利用矩阵迹求解两类正交矩阵谱的研究.pdf

第4 9卷 第4期2 0 2 3年1 2月延 边 大 学 学 报(自然科学版)J o u r n a l o f Y a n b i a n U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n)V o l.4 9 N o.4D e c.2 0 2 3收稿日期:2 0 2 3 0 2 1 1基金项目:国家自然科学基金(6 1 7 7 2 2 9 2);福建省自然科学基金(2 0 2 3 J 0 1 9 9 7,2 0 2 1 J 0 1 1 1 0 3);莆田市科学技术局项目(2 0 2 2 S Z 3 0 0 1 p t x y 0 5)第一作者:林志兴(1 9 7 3),男,教授,研究方向为矩阵理论和多元统计.通信作者:杨忠鹏(1 9 4 7),男,教授,研究方向为矩阵理论.文章编号:1 0 0 4-4 3 5 3(2 0 2 3)0 4-0 3 2 4-0 9利用矩阵迹求解两类正交矩阵谱的研究林志兴1,陈梅香2,杨忠鹏1,杨子斌3(1.福建省金融信息处理重点实验室(莆田学院),福建 莆田 3 5 1 1 0 0;2.金融数学福建省高校重点实验室(莆田学院),福建 莆田 3 5 1 1 0 0;3.福州大学 数学与统计学院,福州 3 5 0 1 0 8)摘要:应用正交矩阵的特征值与迹的关系,得到了判定平方对称正交矩阵和4次方幂对称正交矩阵的充要条件.基于此,给出了这两类正交矩阵的特征值及其重数的计算公式,并利用该公式计算了已有文献中的相关数值例子.计算结果表明,该算法可不用通过求解特征多项式来求解特征值,因此该方法比传统方法简单、方便.关键词:正交矩阵;实对称矩阵;矩阵迹;谱;充要条件;特征值中图分类号:O 1 5 1.2 1 文献标志码:AS t u d y o n s o l v i n g t h e s p e c t r u m f o r t w o t y p e s o f o r t h o g o n a l m a t r i c e s b y m a t r i x t r a c eL I N Z h i x i n g1,CHE N M e i x i a n g2,YANG Z h o n g p e n g1,YANG Z i b i n3(1.F u j i a n K e y L a b o r a t o r y o f F i n a n c i a l I n f o r m a t i o n P r o c e s s i n g(P u t i a n U n i v e r s i t y),P u t i a n 3 5 1 1 0 0,C h i n a;2.K e y L a b o r a t o r y o f F i n a n c i a l M a t h e m a t i c s o f F u j i a n P r o v i n c e U n i v e r s i t y(P u t i a n U n i v e r s i t y),P u t i a n 3 5 1 1 0 0,C h i n a;3.S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s,F u z h o u U n i v e r s i t y,F u z h o u 3 5 0 1 0 8,C h i n a)A b s t r a c t:T h e n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e j u d g e m e n t o f t w o t y p e s o f o r t h o g o n a l m a t r i c e s w i t h s q u a r e a n d q u a r t i c b e s y mm e t r i c w e r e o b t a i n e d b y a p p l y i n g t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e e i g e n v a l u e s a n d t r a c e s o f o r t h o g o n a l m a t r i c e s.B a s e d o n t h e s e,t h e c a l c u l a t i o n f o r m u l a s f o r e i g e n v a l u e s a n d m u l t i p l i c i t i e s o f t h e s e t w o t y p e s o f o r t h o g o n a l m a t r i c e s w e r e g i v e n,a n d b e u s e d t o c a l c u l a t e r e l e v a n t n u m e r i c a l e x a m p l e s o f o r t h o g o n a l m a t r i c e s i n t h e e x i s t i n g l i t e r a t u r e s.T h e r e s u l t s s h o w t h a t t h e a l g o r i t h m i s s i m p l e a n d c o n v e n i e n t,a s i t a v o i d s s o l v i