空间曲线曲率挠率和Frenet公式市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

3.33.3空间曲线空间曲线曲率挠率和曲率挠率和FrenetFrenet公式公式定义：空间曲线在点曲率为其中为点及其邻近点间弧长，为曲线在点和切向量夹角。曲率刻画了曲线弯曲程度，刻画了曲线偏离切线程度。第1页空间曲线曲率计算公式（自然参数）自然参数）第2页普通参数下空间曲线普通参数下空间曲线曲率计算公式曲率计算公式第3页例：例：空间曲线：r=r(s)为直线充要条件是曲率k(s)=0.证实若为直线r=sa+b，其中a和b都是常向量，而且|a|=1，则k(s)=;反之,若k(s)=0,则于是r=sa+b.所以该曲线是直线.第4页对于空间曲线，曲线不但弯曲（曲线偏离切线程度由曲率表示）而且还要扭转（偏离亲密平面，不然为平面曲线），所以类似对应有刻画曲线扭转程度量挠率。（有大小又有方向）我们用副法向量转动速度来刻画曲线扭转程度。现在设曲线上一点自然参数为,另一邻近点自然参数为，在两点作曲线副法向量和,此两个副法向量夹角是由第一节命题知扭转程度大小为几何意义是它数值为曲线副法向量对于弧长旋转速度第5页因为亲密平面把空间分成上下两部分，对扭转程度要考虑付法向量向上还是向下即有方向，即有下面定义下面考虑扭转方向,因 所以第6页定义：曲线在点挠率为挠率绝对值是曲线副法向量（或亲密平面）对于弧长旋转速度。第7页空间曲线伏雷内公式由定义则有基本向量导向量与基本向量关系，即微分几何主要公式第8页这组公式是空间曲线论基本公式。它特点是基本向量关于弧长微商能够用线性组合来表示。系数组成反称方阵第9页挠率计算公式第10页曲率和挠率普通参数表示式已给出类曲线普通参数曲率表示式普通参数表示挠率计算公式（与曲率求法类似）注：曲率和挠率是几何不变量，即在参数变换下不变（易证）第11页命题命题曲线为平面曲线充要条件是.证实设方程为r=r(s).在某平面(为上一个定点对应向量,n为平面单位法向量).对上式两边求导,得.从而.若k=0,则.于是反过来所以曲线为平面曲线若第12页命题：空间曲线为平面曲线充要条件是证 由上例曲线为平面曲线充要条件是等价于而所以所以命题成立。第13页空间曲线在一点亲密圆（曲率圆）是过曲线上一点主法线正侧取线段使长为。以为圆心，以为半径在亲密平面上确定一个圆，这个圆称为曲线在点亲密圆（曲率圆），曲率圆中心称为曲率中心，曲率圆半径称为曲率半径。曲率中心轨迹设对应Y，则有轻易证实C在P点与曲率圆相切，且在P点曲率相同第14页例例1求圆柱螺线r=acost,asint,bt(a0,b0均为常数)曲率、挠率、曲率中心和曲率圆.解=-asint,acost,b，=-acost,-asint,0，=asint,-acost,0.于是=所以圆柱螺线曲率和挠率都是常数.第15页.故曲率中心半径向量为能够求出亲密平面为于是曲率圆为第16页