指数曲线模型的市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

指数曲线模型讲解第一节 直线模型预测法 第二节 多项式曲线模型预测法第三节 指数曲线模型预测法第四节 修正指数曲线模型预测法第五节 成长曲线预测模型第第1页页应用趋势延伸法有两个假设前提：（1）决定过去预测目标发展原因，在很大程度上仍将决定其未来发展；（2）预测目标发展过程普通是渐进改变，而不是跳跃式改变。第第2页页常见趋势线直线直线指数曲线指数曲线二次曲线二次曲线三次曲线三次曲线修正指数曲线修正指数曲线龚柏兹曲线龚柏兹曲线第第3页页第一节直线模型预测法直线预测模型为：直线预测模型特点，是一阶差分为一常数：一、最小平方法最小平方法就是使误差平方和即 到达最小来预计a和b方法。第第4页页第第5页页x 编号影响：对预测结果没有影响对斜率b没有影响对截距a有影响第第6页页假如时间序列有偶数项，则对称编号方式：，-5，-3，-1，1，3，5，假如时间序列有奇数项，则对称编号方式：，-2，-1，0，1，2，第第7页页例1 某市19781986年化纤零售量如表所表示，试预测1987年化纤零售量。某市化纤零售量及其一阶差分 单位：万米解：1、选择预测模型 计算序列一阶差分，列于表中，从计算结果能够看出，一阶差分大致靠近。所以，可配合直线预测模型来预测。2、建立直线预测模型 依据资料列表计算相关数据。年份年份197819791980198119821983198419851986零售量零售量265297333370405443474508541一阶差分一阶差分 3236373538313433第第8页页某市化纤零售量直线预测模型最小平方法计算表年份年份t1978-4265-106016264.520.480.23041979-3297-8919299.39-2.395.71211980-2333-6664334.26-1.261.58761981-1370-3701369.130.870.75691982040500404.0011198314434431438.874.1317.0569198424749484473.740.260.06761985350815249508.61-0.610.372119864541216416543.48-2.486.1504总和总和03636209260363632.934第第9页页所求直线预测模型为：3、预测以 代入预测模型，则可预测1987年化纤零售量为：第第10页页二、折扣最小平方法折扣最小平方法就是对误差平方进行指数折扣加权后，使其总和到达最小方法。其数学表示式为：最近期误差平方 权数为 ，最远期误差平方权数为 。第t期误差平方权数为 。因为 是越来越小权数，这说明对最近期误差平方不打折扣，而对远期误差平方，越远打折扣越大。所以称为折扣最小平方法。第第11页页用折扣最小平方法来预计直线预测模型参数a、b，使 对此式求偏导数，便得求参数a、b预计值标准方程组为：第第12页页例2 依据前面给出某市化纤零售量统计资料，试用折扣最小平方法预测1987年化纤零售量。（=0.8）年份年份t零售量零售量n-t1978126580.167844.46744.4670.16780.1678265.791979229770.209762.2809124.5610.41940.8388300.391980333360.262187.2793261.8370.78632.3589334.991981437050.3277121.249484.9961.31085.2432369.601982540540.4096165.888829.442.04810.24404.201983644330.512226.8161360.893.07218.432438.801984747420.64303.362123.524.4831.36473.411985850810.8406.43251.206.451.2508.0119869541015414869981542.61总计总计36364.32891958.7413349.9727.684200.8403637.8第第13页页解：列表计算相关数据。将计算结果代入公式得：解此方程组得：所求直线预测模型为：将各年t值代入预测模型，可得各年追溯预测值 第第14页页直线趋势延伸预测模型与利用平滑技术建立直线预测模型进行预测比较相同点：都遵照事物发展连续标准，预测目标时间序列资料展现有单位时间增（减）量大致相同长久趋势变动为适用条件。区分为：（）预测模型参数计算方法不一样。（）线性预测模型中时间变量取值不一样。（）模型适应市场灵活性不一样。（）随时间推进，建模型参数简便性不一样。直线趋势延伸模型较适合趋势发展平衡预测对象近期、中期预测；平滑技术建立线性模型更适合趋势发展中有波动预测目标短期、近期预测。第第15页页第二节多项式曲线模型预测法多项式曲线预测模型普通形式为：二次抛物线预测模型为：二次抛物线预测模型特点是二阶差分为一常数：第第16页页2、用三点法确定待定系数 因为三个参数需三个方程估算，故将历史数据分解成三组：因为三个参数需三个方程估算，故将历史数据分解成三组：其原理：其理论值与实际值离差代数和为零，即其原理：其理论值与实际值离差代数和为零，即 第第17页页这三点选择方法是：1、当初间序列总项数n15时，在序列首尾两端和正中各取五项数据，求出三个加权平均数，权数由远及近分别用1、2、3、4、5，用以加重近期信息在平均数中比重。