n g c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l s.T h e c a l c u l a t i o n r e s u l t s s h o w t h a t t h e a l g o r i t h m c a n s o l v e t h e e i g e n v a l u e s w i t h o u t c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l s,t h u s t h e m e t h o d i s s i m p l e r a n d m o r e c o n v e n i e n t t h a n t h e t r a d i t i o n a l.K e y w o r d s:o r t h o g o n a l m a t r i x;r e a l s y mm e t r i c m a t r i x;m a t r i x t r a c e;s p e c t r u m;n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n;e i g e n v a l u e0 引言设C、R分别为复数域、实数域,Z为所有整数的集合.复数iC满足i2=-1.E(En)为nn单位矩阵.AT、A、t rA分别表示矩阵A的转置、行列式、迹.如果ATA=En,则称ARnn为正交矩阵.Onn为nn正交矩阵集合,S Onn为nn对称正交矩阵集合,I Onn为nn特征值都为实数或为 第4期林志兴,等:利用矩阵迹求解两类正交矩阵谱的研究纯虚数的正交矩阵集合.称ARnn的特征多项式x E-A在C上的n个根(1,2,n)为A的特征值,且记A的谱为(A)=1,2,n.研究显示,在复数域上证明nn矩阵特征多项式存在n个根具有较多困难1.目前,利用M a t h e m a t i c和M a p l e软件虽可计算求出一个中等规模矩阵的特征多项式,但对于n5的nn矩阵仍无良好的求解方法2.为此,许多学者利用不同的方法探讨了该问题,其中有些学者采用迹估计了矩阵特征值的上下界3-1 1.1 9 6 1年,S m i t h1 2首次用迹给出了33实对称矩阵特征值的计算公式;2 0 1 8年和2 0 2 0年,文献1 3-1 4 的作者用迹研究了33正交矩阵的特征值.1 9 9 9年和2 0 1 1年,文献1 5-1 6 的作者研究了33正交矩阵的迹等式;2 0 2 0年,文献1 7的作者在文献1 5-1 6的基础上研究了更为一般的nn正交矩阵的迹方程,并且得到了特征值全为实数或为纯虚数的正交矩阵类I Onn(由后面的讨论可知,该I Onn是平方对称的正交矩阵)的所有解的显示表达.另外,文献1 5和1 8的作者还得到了nn正交矩阵为对合的充分条件,并用2个44正交矩阵的数值例子(该例子为平方对称和4次方幂对称)说明了使用该结论时应注意的问题.以上研究表明,平方对称和4次方幂对称的正交矩阵是较为常见的正交矩阵,因此研究求解这两类正交矩阵的特征值具有重要意义.为此,本文从平方对称、4次方幂对称的这两类nn正交矩阵的特征值与迹的关系入手,应用正交相似矩阵的特征值和迹的不变性得到了判定这两类矩阵为平方对称正交矩阵和4次方幂对称正交矩阵的充要条件,并在此基础上给出了相应矩阵的特征值及其重数的计算公式.将本文计算方法应用到已有文献中的数值例子上显示,该方法比传统方法(通过求解特征多项式来得到特征值)简单、方便.1 预备知识引理1(正交标准形)1 9设AOnn,则对于给定的正交矩阵A,有QOnn,Wj=ajbj-bjaj O22,-1aj1,a2j+b2j=1,aj,bjR,j=1,2,k,且使得:O-1A Q=d i a g(Et,-Es,W1,Wk)=OA,t+s+2k=n;(1)AS Onn当且仅当式(1)中k=0.(2)如同式(1),本文作如下约定:AOnn的特征值1和-1的重数分别为t和s;k为A的两两共轭的非实的特征值的对数,且OA为A的正交标准形.引理21 7设AOnn,(A)=1,2,n,则对于A的每个特征值j有:j=1,j(A),且A=(-1)s,-1为A的s重特征值.引理3设=a+b2,a,bZ.若有c,dZ使得=c+d2,则a=c,b=d.证明若0a-c=(b-d)2,则有b-d0,所以2=a-cb-d为有理数.这与2为无理数的事实矛盾,证毕.引理4设H2=01-1 0 ,M2=2211-1 1 ,N2=-2211-1 1 O22,则对于这些正交阵有:(H2)=i,(M2)=22(1i),(N2)=-22(1i);(3)t rH2=0,t rM2=2,t rN2=-2;(4)H22=-E2S O22,M22=N22=H2,M42=N42=-E2S O22.(5)证明计算H2、M2、N2的特征多项式即可得到式(3)和式(4),再计算H2、M2、N2的平方或4次方幂即可得式(5)成立.证毕.523延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 引理5设AOnn,实数a和b满足-1a0,则t1;若t rA0(即t rA1),则t=s+t rA t rA1;若t rA0和推论1中的2)可得t=k=1,s=0,即(A)=1,i,-i.由此再应用式(1)、(3)、(5)可得OA=d i a g1,01-1 0 .例6设A=12111111-1-1-1 1-11-1 11-1 O44,请求出A的正交标准形2 2-2 3,2 5.