二维非线性四阶分数阶波动方程的BDF2-WSGI有限元算法.pdf

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(4),1217-1225 Published Online April 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.134112 文章引用文章引用:刘心愿.二维非线性四阶分数阶波动方程的 BDF2-WSGI 有限元算法J.应用数学进展,2024,13(4):1217-1225.DOI:10.12677/aam.2024.134112 二维非线性四阶分数阶波动方程的二维非线性四阶分数阶波动方程的BDF2-WSGI有限元算法有限元算法 刘心愿刘心愿 内蒙古大学数学科学学院，内蒙古 呼和浩特 收稿日期：2024年3月9日；录用日期：2024年4月5日；发布日期：2024年4月12日 摘摘 要要 本文主要研究了二维非线性四阶分数阶波动方程的有效数值算法。通过结合二阶本文主要研究了二维非线性四阶分数阶波动方程的有效数值算法。通过结合二阶BDF2-WSGI时间离散格时间离散格式与有限元方法对二维非线性四阶分数阶方程进行求解。首先，引入辅助变量，将分数阶四阶波动问题式与有限元方法对二维非线性四阶分数阶方程进行求解。首先，引入辅助变量，将分数阶四阶波动问题转化为低阶耦合方程，然后利用转化为低阶耦合方程，然后利用Riemann-Liouville分数阶积分对所得方程进行积分，最后使用分数阶积分对所得方程进行积分，最后使用WSGI逼逼近公式逼近分数阶积分，形成二阶近公式逼近分数阶积分，形成二阶BDF2有限元格式。本文给出了详细的数值算法，并通过一个二维算例有限元格式。本文给出了详细的数值算法，并通过一个二维算例进行了数值试验，验证了算法的有效性和收敛性。进行了数值试验，验证了算法的有效性和收敛性。关键词关键词 二维非线性四阶分数阶波动方程，有限元方法，二维非线性四阶分数阶波动方程，有限元方法，BDF2格式，格式，WSGI公式公式 BDF2-WSGI Finite Element Algorithm for a Two-Dimensional Nonlinear Fourth-Order Fractional Wave Equation Xinyuan Liu School of Mathematical Sciences,Inner Mongolia University,Hohhot Inner Mongolia Received:Mar.9th,2024;accepted:Apr.5th,2024;published:Apr.12th,2024 Abstract This article mainly studies effective numerical algorithms for two-dimensional nonlinear fourth-order fractional wave equations.We combine the second-order BDF2-WSGI time discretization scheme with the finite element method to solve two-dimensional nonlinear fourth-order fraction-刘心愿 DOI:10.12677/aam.2024.134112 1218 应用数学进展 al equations.Firstly,introducing auxiliary variables transforms the fractional fourth-order wave problem into a low-order coupled equation.Then,the Riemann-Liouville fractional integration is used to integrate the resulting equation.Finally,the WSGI approximation formula approximates the fractional integration,forming a second-order BDF2 finite element scheme.This article pro-vides a detailed numerical algorithm and conducts numerical experiments on a two-dimensional example to verify the effectiveness and convergence of the algorithm.Keywords Two-Dimensional Nonlinear Fourth-Order Fractional Wave Equation,Finite Element Method,BDF2 Scheme,WSGI Formula Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 本文主要对以下二维非线性四阶分数阶波动方程进行了数值研究()()()()()()()2000w,w,0,0,w,0,w,0w,w,0w,w.CttD uuf ugttTuutTuuuu+=(1)其中12，0T，二维空间2R。()f u是非线性项，()w,gt是源项，0CtD u是 Caputo 分数阶导数()()()21020w,1d.2tCtutD utsss=分数阶波动模型1-7作为分数阶偏微分方程的一个重要模型，在化学、生物和物理领域扮演着重要的角色，受到了专家学者们的广泛关注，越来越多的人开始研究分数阶波动模型的解析解和数值解。在4中，Dahaghin 和 Hassani 采用一种基于广义多项式的优化方法来求解分数阶波动模型。在7中，Ye等人研究了分数阶波动方程的紧致差分格式，并讨论了差分解的唯一可解性。