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第 43 卷 第 2 期Vol.43,No.22024 年 3 月Journal of Applied AcousticsMarch,2024 研究报告 幂函数形式连续变截面梁振动的弯曲固有频率分析张永康1鲍四元2(1 苏州市职业大学机电工程学院苏州215104)(2 苏州科技大学土木工程学院苏州215011)摘要：为给变截面变幅杆弯曲振动提供设计依据,该文使用微分方程解析法求解变截面梁固有频率。首先，建立变截面梁模型，其中截面面积和惯性矩均按幂次函数变化。得到变截面梁自由振动时挠度的解析表达式，并获得不同边界条件下梁弯曲振动的固有频率方程。其中惯性矩所对应幂指数与截面面积的幂指数的差值为4时，可得自振频率方程的精确形式；而幂指数差值不等于4时，给出近似解法。其次，对4种具体的变截面梁求解不同边界下的自振频率，并与瑞利-里兹法所得的自振频率解比较。验证精确解法结果的正确性，并发现近似解法结果的相对偏差在5%以内。该解析方法较瑞利-里兹法具有能快速求解的特点，且易于分析截面参数对梁固有频率的影响。由算例可得，边界和其他参数不变时，梁的同阶次无量纲自振频率随着幂次指数的增加而增加。几何参数中仅截面形状参数改变时，随着形状参数的增加，梁的同阶次无量纲自振频率随之减小，但固定-自由梁的第1阶自振频率除外。关键词：变截面梁；固有频率；微分方程解析法中图法分类号:O327文献标识码:A文章编号:1000-310X(2024)02-0330-09DOI:10.11684/j.issn.1000-310X.2024.02.011Analysis of natural frequency of beams with power-function-type continuousvariable sectionZHANG Yongkang1BAO Siyuan2(1 School of Mechanical and Electrical Engineering,Suzhou Vocational University,Suzhou 215104,China)(2 Department of Engineering Mechanics,Suzhou University of Science and Technology,Suzhou 215011,China)Abstract:To provide a design reference for the flexural vibration of variable section amplitude rods,in thispaper,the natural frequencies of beams with variable section are obtained by using analytical solution methodfor differential equation.First,a model is established for beam with variable cross-section.The analyticalform of the deflection of the beam is derived,and the bending vibration frequency equation is obtained underdifferent boundary conditions.For the cross section of a rod,when the power exponent of the function formoment of inertia is 4 larger than that of the function for area,the exact form of the natural frequency equationis obtained.The approximate form of the natural frequency equation is obtained for the case of the differenceof the power exponent being not equal to 4.Then for four kinds of cross-section,the frequencies of the beamsare obtained for different boundary conditions.It is found that compared with the results by the Rayleigh-Ritzmethod the relative derivative is less than 5%,and this proves the accuracy of the presented analytical method.2023-08-23收稿;2023-12-06定稿国家自然科学基金项目(11372206,51709194)作者简介:张永康(1977),男,江苏南通人,博士,副教授,研究方向:结构动力学及破坏分析。