基于饱和发生率的游客人数模型的动力学分析.pdf

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(4),1477-1485 Published Online April 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.134138 文章引用文章引用:刘娇,金银芳,金银来.基于饱和发生率的游客人数模型的动力学分析J.应用数学进展,2024,13(4):1477-1485.DOI:10.12677/aam.2024.134138 基于饱和发生率的游客人数模型的动力学基于饱和发生率的游客人数模型的动力学 分析分析 刘刘 娇娇1，金银芳，金银芳2*，金银来，金银来1*1临沂大学数学与统计学院，山东 临沂 2临沂大学学报编辑部，山东 临沂 收稿日期：2024年3月19日；录用日期：2024年4月18日；发布日期：2024年4月25日 摘摘 要要 本文将具有饱和发生率的传染病动力学本文将具有饱和发生率的传染病动力学SIRS模型应用于旅游业研究，获得了游客人数动力学模型模型应用于旅游业研究，获得了游客人数动力学模型。通过通过对该模型系统的动力学性质分析，获得了平衡点类型及全局渐近稳定的条件，分析了游客人数变化的趋对该模型系统的动力学性质分析，获得了平衡点类型及全局渐近稳定的条件，分析了游客人数变化的趋势势。进一步通过模拟在不同因素影响下的游客人数变化趋势发现，提高旅游吸引力、降低游客拥挤系数、进一步通过模拟在不同因素影响下的游客人数变化趋势发现，提高旅游吸引力、降低游客拥挤系数、延长旅游时长、提高可能再次旅游的概率皆可增加游客人数，并据此为旅游业的健康和可持续发展提供延长旅游时长、提高可能再次旅游的概率皆可增加游客人数，并据此为旅游业的健康和可持续发展提供了建议了建议。关键词关键词 饱和发生率饱和发生率，SIRS模型模型，平衡点平衡点，全局渐近稳定性全局渐近稳定性 Dynamic Analysis of Tourist Number Model Based on Saturation Incidence Rate Jiao Liu1,Yinfang Jin2*,Yinlai Jin1*1School of Mathematics and Statistics,Linyi University,Linyi Shandong 2Journal Editorial Department,Linyi University,Linyi Shandong Received:Mar.19th,2024;accepted:Apr.18th,2024;published:Apr.25th,2024 Abstract This article applied the SIRS model of infectious disease dynamics with saturation incidence rate to tourism industry research and obtained a dynamic model of tourist numbers.By analyzing the *通讯作者。刘娇 等 DOI:10.12677/aam.2024.134138 1478 应用数学进展 dynamic properties of the model system,the types of equilibrium points and the conditions for global asymptotic stability were obtained,and the trend of changes in tourist numbers was ana-lyzed.Further simulation of the trend of tourist numbers under different factors revealed that increasing tourism attractiveness,reducing tourist congestion,extending tourism duration,and increasing the probability of re-tourism can all increase the number of tourists.Based on this,suggestions