近年来，具有空间四阶导数的分数阶波动方程8 9 10 11 12由于其复杂的结构，精确解难以求解，很多学者使用不同的数值方法进行有关这类方程的数值研究，主要方法有有限元法、谱方法、有限体积法、有限差分法等。在11中，Huang 等人研究了具有空间四阶导数的时间分数阶非线性波动方程的两种线性化格式，并严格证明了这两种格式的收敛性和无条件稳定性。在12中，Li 等人在空间上采用参数五次样条的方法来求解四阶导数的分数阶波动方程，并验证了此方法的可解性，稳定性和收敛性。在13中，Liu 等人提出一种基于混合有限元方法的双网格算法，来求解具有 Caputo 型时间分数阶导数的非线性四阶反应扩散方程。在14中，Wang 等人针对具有分数阶导数的四阶扩散波模型，提出了一种改进 L1 格式的混合单元算法，并分析了其误差估计。在15中，Wang 等人在空间方向上使用 Galerkin 混合有限元方法，在时间方向上使用具有 WSGD 公式的二阶 格式研究了二维非线性四阶时间分数阶波动模型。还有诸多研究，我们不能一一列举，但我们可以看到具有空间四阶导数的分数阶波动方程具有很好的研究空间。求解分数阶模型的重要步骤之一是对分数阶导数项进行处理，许多学者使用 WSGD 16 17逼近公Open AccessOpen Access刘心愿 DOI:10.12677/aam.2024.134112 1219 应用数学进展 式对分数阶导数项进行处理，在18中 Feng 研究了一类二维非线性时间分数阶耦合亚扩散方程组模型，在时间上采用 Crank-Nicolson 格式和 WSGD 逼近，在空间上采用有限元方法。近年来，WSGI 逼近公式作为一个求解分数阶偏微分方程的重要方法也受到了学者的广泛研究。在19中，Wang 等人在时间上采用 WSGI 近似的 Crank-Nicolson 格式，在空间上采用有限元方法研究了二维非线性四阶时间分数阶波动模型的算法。在20中，Cao 等人结合二阶 Crank-Nicolson 格式和 WSGI 逼近与有限元方法对多维时间分数阶波动方程进行求解。在本文中，我们将结合 BDF2-WSGI 格式研究二维非线性四阶分数阶波动方程。为此，我们引入了一个非线性辅助变量，将分数阶四阶波动模型转换成一个低阶耦合系统，对其中一个方程进行积分，然后将时间上具有 WSGI 近似的 BDF2 格式与空间上的有限元方法相结合，得到完全离散格式。我们详细展示了数值算法以及如何执行数值计算。最后，通过数值算例验证了方法的可行性，并给出了收敛结果。本文的其余部分安排如下：在第 2 节中，我们构造了二维非线性四阶分数阶波动方程完全离散格式。在第 3 节中，我们提供了一个详细的数值算法。在第 4 节中，给出了一个数值例子来验证我们算法的有效性。最后，在第 5 节中，我们将对本文做一个简要的总结。2.混合元全离散格式混合元全离散格式 在本节，我们构造式子(1)的全离散混合元格式。通过引入辅助变量()vuf u=，方程(1)可以改写为如下低阶耦合系统()()()()(0w,w,0,0,w,0,0,w,0,.CtD uvgttTvuf utTuvtT+=+=(2)为了构造全离散格式，对时间区间0,T进行均匀剖分使得010ntttT=，时间节点ntn=，这里TN=为时间不长，N 是一个正整数。为简便，我们记101tuuDu=，()nnuu t=。为了分析，我们需要引入 Riemann-Liouville 分数阶积分，定义如下()()()0101d,ttf sfsts=(3)其中01 1=，然后通过此积分来积分(2)的第一个式子，以得到一下耦合系统()()()()()()(000w,w,w,w,0,0,w,0,.tttutvgtutTvuf utT +=+=(4)为了求解(4)，我们需要引入 WSGI 近似来近似算子0t。()1111000,nnnkntktkuuEuE+=+(5)其中()2EO=，并且()()()()()0011,1,1,222kkkk =+(6)这里的系数()k定义如下()()()()()0111,1,1,1.kkkkkkk =+(7)刘心愿 DOI:10.12677/aam.2024.134112 1220 应用数学进展 我们使用 WSGI 近似和 BDF2 格式得到以下时间方向的半离散格式：情况情况 1：1n ()111110001111134,2,nnnnnnttnnnnuuuvguEvuf uE+=+=(8)情况情况 2：0n=()111100011111,tttDuvguEvuf uE+=+=(9)其中()()()112nnnf uf uf u+=，()112nncEEEO+=+=，()()1121nncttnEDuu tO+=，()()()1111nnnEf uf u t+=。接下来我们给出(8)和(9)的弱格式，(8)和(9)的两个式子分别和10,H 做内积，然后对空间区域积分,我们得到：情况情况 1：1n ()()()()()()()()()111110001111134,2,.nnnnnnttnnnnuuuvguEvuf uE+=+=(10)情况情况 2：0n=()()()()()()()()()()111100011111,.tttDuvguEvuf uE=+=(11)取有限元空间10hVH并得到如下全离散格式：情况情况 1：1n ()()()()()()()()()11111100011134,2,0,.nnnnnnnhhhhkhhkhhhhhkknnnhhhhhhhhuuuvguVvuf uV +=+=+=(12)情况情况 2：0n=()()()()()()()()()()()111111000111,0,.thhkhhkhhhhhhhkkhhhhhhhhDuvguEVvuf uV =+=(13)3.算法实现算法实现 通过取有限元空间0|MhhhiiiVvvv=，其中 M 是空间单元的数量，我们有()()0Mhiiiutu t=，()()0Mhjjjvtvt=。