通信作者 E-mail:第43卷 第2期张永康等：幂函数形式连续变截面梁振动的弯曲固有频率分析331The presented method has the advantage of being a fast-solving method,which can also be used to analyzethe influence of the geometric parameters on the natural frequencies.Finally,it can be concluded that thedimensionless natural frequencies of variable section beams increase with the index of the varying cross sectionif the boundary and other parameters keep unchanged.With the increasing of the shape coefficient,thedimensionless natural frequency of the same order of the beam gradually decreases except for the first ordernatural frequency of the clamped-free beam.Keywords:Beams with variable section;Natural frequency;Analytical method for the differential equation0 引言随着科技发展，在将脆性材料加工成高精度构件的过程中，超声振动的应用变得十分频繁。高精构件加工中弯曲振动模式受到了极大的重视并被广泛使用，这对于提高加工效率和构件的质量都有很显著的作用。弯曲振动模式成为了超声高精加工的主要关注点之一1。超声变幅杆是高精加工装置的一种常用构件，目前其纵向振动和扭转振动都已经具有很完善的成果，但弯曲振动因为问题的复杂性，对其研究仍有缺陷，致使高精构件加工过程中超声技术的使用依旧存在诸多限制2。超声变幅杆一般由于考虑能量传输性能做成阶梯形变截面杆3，但对工作稳定性和抗弯刚度要求较高的情况一般会选择连续变截面杆，因此对连续变截面杆弯曲振动固有频率的计算在超声加工领域有着重要意义。连续型变截面梁固有频率求解一般可通过求解振动微分方程来实现4，方书盛5、周坤涛等6均使用了微分方程解析法求解。微分方程解析法是一种精确方法，通常具有相对简洁的表达式，但经常由于高阶微分方程求解的困难性而难以求解，故只能求解部分特殊情况。用于求解连续变截面杆固有频率的方法目前还有差分法7和传递矩阵解法810等。崔灿等11使用了分段思路，即将一段连续变截面杆分成很多个等截面杆，然后通过等截面杆的方法求解。通过这种方法可以得到比较精确的固有频率，但这种方法由于其计算式复杂而受到了一定的限制。变截面连续梁固有频率求解至今仍是研究者感兴趣的一个方向。如严日明等12推导了圆锥形杆件弯曲固有频率求解过程，并给出不同边界条件下锥形杆的固有频率方程。李继民等13使用最小余能原理对圆锥形变截面杆在有无横向荷载的情况下进行了求解。除了上述计算变截面连续梁固有频率的方法外，有限元分析法也较为常见。有限元法的主要思想是将模型划分成若干小单元，对每个单元体进行分析，最终得到整个模型的相关数据。文献1416中讨论或部分涉及了变截面梁振动问题的有限元分析，但该分析法属于数值方法，且建模及计算过程较为复杂。为了建立一种能够快速而准确分析变截面梁固有频率的解析方法，对于幂次函数变化的变截面形式梁，本文根据横向自由振动微分方程的表达式，当截面惯性矩函数和截面积函数均为幂函数，且幂指数差值为4时，易于发现挠度具有幂次函数形式时可直接满足微分方程，并得到幂次函数指数所满足的特征方程，结合边界条件，得到自振频率的特征方程；而幂指数差不等于4时，可对振动微分方程引入参数后积分并做类似处理，从而得到自振频率的近似解。本文算例部分对于不同变截面梁，当截面符合幂次函数变化时，利用微分方程解析法求解得到4种具体幂函数截面形式梁的固有频率。根据各种边界下变截面梁的自振频率总结出无量纲固有频率随形状参数变化的若干规律。1基本方程的建立选取细长梁为研究对象，采用经典Euler-Bernoulli梁理论研究变截面梁的自由振动特性。其基本原理是梁结构的横截面在发生变形前后始终都垂直于中心轴并且不发生任何切应变，即只考虑弯曲转动变形而忽略横向剪切变形对梁的影响。如图1所示，梁上选取坐标轴X，原点位于梁的左端截面的形心，X 轴与梁的轴线重合。在弯曲振动过程中，梁的运动微分方程为2X2EI(X)2Y(X,t)X2+A(X)2Y(X,t)t2=0,(1)其中，Y(X,t)是横向位移，是体积密度，E 是杨氏模量，L是梁长，I(X)是梁的横截面对中性轴的惯性矩，A(X)是梁的横截面的面积，t是时间。