基于lp-αlsub1_sub模型下的部分已知支集信号恢复的研究.pdf

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(1),392-400 Published Online January 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.131040 文章引用文章引用:吴丽君,宋儒瑛.基于1pll模型下的部分已知支集信号恢复的研究J.应用数学进展,2024,13(1):392-400.DOI:10.12677/aam.2024.131040 基于基于1pll模型下的部分已知支集信号恢复的模型下的部分已知支集信号恢复的研究研究 吴丽君吴丽君*，宋儒瑛，宋儒瑛 太原师范学院数学与统计学院，山西 晋中 收稿日期：2023年12月25日；录用日期：2024年1月19日；发布日期：2024年1月25日 摘摘 要要 压缩感知通过少量非自适应的线性测量有效地获取稀疏信号压缩感知通过少量非自适应的线性测量有效地获取稀疏信号，是一种新型的采样方法是一种新型的采样方法。它突破了传统的它突破了传统的香农采样定理的局限性香农采样定理的局限性，以远低于香农采样率的数据实现原始信号的精确恢复以远低于香农采样率的数据实现原始信号的精确恢复。本文在本文在1l，()01qlq，12ll，()1201ll等最小化模型基础下，考虑了新模型等最小化模型基础下，考虑了新模型()101,01pllp最小化，对部最小化，对部分已知支集的信号重建提出了一个新的条件，得到了信号在分已知支集的信号重建提出了一个新的条件，得到了信号在2l有界噪声、有界噪声、DS噪声及高斯噪声情形下的误噪声及高斯噪声情形下的误差逼近差逼近。关键词关键词 压缩感知，压缩感知，1pll最小化，限制等距性，误差估计最小化，限制等距性，误差估计 Research on Partial Known Support Signal Recovery Based on 1pll Model Lijun Wu*,Ruying Song School of Mathematics and Statistics,Taiyuan Normal University,Jinzhong Shanxi Received:Dec.25th,2023;accepted:Jan.19th,2024;published:Jan.25th,2024 Abstract Compressed sensing is a new sampling method which can obtain sparse signals effectively by a small number of non-adaptive linear measurements.It breaks the limitation of the traditional *通讯作者。吴丽君，宋儒瑛 DOI:10.12677/aam.2024.131040 393 应用数学进展 Xiangnong sampling theory and achieves the exact recovery of theoriginal signal with the data far below the Xiangnong sampling rate.In this paper,based on the 1l,()01qlq,12ll,12ll()01 minimization models,a new model called 1pll minimization and a new condition for signal reconstruction with partial known support is proposed,and the error approximation of the signal in the case of 2l bounded noise and DS noise is obtained.Keywords Compressed Sensing,1pll Minimization,Restricted Isometry Property,Error Estimates Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 压缩感知是由 Cands，Donoho 和 Tao 等提出的一种全新的基于稀疏信号的采样理论，被广泛应用于医学成像、光学成像、雷达探测等诸多领域，目的是从较少的测量yAx=中恢复一个较为稀疏的信号nxR，其中()m nARmn?是一个测量矩阵。实际应用中为了能够合理快速地重构信号，我们接触到的第一个方法是0l最小化方法1，即：0min,s.t.nx RxyAx=(1)然而这个方法是一个非确定多项式难度问题(NP-hard)，因为1l范数是一个凸函数，进而学者 Cands等人想到用1l最小化法来对0l最小化进行凸松弛2，即：1min,s.t.nx RxyAx=(2)该模型灵活地将多个子问题的优化问题转化为凸优化问题，在理论研究的基础上，学者们得到了在测量矩阵满足限制等距性、相干性等特性的条件下，对稀疏信号进行稳定恢复和鲁棒恢复的充分条件。随后，Jacques 等人提出了更加一般的pl范数模型，用于处理含噪信号的重构3；在此基础上，Ince 等人对信号的部分已知支集已知进行研究4，提出了一种基于部分已知支集的稀疏重建方法，并给出了具有部分已知支撑的信号恢复条件，理论结果表明该最小化方法具有稳定性和鲁棒性。近年来，Yin 等人提出了12ll范数模型5，即：12min,s.t.nx RxxyAx=(3)文章中 Yin 等人给出了该模型下精确和稳定恢复稀疏信号的条件，实质性地证明了该模型优于上述提到的几种模型。文章6 7 8 9中主要利用限制等距性和限制正交性，为12ll最小化建立了一个改进的充分条件，以保证鲁棒的信号恢复，事实证明，该条件都比之前的条件要好得多。文章10 11 12 13提出了部分已知支集下的信号恢复条件，给出了最小化方法本身也是非自适应的，在实际示例中可以得出信号最大误差的估计，因此部分已知先验信息对于恢复信号是非常有用的。受到前人研究成果的启发，自然而然地得到在1pll最小化下，讨论信号恢复是有意义的。