这三个加权平均数就作为二次抛物线上三个点纵坐标。2、若9n15时，则在序列初、中、近期各取三项求出三个加权平均数，权数由远及近分别用1、2、3。若为偶数，可删去最初一个观察期数据第第18页页设初、中、近期三点坐标为 又设n为数列总项数，且为奇数，则：正中项 设各项观察值为 ，五项加权平均时，三个加权平均数为：第第19页页这三点横坐标也应取加权平均值，即：五项加权平均时，三点坐标为：三项加权平均时三点坐标为：第第20页页二次抛物线预测模型参数预计值二次抛物线预测模型为：求得三点坐标必须满足这模型。所以五项加权平均时有：第第21页页解方程组得参数预计值为：同理，三项加权平均时，参数预计值为：第第22页页例4 某市19781986年某水产品收购量如表所表示。试预测1987年某水产品收购量。某市某水产品收购量及其差分 单位：万担 年份年份197819791980198119821983198419851986收购量收购量54.564.176.492.3110.7132.2156.8183.6214.0一阶差分一阶差分_9.612.315.918.421.524.626.830.4二阶差分二阶差分_2.73.62.53.13.12.23.6解解：1、选选择择预预测测模模型型。计计算算序序列列一一阶阶、二二阶阶差差分分，列列于于表表中中，从从计计算算结结果果可可看看出出，二二阶阶差差分分是是比比较较平平稳稳。所以，可配合二次抛物线预测模型来预测。所以，可配合二次抛物线预测模型来预测。2、建立二次抛物线预测模型。列表计算相关数据、建立二次抛物线预测模型。列表计算相关数据。第第23页页年份年份年次年次t收购量收购量yt权数权数w1978154.5154.554.9620.213441979264.12128.264.7430.413451980376.43229.277.4361.073301981492.3192.393.0430.5520519825110.72221.4111.5630.7447719836132.23396.6132.9950.6320319847156.81156.8157.3410.2926819858183.62367.2184.6001.000019869214.03642214.7710.59444总计总计5.51616第第24页页依据上表资料计算得：代入公式得：第第25页页二次抛物线预测模型为：将各年t值代入预测模型，可得各年追溯预测值 第第26页页三次抛物线预测模型为：三次抛物线预测模型特点是三阶差分为一常数：第第27页页参数预计一、最小平方法 依据最小平方法原理，可得标准方程组：为了简化计算，可选取时间序列 中点为时间原点，使 ，从而使上列方程组简化为：由此可解得a，b，c，d 预计值。第第28页页例3 某省19741986年机械手表销售量以下表所表示。试预测1987年手表销售量。年份年份年次年次t销售量销售量1974-61036-2161296466561975-51125-125625156251976-41216-6425640961977-3149-27817291978-2154-816641979-1161-1111980016000019811141111198221348166419833119278172919844131664256409619855142512562515625198661536216129646656总计总计017418204550134342第第29页页-60360-21608.9201.1664-55275-137511.6920.4789-48192-76813.4962.2380-42126-37814.4980.2480-3060-12014.8630.0188-1616-1614.7581.542600014.34972.723514141413.8030.0388265210413.2850.0812339929712.9613.84565220883212.9970.0000170356175013.5600.193690540324014.8160.03393422981420173.99912.60931第第30页页解：1、选择预测模型。从表资料，能够看出机械手表销售量是展现先上升，后下降，再上升发展趋势，其图形为一条有两个弯曲曲线，所以，可配合三次抛物线预测模型来预测。2、建立三次抛物线预测模型。列表计算相关数据。将计算结果代入公式得：解此方程组得：第第31页页所求三次抛物线预测模型为：将各年t值代入预测模型，可得各年追溯预测值。3、预测又=0.05，自由度nm=9时，查t分布表得：以t=7代入预测模型，可得1987年手表销售量预测值为：第第32页页预测区间（简化式）为即有95把握预期1987年该省机械手表销售量将在（14.15，19.71）万只之间第第33页页指数曲线模型预测法指数曲线预测模型为：其特点是环比发展速度为一常数：可化为对数直线模型：其特点是对数一阶差分为一常数：第第34页页依据最小平方法原理并使t=0，推导求得：再求反对数，便得a、b预计值。例5 某市19781989年居民储蓄存款余额如表所表示，试预测1990年该市居民储蓄存款余额。