are provided for the healthy and sustainable development of the tourism industry.Keywords Saturation Occurrence Rate,SIRS Model,Equilibrium Point,Global Asymptotic Stability Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 随着国内疫情防控政策逐步优化，旅游市场逐渐复苏，过去三年累积的旅游意愿得到了快速释放，从需求方面有力推进了旅游经济的快速复苏。2023 年各季度居民出游意愿维持在 90%以上，随着旅游业的日益发展，高效准确预测游客人数及变化趋势对景区的科学管理与规划具有指导作用，对于制定有效的战略、提高经济效益、减少风险以及促进可持续发展都具有重要的战略意义。我国旅游方面的预测分析起始于 20 世纪 80 年代中期，针对旅游人数预测，国内大多采用 GM(1,1)模型，时间序列模型和 BP 神经网络模型等1 2 3。本文将传染病动力学中的 SIRS 模型作为理论工具，研究游客人数变化模型。由于旅游发生率受多方面的影响，易达到饱和状态。因此，将具有饱和发生率的传染病动力学 SIRS 模型与游客人数结合在一起，分析了游客人数变化的趋势。应用微分方程定性与稳定性理论，探究平衡点的存在性及稳定性，给出了基本再生数，通过构造 Dulac 函数探究极限环的不存在性并讨论不同因素对游客人数变化的影响。最后通过模拟在不同因素影响情况下游客人数变化的趋势，为旅游业的健康和可持续发展提供建议。2.基于饱和发生率的游客人数模型基于饱和发生率的游客人数模型 假设总人口数为 N 且 N 不变，S(t)，I(t)，R(t)分别代表 t 时刻未去某旅游目的地的人数，正在某旅游目的地的游客人数，从该地结束旅游的游客人数，出生率和死亡率相等皆为 b，表示可能再次旅游的比例系数，表示该地对游客的吸引力系数，表示“游客拥挤”系数(游客人数增多对个体的影响系数)，1表示平均旅游时长。建立如下基于饱和发生率的游客人数模型4：()()()()()()()()()()()()()dd1dd1ddS t I tSbNbS tR ttI tS t I tIbI tI ttI tRI tbR tR tt=+=+=(1)Open AccessOpen Access刘娇 等 DOI:10.12677/aam.2024.134138 1479 应用数学进展 令()()()R tNS tI t=，代入(1)中的前两式得：()()()()()()()()()()()()dd1dd1S t I tSbNbS tI ttI tS t I tIbI tI ttI t=+=+(2)其中()(),0,0,S IDS ISNIN SIN=+。3.模型分析模型分析 3.1.平衡点分析平衡点分析 令()()()()()()()()()()()()d0d1d0d1S t I tSbNbS tI ttI tS t I tIbI tI ttI t=+=+=+(3)可解得平衡点为：()1,0MN，()()()()()()()()()()()()*2,bbbNbNbMSIbbbbbb +=+情况情况 1：1Nb+。此时，D 内只有唯一的平衡点1M，其线性近似系统的系数矩阵为0bNNb，特征根为 10b=，20Nb=+。此时，()()()()()()()()()()()()*0bbbNbNbbNSNbbbbbb +=+，()()()()()()()()()()()()()()()()()*0bNbbNbbIbbbbbbbNbbNNbbb +=+=+所以*0SN，*0IN，于是1M，2M都是 D 内的平衡点。系统在1M处的线性近似系统的系数矩阵为0bNNb。特征根为10b=，故1M为鞍点。系统在2M处的线性近似系统的系数矩阵为 刘娇 等 DOI:10.12677/aam.2024.134138 1480 应用数学进展 ()()()()*2*2*1111ISbIIISbII+(4)其特征方程为20pq+=，特征根为21,242ppq=，其中，()()()*2*11ISpbbII=+，()()()()()()()*22*2*1111111ISSIqbbIIIIISIbbIII=+=+(3)中的第二式I 得()01SbI+=+，故11bIS+=+，将其代入 p，q 得()()()()2*bIbpbbSS+=+，()()()()2*()bIbIbqbbSSS+=+.