文章利用1pll()01,01p+(6)则(4)式的解()*2xl和()*xDS分别满足：()0*2112TpxlxCD rr+(7)吴丽君，宋儒瑛 DOI:10.12677/aam.2024.131040 395 应用数学进展 ()0*222TpxDSxCD rr+(8)其中0TT=，00CTpTprrx=，r是残差Trxx=，0T是 r 的绝对值中最大的 k 个项的指标构成的一个指标集，即0Tr是 r 的最佳 k-项逼近，常数：()()()()()()1,2 2 112k sk sk s kCkskkskks+=+()()()()()()(),1,222112k s kk sk s kk sk s kkskskDkskkskks+=+()()()()()()()2,2 212k sk s kksksCkskkskks+=+()()()()()()(),2,222112k s kk sk s kk sk s kkskskDkskkskks+=+证明 1)()22:lBee=。现设定(4)式的解*xxh=+，1T是cTh的绝对值中最大的 k 个项的指标构成的一个指标集，cTh是保留h 在cT中指标所指引的元素，而令在cT之外的指标所指引的元素取 0 的向量，现假设00TTT=，11TTT=，()00ccTTT=，()11ccTTT=。因为*x是(4)式的解，所以有：()()111ccccccTTTTTTpppxxxhxhxx=+(9)由于00cccTTT=，很容易得到：()()()()()()000000111cccccccTTTTTpppTTTppTTppxhxhxhxhxhxhxhxh+=+(10)结合式(9)和式(10)整理可得：00012cccTTpTTpphhxh+(11)由于10ccTTpphh，01TTpphh，11cTkhhks+，式(11)可变为：11012ccTpTTppkhhxhks+(12)因为011111102,ccTTTppTTkxhhhkshks hkkk+，吴丽君，宋儒瑛 DOI:10.12677/aam.2024.131040 396 应用数学进展 故0111112cccTTppTTkxhhkshk hkkk+。再利用引理 1：令1kks=+，2kk=，0112cTTppkxhhkskk+=+，则有：011111,2,ccTTppk s kTTTpkxhhksAhAhk hkk+.进而可以得到：()1111011101112212,212,2,221cccTTTTTpk s kTTTppTpk sk s kTTTppAhAhAhAhAhkxhksAhhhkkxhkshhhk+(13)由于()1111222*2222,121TTk sTk sTAhAhAhAhAhhAxbAxbh+(14)结合式(13)和式(14)，整理可得：()()01111011112,2212,222221121ccTpk sk sk s kTTTTppTpk sk s kTTTkxhkshhhhkkxhkshhhk+两边同时处以12Th可得：()01,1,22211ck s kTpk sk sk s kTkxhkshk+。吴丽君，宋儒瑛 DOI:10.12677/aam.2024.131040 397 应用数学进展 由于条件中的式(6)保证,10k sk s k+，所以：()01,12,22111ck s kTpk sTk sk s kk sk s kkxhkshk+因为11TTpphh，则从式(12)可以得到：11012ccTTTpppkhhxhks+(15)引用引理 2，其中令lks=+，012cTpkxhks=+，进一步可以得到：011122ccTpTTpkxhkshhks+.因此：011110122122222212222cccTpTTTTpTpTkxhkshhhhhkskxhkshks+(16)整理后得：()()()()()()()()()()()()02,2 2 1122 2 12112ck sk sk s kk s kk sk s kTpk sk s khkskkskksskskxkskkskks+特别地，在无噪声情形下有：()()()()()()0,2,2 2 12112ck s kk sk s kTpk sk s kskskhxkskkskks+():DSTBeA e=。类似 1)的证明：()()1111111*,TTTTTTTAhAhA hA xxA hAxbehAAxbe=+=+吴丽君，宋儒瑛 DOI:10.12677/aam.2024.131040 398 应用数学进展 ()()111*122TTThAAxbeksh+(17)结合式(13)和式(16)可得：()()01111011112,2212,22222121ccTpk sk s kTTTTppTpk sk s kTTTkxhksks hhhhkkxhkshhhk+整理后有：()01,12,2211ck s kTpTk sk s kk sk s kkxhkskshk+(18)式(16)和式(18)整理后可得：()()()()()()()()()()()()()()02,2 212222112ck sk s kk s kk sk s kTpk sk s kkskshkskkskkskskskxkskkskks+特别地，在无噪声情形下有：()()()()()()()0,2,222112ck s kk sk s kTpk sk s kkskskhxkskkskks+定理 1 得证。3.2.高斯噪声高斯噪声 高斯噪声是众多噪声中一种较为特殊的噪声，其观察模型为：()2,0,nyAxe eNI=+.假定是已知的，矩阵 A 中的列向量均为单位向量，则定义以下两种噪声类型：12In:2ennBen=+；2:2InTBeA ep=.分别对应有15：()111P eBn；()211In2P eBp。可以看出高斯变量 e 高概率地位于集合1B和2B中，根据定理 1 以下定理显然成立。吴丽君，宋儒瑛 DOI:10.12677/aam.2024.131040 399 应用数学进展 定理定理 2 若测量矩阵m nAR满足：()()()(),2k sk s kkskkskksksk+，对于无约束优化问题(4)有如下结论15：1)()*2xl至少以()111P eBn 的概率满足：()()()()()()()()()()()()()()0*22,2 2 12In122 2 12112k sk sk s kk s kk sk s kTpk sk s knnnxlxkskkskksskskrrkskkskks+(19)2)()*xDS至少以()2112InP eBp 的概率满足：()()()()()()()()()()()()()()032*2,4 In12222112k sk s kk s kk sk s kTpk sk s kp ksxDSxkskkskkskskskrrkskkskks+.