3322024 年 3 月XYZ图1变截面梁示意图Fig.1 The illustration of a beam with variable section基于以下关系引入无量纲变量x和函数y(x)、e(x)和p(x)：X=xL,Y=Ly(x)eit,EI(x)=EI0e(x),A(x)=A0p(x),(2)其中，x为梁上一点的无量纲坐标，其定义域为0,1；EI0表示梁左端抗弯刚度，A0表示梁左端的横截面面积，EI0和A0也分别对应于整个梁中截面抗弯刚度和横截面面积的幅值；为自由振动时的固有频率，i为虚数单位。将式(2)代入式(1)得EI0d2dx2e(x)d2ydx2 L42A0p(x)y=0.(3)为了方便计算，将无量纲化，即=2L4A0/(EI0).(4)由此式(3)可表示为d2dx2e(x)d2ydx2 2p(x)y=0.(5)为便于描述变截面，引入无量纲长度坐标z如下：z=1 cx,0 6 c 6 1,(6)其中，c是形状参数，当c=0时，该梁为均匀梁；而当c=1时，该梁有一尖头。将式(6)代入式(5)，可得梁关于z的振动微分方程如下：c4d2dz2e(z)d2ydz2 2p(z)y=0.(7)2微分方程解析法变截面梁的振动微分方程式(7)中，挠度解采用幂函数的形式，其适用前提是函数e和p均为幂次函数。设e(z)=zn+4,p(z)=zm,(8)其中，函数e和p的定义见式(2)，且分别是与横截面的惯性矩、面积相关的函数。其中e(x)的幂指数出现了4是为了便于满足方程式(7)，即m=n时可直接得到满足微分方程的解，m不等于n时得到近似解。2.1位移函数解析表达式的确定当函数e和p的形式如式(8)所示时，式(7)为线性微分方程。可令y=z，代入式(7)并化简得znc4(1)(+n+1)(+n+2)zm2=0.(9)以下按照n、m的值是否相等分类讨论。2.1.1n与m相等时当式(8)中n=m时，截面惯性矩、面积相关的函数e和p的幂指数相差4。由式(9)存在关系式c4(1)(+n+1)(+n+2)2=0.(10)可得方程(8)的通解为y=C1z1+C2z2+C3z3+C4z4,(11)其中，k(k=1,2,3,4)形式如下：1,2=12(n+1)(n2+4n+5)+(n+2)2+42/c4,(12)3,4=12(n+1)(n2+4n+5)(n+2)2+42/c4.(13)2.1.2n与m不等时若式(8)中n=m，提出一种近似解法。具体地，式(9)可转化为z nc4(1)(n+2)(n+1)z m2=0,(14)其中，n=n+,m=m+。根据截面形状系数c不同，参数 可取0或其他实数。一般地，c较小时，参数 取0；而c较大时，参数 可尝试取=n 1，使得 n=1。第43卷 第2期张永康等：幂函数形式连续变截面梁振动的弯曲固有频率分析333首先，对式(14)两边做定积分，其中变量z的区间为1,1 c，则存在关系式c4(1)(+n+1)(+n+2)1c1z ndz 21c1z mdz=0(15)或c4(1)(+n+1)(+n+2)g2=0,(16)其中，系数g的值根据参数 的值而定。如=0时，有g=n+1 m+11 (1 c)m+11 (1 c)n+1.(17)而若选取=n 1，则g=1ln(1 c)1 (1 c)m+1 m+1.(18)再按式(16)可求出特征根k(k=1,2,3,4)的表达式。相应可得变截面梁挠度类似式(11)的表达式。2.2不同边界条件下梁自振频率的求解主要考虑3种经典边界条件：简支、固定、自由三种。下面讨论具体的约束方程。(1)端部简支(Pinned，简称为P)。相应地，y=0,d2ydx2=0.(19)(2)端部固定(Clamped，简称为C)。相应有y=0,dydx=0.(20)(3)端部自由(Free，简称为F)。相应的约束方程为d2ydx2=0,ddx(ed2ydx2)=0.(21)将位移函数式(11)代入上述边界条件，可得关于C1、C2、C3、C4的4个线性方程组。该方程组系数矩阵的行列式为零是C1、C2、C3、C4具有非零解的条件，从而建立频率的特征方程，求解后可得到不同边界条件下的无量纲自振频率。所提方法对于弹性边界的端部约束同样适用。以两端固定边界为例，对于截面为幂次函数式(8)的情形，结合式(11)，对应梁的频率特征方程如下：?11111234(1 c)1(1 c)2(1 c)3(1 c)41(1 c)112(1 c)213(1 c)314(1 c)41?=0,(22)其中，特征根k(k=1,2,3,4)需按照式(12)和式(13)替换为无量纲频率的表达式。3 算例下面考虑几种不同截面类型梁自振频率的解法，其中截面的惯性矩和面积均按幂函数变化。由于式(8)中幂次指数m、n是任意的，所以会有无数个情况。本文考虑如下情况，即n、m分别取(1)n=m=4；(2)n=m=0；(3)n=2，m=1；(4)n=0，m=2，共4种情况。3.1精确解析解法3.1.1第1种变截面梁第1种变截面梁为方形截面，n=m=4，其示意图见图2。