第第35页页某市居民储蓄存款余额最小平方法计算表单位：亿元年份年份年次年次t储蓄额储蓄额yt环比发展速度环比发展速度(%)tlgyt1978-115.670.75358121-8.289385.38901979-97.09125.040.8506581-7.655857.18161980-79.56134.840.9804649-6.863229.57051981-513.07136.721.1162825-5.5814012.75411982-316.75128.161.224019-3.6720316.99661983-121.62129.071.334861-1.3348622.65031984128.34131.081.4524011.4524030.18471985339.86140.651.6005494.8016240.22531986554.16135.881.73368258.6684053.60581987774.84138.181.874134913.1189171.43721988994.38126.111.974888117.7739295.198911129.94137.682.1137412123.25114126.8673总计总计17.0092157235.66965第第36页页解：1、选择预测模型。计算序列环比发展速度，列于上表中，从计算结果能够看出，环比发展速度大致相近，所以，可配合指数曲线预测模型来预测。2、建立指数曲线预测模型。列表计算相关数据。将计算结果代入公式，可得：求反对数，得：所求指数曲线预测模型为：3、预测。90年居民储蓄存款余额预测值为：第第37页页二、两点法指数曲线对数形式为：令化为直线预测模型：若n10时，在序列首尾两端各取五项加权平均，可得参数预计值若6n0)(a0)k+a k+a(0b0)(a1)第第41页页因为修正指数曲线预测模型一阶差分：是指数函数形式，所以由指数曲线预测模型特点，可知修正指数曲线预测模型特征是，一阶差分环比为一常数。第第42页页 3.4 修正指数曲线拟正当 2、参数确定方法：（、参数确定方法：（1）分组平均法（三点法），（）分组平均法（三点法），（2）三）三和法和法设有设有3n个观察值（若个观察值（若9个数据个数据n=3），取时间），取时间 则有：n个 n个 n个 第第43页页 3.4 修正指数曲线拟正当 将三组分组左、右两边分别相加得 式-式 式，式-式 式 把式代入式 第第44页页例7 某市19771985年某种家用电器销售量如表所求，试预测1986、1987年该种家用电器销售量。年份年份年次年次t销售量销售量一阶差分一阶差分一阶差分一阶差分环比环比（%）1977197819790124.604.905.140.300.2480.004.60314.89975.13731980198119823455.335.485.600.190.150.1279.1778.9480.005.32775.48015.60231983198419856785.705.785.840.100.080.0683.3380.0075.005.70025.77865.8418第第45页页解：1、选择预测模型。计算序列一阶差分环比列于表中，可知一阶差分环比基本上为一常数。所以，可配合修正指数曲线预测模型来预测。2、建立修正指数曲线预测模型。n=3将计算结果代入k、a、b计算公式，得：第第46页页所求修正指数曲线预测模型为：3、预测。以t=9和t=10分别代入预测模型，可得1986年和1987年该种家用电器销售量预测值分别为：表明这种家用电器已处于饱和状态。第第47页页生长曲线（S曲线）预测法技术和经济发展过程类似于生物发展过程，经历发生、发展、成熟三个阶段。每一阶段发展速度是不一样。普通地，在发生阶段，改变速度较为迟缓；在发展阶段，改变速度加紧；到成熟阶段，改变速度又趋于迟缓，按照这三个阶段发展规律得到事物改变发展曲线，通常称为生长曲线或增加曲线，亦称逻辑增加曲线。因为这类曲线常似“S”形，故又称 S 曲线。现在，S曲线已广泛应用于描述及预测生物个体生长发育及一些技术、经济特征发展领域中。第第48页页024681012-20-15-10-505101520第第49页页成长曲线预测模型一、龚柏兹曲线预测模型龚柏兹曲线，是美国统计学家和数学家龚柏兹首先提出用作控制人口增加率一个数学模型。它预测模型为：对其求一、二阶导数，有并令 ，可求得曲线拐点位置为：0a1 e=2.718282 第第50页页 3.5.1 龚珀兹曲线拟正当1、模型形式和特征、模型形式和特征y t (0a1，0b1)y t 0a1 y t k a1，0b1,b1 特征特征：纵坐标取对数后一级增加量环比系数为常量b。第第51页页参数预计对数形式：令 上式变为：依照修正指数曲线预计参数方法，可得b，lga和lgk计算公式：这里n为总数据1/3。分别为总数据三等分后各部分和。第第52页页例8某省19761984年小型拖拉机拥有量如表所表示。试预测1985年和1986年小型拖拉机拥有量。