(20)4.小结小结 文章通过()101,01pllp最小化的方法，将其与信号的部分已知支集结合起来，得到了该模型下信号恢复的一个更精确的条件，并且具体地给出了有界噪声、DS 噪声及高斯噪声下的误差估计，对我们以后研究有关1pll最小化模型下测量矩阵的性质非常有意义。目前关于该模型的下测量矩阵的其他性质研究较少，有待学者们进一步研究。参考文献参考文献 1 Donoho,D.L.(2006)Compressed Sensing.IEEE Transactions on Information Theory,52,1289-1306.https:/doi.org/10.1109/TIT.2006.871582 2 Cands,E.J.and Tao,T.(2005)Decoding by Linear Programming.IEEE Transactions on Information Theory,51,4203-4215.https:/doi.org/10.1109/TIT.2005.858979 3 Jacques,L.(2010)A Short Note on Compressed Sensing with Partially Known Signal Support Signal Processing.Sig-nal Processing,90,3308-3312.https:/doi.org/10.1016/j.sigpro.2010.05.025 4 Ince,T.,Nacaroglu,A.and Watsuji,N.(2013)Nonconvex Compressed Sensing with Partially Known Signal Support.Signal Processing,93,338-344.https:/doi.org/10.1016/j.sigpro.2012.07.011 5 Yin,P.H.,Lou,Y.F,He,Q.and Xin,J.(2015)Minimization of 12ll for Compressed Sensing.SIAM Journal on Scientific Computing,37,A526-A563.https:/doi.org/10.1137/140952363 6 Wang,W.D.and Wang,J.J.(2019)An Improved Sufficient Condition of 12ll Minimization for Robust Signal Re-covery.Electronics Letters,55,1199-1201.https:/doi.org/10.1049/el.2019.2205 7 He,Z.H.,He,H.Y.and Liu,X.L.(2022)An Improved Sufficient Condition for Sparse Signal Recovery with Minimi-zation of 12ll.IEEE Signal Processing,29,907-911.https:/doi.org/10.1109/LSP.2022.3158839 吴丽君，宋儒瑛 DOI:10.12677/aam.2024.131040 400 应用数学进展 8 Cands,E.,Romberg,J.and Tao,T.(2006)Robust Uncertainty Principles:Exact Signal Reconstruction from Highly Incomplete Frequency Information.IEEE Transactions on Information Theory,52,489-509.https:/doi.org/10.1109/TIT.2005.862083 9 Candes,E.(2008)The Restricted Isometry Property and Its Implications for Compressed Sensing.Comptes Rendus Mathematique,346,589-592.https:/doi.org/10.1016/j.crma.2008.03.014 10 Vaswani,N.,et al.(2010)Modified-CS:Modifying Compressive Sensing for Problems with Partially Known Support.IEEE Transactions on Signal Processing,58,4595-4607.https:/doi.org/10.1109/TSP.2010.2051150 11 Chen,W.G.and Li,Y.L.(2019)Recovery of Signals under the Condition on RIC and ROC via Prior Support Informa-tion.Applied and Computational Harmonic Analysis,46,417-430.https:/doi.org/10.1016/j.acha.2018.02.003 12 宋儒瑛,武思琪,关晋瑞.基于12ll最小化的部分支集已知的信号重建J.湖北民族大学学报,2022,40(1):81-85.13 周珺.基于12ll范数极小化的稀疏信号重建条件J.合肥工业大学学报(自然科学版),2020,43(1):137-140.14 Cai,T.T.,Wang,L.and Xu,GW.(2010)Shifting Inequality and Recovery of Sparse Signals.IEEE Transactions on Communications,58,1300-1308.https:/doi.org/10.1109/TSP.2009.2034936 15 武思琪,宋儒瑛.基于12ll最小化的部分支集已知的信号重建J.应用数学进展,2022,11(8):6015-6028.https:/doi.org/10.12677/aam.2022.118634