LxzbNhNbhO图2第1种变截面梁Fig.2 The first type of beam with variable cross-section由n=4可得：e=z8,q=z4。根据梁截面的惯性矩I 与h3成正比，知梁截面的边长沿轴向按照b=b0z2进行抛物线变化。此时I=b4/12=I0z8,A=A0z4，其中I0=112b40,A0=b20。由式(12)和3342024 年 3 月式(13)得k=523749+2c4(k=1,2,3,4)。基于式(11)所示的基本解，结合边界条件，可得关于系数C1、C2、C3和C4的齐次方程组。令其系数行列式为零，得到自振频率的基本方程。计算可得前5阶变截面梁的自振频率，数据列在表1中，其中c=0的均匀梁也包含在内，且自上而下列了前5阶无量纲自振频率。表1第1种变截面梁的无量纲自振频率(n=m=4)Table 1Dimensionless natural frequencyof the first type of beam with variablecross-section(n=m=4)c0.20.40.50.70.9C-C(或F-F)22.37318.17914.57513.03010.6189.430961.67349.82038.92933.84124.35915.577120.9097.42875.34764.81244.62537.076199.86160.87123.82105.9871.47252.293298.56240.16184.37157.40104.9470.494C-P(或P-F)15.41813.58611.80110.9859.70569.224249.96541.42233.37029.52022.13714.933104.2585.08066.84358.04340.93323.649178.27144.57112.3396.71666.23035.284272.03219.91169.89145.6098.10749.852C-F3.51604.18705.05485.58086.85347.087522.03520.07418.04317.00714.8738.415161.69751.96342.59738.01728.90412.406120.9099.56579.04869.04449.29619.110199.86163.01127.54110.2576.21128.610P-P9.86967.79965.55034.37512.03560.242639.47831.85724.79721.49715.47310.77088.82671.57455.34347.60432.83518.708157.91127.1197.85283.77756.57729.652246.74198.49152.41130.1486.85243.524由表1可知，C-C边界和F-F边界的无量纲自振频率相等。类似地，C-P和P-F算例也具有相同的无量纲自振频率，这可从自振频率行列式的表达式相同进行解释。文献17从其他角度得到相同的结论，并对此做了严密分析。由表1数据可得不同边界条件下梁的各阶无量纲自振频率随着形状参数的变化规律，其中第1阶、第2阶无量纲振动频率的变化曲线见图3和图4。在一般情况下，梁的同阶次无量纲自振频率随着形状参数c的增加而减小，仅C-F边界条件下梁的基频除外。C-F边界下，随着形状参数的逐渐增大，无量纲基频值从3.516(c=0时)逐渐增大到7.0875(c=0.9时)。另外，表1虽然研究的是正方形截面梁，易知对于长度、宽度分别按b=b0z2、h=h0z2变化的长方形截面梁，结论同样成立。51015200.20.40.60.8cCC(?FF)CP(?PF)CFPP图3梁的第1阶自振频率随形状参数的变化Fig.3 The values of the basic frequency varyingwith the shape parameter of the section0.20.40.60.8c102030405060CC(?FF)CP(?PF)CFPP图4梁的第2阶自振频率随截面形状参数的变化Fig.4 The values of the second order frequencyvarying with the shape parameter of the section为验证上述结果的准确性，选取方形变截面梁，并应用瑞利-里兹法1819结合改进傅里叶级数法20求解，然后对比变截面梁自振频率的结果。其中截面高度、宽度均按照如下幂函数变化，即h(x)=h0z,b(x)=b0z,(23)其中，x=X/L,z=1 chx。矩形截面的左端横截面尺寸b0 h0，矩形截面的右端横截面尺寸bN hN，假定截面宽度、高第43卷 第2期张永康等：幂函数形式连续变截面梁振动的弯曲固有频率分析335度方向上的形状参数cb=ch=0.5，设横截面为矩形的变截面梁宽度和厚度都进行抛物线变化，即=2，相应地，梁在轴线方向上截面积函数、惯性矩函数分别为A(x)=A0(1 chx)4，I(x)=I0(1 chx)8。