雷内（Frenet)公式公式。它系 数组成一反称方阵第25页当点 M(x,y)沿曲线C 移动时,轨迹 G 称为曲线 C 渐屈线渐屈线,对应曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线 C 称为曲线
8、 G 渐伸线渐伸线.屈线参数方程(参数为x).6）曲线渐屈线、渐近线曲线渐屈线、渐近线第26页(仍为摆线)例例.求摆线渐屈线方程.解解:代入曲率中心公式,得摆线 目录 上页 下页 返回 结束 第27页微分几何Differential Geometry坐标系、微积分坐标系、微积分应用于几何学，产生了微分几何研究怎样描述空间中普通曲线和曲面形状参数变换下几何不变量：曲线弧长、曲率、挠率；曲面第一基本形式、第二基本形式等微积分，拓扑学，高等代数与解析几何知识综合利用第28页突出数学家Euler(1707-1783),Morge(1746-1818)引进曲线曲面参数表示法曲率能够由主曲率表示，Eule
9、r公式Gauss(1777-1855)曲面第一、二基本形式、Gauss曲率，内蕴几何学IntrinsicdifferentialgeometryRiemann(1826-1866)度量Measure、流形Manifold、黎曼几何学；弯曲空间Klein(1849-1925)变换群Cartan(1869-1951)活动标架，纤维丛及其联络第29页突出数学家陈省身开创并领导着整体微分几何、“陈省身示性类”丘成桐“卡拉比猜测”，“微分几何中偏微分方程作用”，“完备黎曼流形上调和函数”杨振宁先生对几何学概括天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。
10、第30页微分几何应用理论物理广义相对论将物理量解释为几何量。详细说，空间和时间结合在一起由一个流形描述：不一样参考系给出不一样局部坐标；不一样参考系之间关系即是坐标变换。时空流形度量由所谓Lorentz度量给出，象Riemann几何一样计算出曲率等几何量。Einstein方程说：时空物理量（能量动量张量）等于时空几何量（Ricci曲率张量）。第31页微分几何应用计算几何、图形学曲线曲面设计离散微分几何网格曲面计算机视觉基于流形学习方法拓扑学，代数拓扑和微分拓扑与之紧密相连代数几何，代数方程（组）零点集第32页计算机视觉Computer Vision第33页数字几何1D1D2 2D D2 2D
11、D3 3D D数字几何媒体：拓扑结构复杂；采样非均匀；没有通用标准数字几何媒体(Digitalgeometrymedia)正成为继声音、图像和视频之后下一轮数字媒体浪潮。第34页几何造型Shape modeling nSurfacereconstruction(static)nFromCToropticalimages,rawpointdata,nDatarepairing,registration,resampling,smoothingPoint cloud mesh NURBS textureNo connection connected parametric meshingparamerization第35页DynamicmodelingFeaturedrivenmorphingParametricmodelingPhysicalconstrainedanimation几何造型Shape modeling 第36页网格参数化及共形映射第37页网格曲面上离散微分几何算子第38页曲面磨光对两个主方向进行不一样处理第39页流形学习Manifold learningPrincipalcomponent第40页基于几何不变量识别和检索第41页试着用几何观点对待一切第42页
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