由于A2=d i a g0 11 0 ,0-1-10 是对称的,且t rA=t rA2=0,因此由式(9)可得t=s=k=1,进而可得OA=d i a g1,-1,01-1 0 .033 第4期林志兴,等:利用矩阵迹求解两类正交矩阵谱的研究另外,由于例2中的2)中的置换矩阵j满足2jS O4 4,t rj=t r2j=0,因此由定理5中的2)可知,例6中的A与这些置换矩阵j(j=1,2,6)是彼此正交相似的.例7 1)请用本文的方法求解U=22100101100-1 10100-1 O442 4的特征值.矩阵U是文献2 4中的习题5 4 5所用的正交矩阵(将二次型化为正交标准形).由于U2=d i a g1,01-1 0 ,1 ,U4=d i a g(1,-1,-1,1)S O44,因此可得t rU2=2,t rU4=0.再由t rU=2和引理7可得a=0,b=1.由此再由式(1 7)和式(1 8)可得t=s=k2=1,k1=k3=0,即(U)=1,-1,22(1i).2)请用本文的方法求解A和U1 5,1 8的特征值.A=1200-1 1001111001-100 ,U=0100-1 000000100-1 0 O44.(2 2)由式(2 2)可知:A2=-UT(E4),且A4=(UT)2=U2=-E4S O44.(2 3)再由式(2 3)可知,U与A分别是平方对称、4次方幂对称的正交矩阵.由于 t r U=0,t r U2=-4,因此由定理2和式(1 1)可得t=s=0,k=2,即(U)=i,i,-i,-i .(2 4)由式(2 2)、(2 3)还可得t rA=t rA2=0,a=b=0(因t rA=a+b2=0),t rA4=-4.由此再由式(1 7)和式(1 8)可得t=s=k1=0,k2=k3=1,即:OA=d i a g2211-1 1 ,-2211-1 1 ,(A)=22(1i),-22(1i).文献1 5 和文献1 8 给出了正交矩阵的一个重要结论:当A,UOnn,且U没有重特征值和U A=A UT时,必有A2=E.式(2 2)中的2个矩阵是文献1 5中的定理6.5和文献1 8中定理1中的2个数值例子.由式(2 2)和式(2 3)可知,U A=A UT,A2E;因此,由式(2 4)可知文献1 5 和文献1 8 中给出的结论其前提条件“U无重特征值”是必不可少的.文献2 4 中的习题5 3 5、文献2 65.3节中的习题2 2.3、文献2 75.3节中的习题2 1.3都是应用正交变换将同一个二次型“2x1x2+2x3x4”化为标准形,但其所用的正交矩阵是各不相同的.应用本文方法计算这3个正交矩阵的特征值得:文献2 4所用的正交矩阵是平方对称的;文献2 6和文献2 7所用的正交矩阵是4次方对称的,且由定理5中的3)可知这两个矩阵是正交相似的.由此表明,将一个实二次型化为正交标准形时,可以使用不同的正交矩阵,且所使用的正交矩阵既可以是正交相似的,也可以不是正交相似的.以上数值例子表明,利用矩阵迹求解平方对称和4次方幂对称的这两类正交矩阵的特征值,可不用通过求解特征多项式来求解,因此该方法比传统方法简单、实用.133延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 参考文献:1 WO L KOW I C Z H,S T YAN G P H.B o u n d s f o r e i g e n v a l u e s u s i n g t r a c eJ.L i n e a r A l g e b r a a n d I t s A p p l i c a t i o n,1 9 8 0,2 9:4 7 1-5 0 6.2 L AY D C.L i n e a r A l g e b r a a n d I t s A p p l i c a t i o n sM.5 t h.N e w J e r s e y:P e a r s o n E d u c a t i o n,I n c,2 0 1 9:2 8 1.3 WO L KOW I C Z H,S T YAN G P H.M o r e b o u n d s f o r e i g e n v a l u e s u s i n g t r a c eJ.L i n e a r A l g e b r a a n d I t s A p p l i c a-t i o n,1 9 8 0,3 1:1-1 7.4 T A R A Z AG A P.E i g e n v a l u e e s t i m a t e s f o r s y mm e t r i c m a t r i c e sJ.L i n e a r A l g e b r a a n d I t s A p p l i c a t i o n,1 9 9 0,1 3 5:1 7 1-1 7 9.5 ME R I KO S K I J K,V I R T AN E N A.B o u n d s f o r e i g e n v a l u e s u s i n g t h e t r a c e a n d d e t e r m i n a n tJ.L i n e a r A l g e b r a a n d I t s A p p l i c a t i o n,1 9 9 7,2 6 4:1 0 1-1 0 8.6 HO R N E B G.L o w e r b o u n d s f o r t h e s p e c t r a l r a d i u s o f a m a t r i xJ.L i n e a r A l g e b r a a n d I t s A p p l i c a t i o n,1 9 9 7,2 6 3:2 6 1-2 7 3.7 杨忠鹏,陈智雄.