将*S代入()2*bS+得，()()()()()()()()2*bbbbbbSbbN+=，0q，故2M的特征根具有负实部，该平衡点是渐近稳定的。3.2.极限环分析极限环分析 取 Dulac 函数1BI=。令()()()()()()()()()()()()()(),1,1S t I tP S IbNbS tI tI tS t I tQ S IbI tI tI t=+=+，则()()()()2011BPBQbSSIIII+=+.由平面定性理论可知，系统无闭轨。3.3.主要结论主要结论 定义基本再生数0NRb=+。定理定理.当01R 时，系统(2)在 D 内有两个平衡点 M1和 M2，其中 M1为鞍点，M2在 D 内是全局渐近稳定的，随着时间的推移，S(t)，I(t)，R(t)最终趋于稳定的数值。运用 MATLAB 软件验证结论的准确性。基于上述理论模型，通过模拟选择下文所使用的数据，以便模拟检验理论的预测效果。例例 1.选择的参数如下：7000700070003000000,2000,100,2.5 10,0.01,0.007,1.2,0.013000000,2000,100,3 10,0.015,0.007,1.3,0.0123000000,2000,100,3.5 10,0.02,0.007,1.4,0.015SIRbSIRbSIRb=经计算可得基本再生数01R，变化情况如图 1 所示，随着时间的推移，S(t)趋于稳定的数值，I(t)和 R(t)逐渐趋于零。Figure 1.01R 图图 1.01R，变化情况如图 2 所示，随着时间的推移，S(t)逐渐趋于零，I(t)和 R(t)趋于稳定的数值。4.基于饱和发生率的游客人数模型的影响因素的分析基于饱和发生率的游客人数模型的影响因素的分析 4.1.旅游吸引力系数旅游吸引力系数 对对游客人数的影响游客人数的影响 旅游目的地对游客的吸引力通常被称为“旅游吸引力”，这是指一个地方所具有的特定特征、资源、活动或体验，能够引起游客兴趣、激发他们的欲望，并促使他们选择该地作为旅行目的地。目的地的独刘娇 等 DOI:10.12677/aam.2024.134138 1482 应用数学进展 特性和吸引力是决定游客数量的重要因素。通过数值模拟不同旅游吸引力系数条件下游客人数变化的结果如图 3 所示。Figure 2.01R 图图 2.01R Figure 3.Different tourist attraction coefficients 图图 3.不同旅游吸引力系数 由图可知，旅游吸引力系数 越大，游客人数 I(t)越多，因此可以通过提高旅游目的地的吸引力来提高游客人数。例如突出目的地的独特性和特色，强调其与众不同之处。推广目的地的文化元素，包括传刘娇 等 DOI:10.12677/aam.2024.134138 1483 应用数学进展 统艺术、音乐、手工艺品、节庆等，文化体验也是吸引游客的关键之一。还可以提升目的地的基础设施和便利性，确保游客能够舒适、方便地游览，制定吸引人的活动和体验，如冒险运动、文化课程、生态旅游等。综合上述途径提高旅游目的地的吸引力，使其成为游客心目中的理想旅行地点。4.2.“游客拥挤”系数“游客拥挤”系数 对游客人数的影响对游客人数的影响 尽管旅游目的地的吸引力可以促使人们选择某个地方进行旅游，但在旅游人数增多的情况下，个体的旅游意愿可能受到一些制约。如果一个旅游目的地变得拥挤，导致景点、公共设施和交通工具过度拥挤，游客可能感到不舒适，从而降低他们的旅游意愿。随着旅游人数的增加，一些目的地可能会提高价格，包括酒店、门票、餐饮等，高昂的费用可能使一些个体望而却步，降低他们的旅游意愿。大量游客可能导致服务质量下降，例如长时间等待、服务员不堪重负等。这些因素可能让游客对旅游体验产生负面印象，降低他们的意愿再次选择该目的地。通过数值模拟不同“游客拥挤”系数条件下游客人数变化的结果如图 4 所示。Figure 4.Different tourist crowding coefficients 图图 4.不同游客拥挤系数 由图可知，“游客拥挤”系数越小，游客人数 I(t)越多，因此可以通过减小“游客拥挤”系数来提高游客人数。例如，制定合理的游客数量限制，特别是对于一些容易受到拥挤影响的景点和地区，设计更为高效的游客流程，减少拥挤时段的等待时间。这可以通过引入先进的技术、在线购票、预约系统等来实现，提高游客体验。