该变幅杆的长度L=0.4 m，截面几何参数如下：b0 h0=0.04 m 0.04 m，材料为6061铝合金，杨氏模量E=69 GPa，材料密度=2700 kg/m3。按本文所提解析解法计算，表2给出两端均简支(P-P)边界的变截面杆的前3阶无量纲自振频率i(i=1,2,3,4)，并与瑞利-里兹法的数据结果进行误差对比。瑞利-里兹法结合改进傅里叶级数法求解的结果可逼近精确解2122，表2中的结果从侧面说明本文所提方法的正确性。表2还给出基于解析解转化的频率(单位是Hz)，及采用有限元中实体单元计算的频率结果。由表2知，本文数据与有限元法结果的相对误差在5%以内。表2两端简支(P-P)边界变截面梁的自振频率Table 2Dimensionless natural frequencies of variable cross-section beams withsimply supported(P-P)boundary at both ends无量纲i解析解瑞利-里兹法相对偏差一/%本文对应频率fi/Hz有限元法的频率相对偏差二/%14.37514.37650.032f1=254.04251.580.98221.49721.5060.042f2=1248.221209.43.21347.60447.6680.134f3=2764.112647.34.413.1.2第2种变截面梁第2种变截面梁为矩形截面，n=m=0，其示意图见图5。xzbNhNbLhO图5第2种变截面梁Fig.5The second type of beam with variablecross-section将n=m=0代入式(8)可得e=z4,q=z0=1。故有I=I0e=I0(1 cx)4=112b0h30(1 chx)4,A=A0=b0h0.(24)由式(24)可知，梁的横截面面积沿轴向保持不变，由于梁矩形截面的惯性矩I 与h3成正比，可得高度沿轴向按照h=h0z2进行变化，而宽度沿轴向的变化规律是b=b0z2。故截面宽度和高度均做非线性变化。将n=0代入式(12)和式(13)得k=1/2 5/4 1+2/c4(k=1,2,3,4)。基于基本解式(11)，结合边界条件，可得关于系数C1、C2、C3和C4的齐次方程组。令齐次方程组的系数行列式为零，得到自振频率的基本方程。计算得梁的前5阶无量纲自振频率，数据列在表3中。表3第2种截面梁的各阶无量纲自振频率(n=m=0)Table 3Dimensionless natural frequencyof the second type of beam with variablecross-section(n=m=0)c0.20.40.50.70.9C-C(或F-F)22.37318.00013.82811.8147.90043.978661.67349.58137.96532.32421.30310.166120.9097.16674.29763.16741.36919.291199.86160.60122.72104.2668.08431.397298.56239.88183.24155.63101.4646.503C-P(或P-F)15.41812.77710.1668.86566.24023.411949.96540.52731.38526.91118.0778.9476104.2584.14064.69455.19536.50117.362178.27143.61110.0993.73261.56328.738272.03218.93167.59142.5393.28243.104对比表1和表3可知，当n=m时，在同种边界和形状参数取值相同条件下，随着截面变化的幂次指数的增加，梁的同阶次无量纲自振频率会随之增加。3362024 年 3 月3.2近似解析解法3.2.1第3种变截面梁考虑矩形变截面梁(其中e=z6，p=z，即参数n=2，m=1)，该截面类型属于n与m不相等的情形(见2.1.2节)。截面的宽度、高度均按照非线性函数变化，且b=b0z3/2，h=h0z5/2，其中b0 h0为矩形截面的左端横截面尺寸。按照假设式(11)和式(16)对应的近似解法计算F-F边界条件下梁的前4阶自振频率，所得结果列在表4中。其中对于不同形状参数c，建议 取不同的值。这里形状参数c为0.3和0.5时，式(18)中 n=n+，m=m+，且=0(参数g对应选取式(17)；而c=0.7时，选取=3(参数g对应选取式(18)。故随着形状参数的增大，参数 的取值呈现减小的趋势。表4第3种变截面梁的无量纲自振频率(n=2，m=1)Table 4Dimensionless natural frequencyof the third type of beam with variablecross-section(n=2,m=1)c0.30.50.7最大相对偏差/%F-F 边界114.865(14.579)10.34(10.049)6.335(6.052)2.9240.699(40.038)27.766(27.306)16.105(16.004)1.7379.633(78.444)53.85(53.247)30.585(31.14)1.94132.058(130.17)88.574(88.184)51.37(52.92)2.9由表4发现，当幂指数n和m不等时，随着形状参数的增大，各阶无量纲频率的值逐渐减小。