某省小拖拉机拥有量龚柏兹曲线预测模型计算表 单位：千台 年份年份年次年次t拥有量拥有量一阶一阶差分差分环比环比（%）相对误相对误差（差（%）19761977197801225.85032.80444.4771.41251.51591.64810.10340.1322127.8524.23234.48545.1336.2505.124-1.47519791980198134556.00264.96072.0801.74821.81261.85780.10010.06440.045275.7264.3470.1955.41464.80173.0151.0500.245-1.29719821983198467880.28285.83589.9001.90461.93371.95380.04680.02910.0201103.5362.1869.0779.97185.71990.3780.3870.135-0.532第第53页页解：将计算结果代入b，lga和lgk计算公式。可得：求反对数，得：所求龚柏兹曲线预测模型为：3、预测。以t=9和t=10分别代入，得1985年和1986年小型拖拉机拥有量预测值分别为：第第54页页二、罗吉斯缔曲线预测模型罗吉斯缔曲线预测模型为：对其求一、二阶导数，有 并令 ，可求得曲线拐点位置为 第第55页页因为罗吉斯缔曲线倒数是修正指数曲线。所以，依照修正指数曲线预计参数方法，可得b、a和k计算公式：第第56页页例9 某省19691987年人口统计数据如表所表示，试预测该省1990年人口总数。年份年份 年次年次t人口总人口总数数一阶一阶差分差分环比环比（%）相对误相对误差（差（%）19691970197119721973197401234547024811494850575175526821272079197719321898-48-58-44-45-341.210.761.200.764756.34849.84943.75037.85132.15226.6-1.155-0.8060.0870.3800.8290.78619751976197719781979198067891011535554275502559356815780186718431818178817601730-31-24-25-30-28-300.910.711.041.200.931.075321.15415.65501.15604.55698.75792.60.6330.2100.016-0.206-0.312-0.218198119821983198419851986121314151617588459876075616662536346170016701646162215991576-30-30-24-24-23-231.001.000.801.000.951.005886.35979.76072.76165.26257.26348.7-0.0390.1220.0380.013-0.067-0.043第第57页页解：1、选择预测模型。计算人口总数倒数一阶差分环比，列于表中，从计算结果能够看出，倒数一阶差分环比大致靠近。所以，可选取罗吉斯缔曲线预测模型来预测。2、建立罗吉斯缔曲线预测模型。将计算结果代入k、a、b计算公式，可得：第第58页页所求罗吉斯缔曲线预测模型为：3、预测。以t=21代入预测模型，可得该省1990年人口总数预测值为：预测模型中万人，这个数值是该模型预测某省人口总数渐近值。第第59页页第第60页页原始数据以下表，并绘图以下。例 甘肃省社会消费品零售总额分析预测第第61页页n由表和图形能够看出，甘肃省社会消费品零售总额改变呈增加趋势。依据直观判断，其改变趋势大致与三种模型类似，故初选三种曲线模型nA指数曲线模型nB二次曲线模型nC三次曲线模型n利用最小二乘法对参数进行预计，分别得模型为第第62页页3模型分析。首先进行历史数据分析。把三个模型拟合结果与实际值绘图比较以下，进行直观判断，能够看出，二次曲线和三次曲线拟合效果比很好。同时，分别计算三个模型预测精度。这里选取惯用均方误差和平均绝对百分误差进行比较。分析表明二次曲线和三次曲线拟合效果都比很好，其中三次曲线拟合效果更佳。其次进行未来趋势表现程度分析。伴随市场经济深入，西部大开发实施，甘肃经济发展水平将不停提升，人民生活也得到日益改进，决定了社会零售商品总额也将不停增加。模型反应是上升趋势，与社会零售商品总额未来趋势是一致，所以能够用来进行预测。第第63页页第第64页页4预测依据选定模型，计算预测值，预测结果见表。表 预测结果表第第65页页1，已知19781995 年我国小麦单位面积产量数据如表，试确定小麦单位面积产量修正指数曲线方程，求出各年单位面积产量趋势值，并预测 年小麦单位面积产量。年份单位面积产量（kg/公顷）年份单位面积产量（kg/公顷）19781845198729851979214519882970198018901989304519812115199031951982244519913105198328051992333119842970199335191985294019943426198630451995354219781995 年小麦单位面积产量数据表第第66页页用直线模型拟合数据，并用适当方法预计参数19971998199995001020010930116701238013090137803，某烟糖业企业历年卷烟销量资料以下表所表示：2.依据第一题 中数据，试确定小麦单位面积产量龚珀兹曲线方程，求出各年单位面积产量趋势值，并预测 年小麦单位面积产量。第第67页页 4.某市摄像机销售资料如表所表示，某市摄像机销售资料如表所表示，试用指数曲线模型预测该市需求量。试用指数曲线模型预测该市需求量。年份销售额（y）1999220035005700980064002700043300第第68页页