关于用矩阵的迹表示的特征值的界J.福建师范大学学报(自然科学版),2 0 0 2,1 8(4):7-1 0.8 吕洪斌,杨忠鹏.关于用迹表示的实矩阵的特征值的虚部的界J.吉林师范大学学报(自然科学版),2 0 0 4,2 5(2):4 3-4 6.9 HUAN G T Z,WAN G L.I m p r o v i n g u p p e r b o u n d s f o r e i g e n v a l u e s o f c o m p l e x m a t r i c e s u s i n g t r a c e sJ.L i n e a r A l g e b r a a n d I t s A p p l i c a t i o n s,2 0 0 7,4 2 6:8 4 1-8 5 4.1 0 Z HON G Q,HUANG T Z.B o u n d s f o r t h e e x t r e m e e i g e n v a l u e s u s i n g t h e t r a c e a n d d e t e r m i n a n tJ.J o u r n a l o f I n f o r m a t i o n a n d C o m p u t i n g S c i e n c e,2 0 0 8,3(2):1 1 8-1 2 4.1 1 K I T TAN EH F,L I N M.T r a c e i n e q u a l i t i e s f o r p o s i t i v e s e m i d e f i n i t e b l o c k m a t r i c e sJ.L i n e a r A l g e b r a a n d I t s A p p l i c a t i o n s,2 0 1 7,5 2 4:1 5 3-1 5 8.1 2 S M I TH O K.E i g e n v a l u e s o f a s y mm e t r i c 33 m a t r i xJ.C o mm u n i c a t i o n s A CM,1 9 6 1,4(4):1 6 8.1 3 陈梅香,杨忠鹏,晏瑜敏,等.迹为整数的33阶正交矩阵的谱J.北华大学学报(自然科学版),2 0 1 8,1 9(2):1 5 8-1 6 3.1 4 陈梅香,杨忠鹏,李雨昕,等.33正交矩阵谱的确定及其应用J.福建师范大学学报(自然科学版),2 0 2 0,3 6(4):1-8.1 5 Z HAN G F Z.M a t r i x T h e o r y B a s i c R e s u l t s a n d T e c h n i q u e sM.2 n d.N e w Y o r k:S p r i n g e r,2 0 1 1:1 8 1.1 6 Z HAN G F Z.M a t r i x T h e o r y B a s i c R e s u l t s a n d T e c h n i q u e sM.N e w Y o r k:S p r i n g e r,1 9 9 9:1 4 1.1 7 林志兴,杨忠鹏,陈梅香,等.一类矩阵迹方程正交解的一些研究J.延边大学学报(自然科学版),2 0 2 0,4 6(2):1 1 5-1 2 1.1 8 GOO D S ON G R.T h e i n v e r s e-s i m i l a r i t y p r o b l e m f o r r e a l o r t h o g o n a l m a t r i c e sJ.T h e Am e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y,1 9 9 7,1 0 4(3):2 2 3-2 3 0.1 9 HOR N R A,J OHN S ON C R.M a t r i x A n a l y s i sM.2 n d.N e w Y o r k:C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s,2 0 1 3:1 3 6.2 0 Z HAN G S G,L I N H L.A l g o r i t h m s f o r s y mm e t r i c g r o u p s o f s i m p l e x e sJ.A p p l i e d M a t h e m a t i c s a n d C o m p u t a-t i o n,2 0 0 7,1 8 8:1 6 1 0-1 6 3 4.2 1 华罗庚.辛方阵的辛相似J.中山大学学报(自然科学版),1 9 6 2(4):1-1 2.2 2 N.B.普罗斯库烈柯夫.线性代数习题集M.周晓钟,译.北京:人民教育出版社,1 9 8 3:2 5 0.2 3 张贤科,许甫华.高等代数学M.2版.北京:清华大学出版社,2 0 0 6:3 2 3-3 2 4.2 4 法杰耶夫,索明斯基.高等代数习题集M.丁寿田,译.北京:高等教育出版社,1 9 8 7:2 6 1.2 5 张贤科.高等线性代数学M.北京:高等教育出版社,2 0 1 2:2 7 2.2 6 李师正.高等代数解题方法与技巧M.北京:高等教育出版社,2 0 0 4:1 7 8.2 7 李刚.高等代数解题方法与技巧M.2版.北京:高等教育出版社,2 0 2 2:1 4 0.233