对于两端自由变截面梁，表4中括号内数据为采用瑞利-里兹法结合改进傅里叶级数法所得的自振频率，可用于验证本文近似解的精度。对比发现，近似解析公式法所得结果与瑞利-里兹法的结果吻合，相对偏差一般不超过3%。3.2.2第4种变截面梁考虑棱台形变截面梁(矩形截面，n=0,m=2)，截面的宽度、高度均按照线性函数变化，其中b=b0z，h=h0z，其中b0 h0为矩形截面的左端横截面尺寸。则e=z4,p=z2，即式(8)中n=0,m=2。以两端自由边界梁为例，设形状系数c分别取0.1、0.2和0.3，求自振频率时，参数g按照式(17)得到，且选取=0，即有g=1c+c2/3，从而可解出对应梁的无量纲自振频率，具体见表5。其中括号内的数据为采用瑞利-里兹法结合改进傅里叶级数法所得的自振频率，用以验证近似解的精度，最后一列给出两种方法下同阶自振频率的相对偏差。由表5发现，形状系数c分别取0.1、0.2和0.3时，本文方法所得棱台形梁自振频率近似解与瑞利-里兹法所得解的最大相对偏差为3.48%，从而说明所提方法能够满足工程通常所需的精度。表5第4种变截面梁的各阶无量纲自振频率(n=0，m=2)Table 5Dimensionless natural frequencyof the fourth type of beam with variablecross-section(n=0,m=2)c0.10.20.3最大相对偏差/%21.21(21.263)19.96(20.171)18.60(19.10)2.6958.47(58.58)54.98(55.47)51.17(52.33)2.22F-F边界114.64(114.84)107.79(108.66)100.30(102.36)2.01189.65(189.9)178.64(179.75)166.49(169.405)1.76296.19(297.66)274.11(279.25)250.54(259.51)3.484结论对于横截面的面积和相对形心轴惯性矩都按幂次函数变化的变截面梁，采用微分方程解析法求解梁的自振频率。其中梁挠度采取幂函数解形式，将求解自振频率问题转化为求矩阵的特征值问题。此方法适用于常见的矩形和圆形截面。对于在0,1)范围内的任意形状参数c，可得各阶次自振频率的值。算例给出4种截面变化形式(均为幂次函数)下的变截面梁在不同边界时的自振频率解。算例结果表明，所提自振频率的精确解析方法能够得到准确值，而且所提近似解析方法用于求解幂次函数变截面梁时的误差可控制于5%以内。根据算例结果，变截面梁无量纲自振频率的变化具有以下规律：第43卷 第2期张永康等：幂函数形式连续变截面梁振动的弯曲固有频率分析337(1)截面变化情况相同时，两端固定和两端自由边界条件下变截面梁的对应无量纲自振频率相同。类似地，固定-简支和简支-自由边界条件下变截面梁的对应无量纲自振频率相同。(2)随着形状参数的增大，各阶无量纲频率的值一般逐渐减小，仅C-F边界条件除外。(3)在边界和形状参数值相同条件下，随着截面变化的幂次指数的增加，梁的同阶次无量纲自振频率会随之增加。需要指出的是，本文方法所得的自振频率结果适合于跨高比大于10的细长梁低频情况。对于高阶频率或厚梁的情况，应按铁木辛柯梁理论或者有限元方法分析，以得到较为接近实际的频率结果。参考文献1 张雄,焦锋.超声加工技术的应用及其发展趋势 J.工具技术,2012,46(1):38.Zhang Xiong,Jiao Feng.Applications and developmenttrends of ultrasonic machining technologyJ.Tool Engi-neering,2012,46(1):38.2 林书玉.超声换能器的原理与设计 M.北京:科学出版社,20043 潘巧生,刘永斌,贺良国,等.一种大振幅超声变幅杆设计J振动与冲击,2014,33(9):15,20.Pan Qiaosheng,Liu Yongbin,He Liangguo,et al.Designof an ultrasonic horn with high amplitude of longitudinalvibrationJ.Journal of Vibration and Shock,2014,33(9):15,20.4 Lee J Y,Jeon W J.Exact solution of Euler-Bernoulliequation for acoustic black holes via generalized hyper-geometric differential equationJ.Journal of Sound andVibration,2019,452:191204.5 方书盛.