改善交通条件，更便捷的交通条件有助于拓展潜在的游客市场，通过提高航班、铁路、公路等交通工具的频次和质量，可以吸引更多游客。4.3.旅游时长旅游时长1 对游客人数的影响对游客人数的影响 一般情况下，旅游时长对游客人数的影响取决于多种因素，包括目的地的吸引力、旅游类型、季节性因素以及游客的个人限制和偏好。有一些情况下，较长的旅游时长可能会吸引更多的游客，特别是对刘娇 等 DOI:10.12677/aam.2024.134138 1484 应用数学进展 于那些寻求深度文化体验、冒险旅行或长途度假的人群。这些游客可能更愿意花更多的时间在一个目的地，以更全面地了解当地文化、历史和风土人情。然而，对于一些短期的度假目的地或者强调主题性质的旅游活动，游客可能更倾向于短暂的停留，但可能会在一年内进行多次短途旅行。通过数值模拟该模型在不同的旅游时长条件下的变化情况如图 5 所示。Figure 5.Different travel durations 图图 5.不同的旅游时长 由图可知，在该模型的条件下，旅游时长1越长，游客人数 I(t)越多。但总体而言，旅游时长与游客 人数之间是存在一定的关联，但两者之间的关系是复杂的，需要考虑多个因素。不同的旅游时长也反映了不同游客群体的需求和偏好。因此，目的地和旅游服务提供商可以通过了解这些趋势来调整自己的策略，以更好地满足不同游客群体的需求。4.4.可能再次旅游的概率可能再次旅游的概率 对游客人数的影响对游客人数的影响 游客可能再次去某个旅游地的比例可以对该地的游客人数产生重要影响。该比例越高意味着一个旅游地可以拥有长期稳定的客源，这对于旅游业来说是非常有价值的。因为它不仅意味着吸引新游客，还表示已有客户的保持和忠诚度。如果游客在第一次访问中获得了良好的体验，他们更有可能再次选择同一目的地，从而形成一个良性的循环，形成较高的品牌价值，进而吸引更多游客。通过数值模拟不同概率条件下游客人数变化的结果如图 6 所示。由图可知，可能再次旅游的概率越大，游客人数 I(t)越多，因此可以通过提高来增加游客人数。例如通过提供卓越的服务、清洁、便利的设施和友好的工作人员，确保游客在第一次访问时有愉快的体验。定期更新或增加新的景点、活动或体验，保持目的地的吸引力。对游客的反馈进行认真回应，及时解决问题，展示对顾客满意度的关注和承诺，这种积极的态度可以增强游客对品牌的信任，提高再次光顾的可能性。刘娇 等 DOI:10.12677/aam.2024.134138 1485 应用数学进展 Figure 6.Different probabilities of revisiting 图图 6.不同的可能再次旅游概率 5.结论结论 本文将传染病动力学中的 SIRS 模型作为理论工具，研究游客人数变化模型。应用微分方程定性与稳定性理论，探究平衡点的存在性及稳定性，给出了基本再生数0R。当01R 时，系统有两个平衡点 M1和 M2，其中 M1为鞍点，M2是全局渐近稳定的，即随着时间的推移，S(t)，I(t)，R(t)最终趋于稳定的数值。进一步通过构造 Dulac 函数分析极限环的不存在性。在基于饱和发生率的游客人数模型的基础上，分析了不同的参数，对于游客人数的影响，模拟不同参数变化的情况下 S(t)，I(t)，R(t)的变化趋势。结果表明，提高旅游吸引力、降低游客拥挤系数、延长旅游时长、提高可能再次旅游的概率皆可增加游客人数。因此可以通过提高旅游目的地对游客的吸引力，推广目的地的文化因素，制定吸引人的活动；降低“游客拥挤”带来的负面影响，设计更为高效的游客流程，对可能引起拥挤的特定活动或事件实施限制，以平衡客流量；不断检测游客数量和旅游时长的情况，根据实际情况对管理策略进行调整；完善服务设施和提升服务质量，确保游客在第一次访问时有愉快的体验等途径增加游客人数，为旅游业的发展提出了可实施性的建议。基金项目基金项目 山东省自然科学基金(ZR2018MA016,ZR2015AL005)项目支持。参考文献参考文献 1 刘丽梅.基于灰色系统理论的慢旅游需求预测与分析以云南丽江古城为例J.西部旅游,2023(18):54-56.2 赵玥.时间序列分析方法在景点人数预测问题中的应用D:硕士学位论文.哈尔滨:黑龙江大学,2018.3 李玥.基于 ARIMA 模型的旅游人数预测D:硕士学位论文.南昌:江西财经大学,2019.4 马知恩,周义仓,王稳地,靳祯.传染病动力学的数学建模与研究M.北京:科学出版社,2004.