变截面梁振动固有频率的计算 J.汕头大学学报(自然科学版),2011,26(4):7380.Fang Shusheng.Computation for the natural oscillationfrequency of the beams with variable cross-sectional ar-easJ.Journal of Shantou University(Natural Science),2011,26(4):7380.6 周坤涛,杨涛,葛根.基于新型振型函数的渐细变截面悬臂梁的自由振动理论与实验研究 J.工程力学,2020,37(3):2835.Zhou Kuntao,Yang Tao,Ge Gen.Theoretical and experi-mental study on free vibration of cantilever tapered beambase on new modal functionJ.Engineering Mechanics,2020,37(3):2835.7 钱波,岳华英.变截面梁横向振动固有频率数值计算J.力学与实践,2011,33(6):4549.Qian Bo,Yue Huaying.Numerical calculation of naturalfrequency of transverse vibration of non-uniform beamsJ.Mechanics in Engineering,2011,33(6):4549.8 肖勇刚,李龙.基于传递矩阵法的变截面梁自振特性分析 J.公路与汽运,2022(4):129133.9 李佩冠.细长阶梯轴振动固有特性分析 J.自动化应用,2020(4):6466.10 牛国华,王刚锋,王剑.组合 L 型变截面梁的自由振动特性分析J.振动与冲击,2022,41(5):228234.Niu Guohua,Wang Gangfeng,Wang Jian.Analysis of freevibration characteristics of composite L-shaped variablecross-section beamJ.Journal of Vibration and Shock,2022,41(5):228234.11 崔灿,蒋晗,李映辉.变截面梁横向振动特性半解析法 J.振动与冲击,2012,31(14):8588.Cui Can,Jiang Han,Li Yinghui.Semi-analytical methodfor calculating vibration characteristics of variable cross-section beamJ.Journal of Vibration and Shock,2012,31(14):8588.12 严日明,刘德福,陈涛,等.一种圆锥形变幅杆弯曲振动固有频率的计算方法J.振动与冲击,2016,35(7):198204.Yan Riming,Liu Defu,Chen Tao,et al.A calcula-tion method for flexural vibration frequencies of a coni-cal hornJ.Journal of Vibration and Shock,2016,35(7):198204.13 李继民,苏铁坚,董云峰.应用最小余能原理确定变截面杆的固有频率(III)圆锥形悬臂杆 J.吉林建筑工程学院学报,2000(4):4953.Li Jimin,Su Tiejian,Dong Yunfeng.Natural frequencyof variable section beam determined using minimum ex-cess principleJ.Journal of Jilin Architectural and CivilEngineering Institute,2000(4):4953.14 张军锋,温珺博,李杰,等.铁摩辛柯梁单元刚度矩阵推导 J.应用力学学报,2020,37(6):26252633,2710.Zhang Junfeng,Wen Junbo,Li Jie,et al.Deriva-tion of element stiffness matrix of Timoshenko beam el-ementJ.Chinese Journal of Applied Mechanics,2020,37(6):26252633,2710.15 李伟,管鱼龙,谢浩,等.基于微分变换法的变截面梁振动研究及有限元数值模拟J.大学物理实验,2020,33(3):59.Li Wei,Guan Yulong,Xie Hao,et al.Vibration researchand finite element numerical simulation of variable sec-tion beam