将这些代入到(12)中并且令hm=，hl=，我们可以得到 刘心愿 DOI:10.12677/aam.2024.134112 1221 应用数学进展 ()()()()()()()()()()()()()00000000,0,1,2,0,0,1,2,.MMiimtjjmtmmtijMMMjjljiliiljiiu tvtg tumMvtutfu tlM =+=+=(14)现在，考虑边界条件，我们得到(14)的半离散有限元格式的矩阵形式()()()()()()()000,0,htththhhtttttt=+=AuBvGuBuAvF u (15)其中()()()()11,imMM =A，()()()()11,imMM=B，()()()()T1100,MMhiiiiMiitfu tfu t=F u，()()T11,hMtvv=v，()()T11,hMtuu=u，()()()()()()T11,Mtg tg t=G，()()()T00101,Muu=u。接下来我们给出(15)的全离散格式 111100011134,20,nnnnnhhhthtnnnhh+=+=uuuABvGuBuAvF (16)其中()()1111001nnnnkthhkhk+=+vvv，()T11,kkkhMuu=u，()T11,kkkhMvv=v，T1100,MMkkkiiiiMiifufu=F，(17)()()()T00101,Muu=u，()()()T11,kkkMgg=g，112nnn+=FFF，其中1,2,kn=。我们可以将(16)简化为 刘心愿 DOI:10.12677/aam.2024.134112 1222 应用数学进展 ()()()()1101111110000111113222,2,nnhhnnnnnnknkhhkknhnnnnnhhhgg +=+=+=+=+=AuBvAAuuvuqBuAvFFw (18)所以当1n 时，矩阵形式为()10132nnhhnnhh +=AuqBvwBA (19)当0n=时，我们可以通过求解下列线性化的方程组来求解1hu和1hv()1000000000110,0,hhththh=+=+=uuABvGuGuBuAvF (20)然后我们将(20)写作()10000001100,hhhhhh=+=AAuBvGuuqBuAvFw (21)所以当0n=时，我们可以得到 1010hhhh=AuqOvwBA (22)4.数值实验数值实验 在本节中，我们将提供一个二维例子来验证算法的有效性和收敛阶。()()()()()()()2000w,w,0,0,w,0,w,0w,w,0w,w.CttD uuf ugttTuutTuuuu+=在本算例中，我们取()()0,10,1=，()0,1T=，初值000uu=，精确解()()()3,sin 2sin 2u x y ttxy=，非线性项()3f uuu=和源项()()()()()()()()()()()()()()()34 32 92222 3,6sin 2sin 2464sin 2sin 224sin 2sin 2sin2cos2sin2cos 28sin 2sin 2.g x y ttxytxytxyyxxytxy =+表1和表2显示了算例的计算结果，在表1中，对每一个分数阶参数1.1,1.3,1.5,1.7,1.9=，固定时间 步长为1 200=，空间网格步长分别为111,10 20 40h=，给出数值算法的误差和空间收敛阶。表一中的数值结果表明完全离散格式具有二阶的空间收敛阶。在表2中，我们还给出了参数变化时的时空收敛阶，其刘心愿 DOI:10.12677/aam.2024.134112 1223 应用数学进展 中()111111,10 1020 2040 40h =，结果表明WSGI公式具有几乎不受分数阶参数变化影响的二阶 时空收敛阶。Table 1.Fixed time step 1200=,spatial convergence result 表表 1.固定时间步长1200=，空间收敛结果 1h 2uL范数 收敛阶 2L范数 收敛阶 10 1.1782E01-4.6178E+00-0.1 20 3.1516E02 1.9025 1.1933E+00 1.9522 40 7.9151E03 1.9934 2.9339E01 2.0241 10 1.1776E01-4.6180E+00-0.3 20 3.1502E02 1.9024 1.1932E+00 1.9521 40 7.9129E03 1.9932 2.9350E01 2.0234 10 1.1769E01-4.6178E+00-0.5 20 3.1492E02 1.9019 1.1933E+00 1.9512 40 7.9213E03 1.9912 2.9339E01 2.0189 10 1.1761E01-4.6168E+00-0.7 20 3.1493E02 1.9010 1.1956E+00 1.9491 40 7.9437E03 1.9871 2.9692E01 2.0096 10 1.1752E01-4.6162E+00-0.9 20 3.1505E02 1.8992 1.1986E+00 1.9453 40 7.9828E03 1.9806 3.0071E01 1.9949 Table 2.When h=,the convergence result of spatiotemporal error 表表 2.当h=时,时空误差收敛结果 1h 1 2uL范数 收敛阶 2L范数 收敛阶 10 10 1.1796E01-4.6155E+00-0.1 20 20 3.1692E02 1.8961 1.1909E+00 1.9545 40 40 7.9704E03 1.9914 2.9183E-01 2.0288 10 10 1.1789E01-4.6148E+00-0.3 20 20 3.1678E02 1.8960 1.1908E+00 1.9543 40 40 7.9687E03 1.9911 2.9197E-01 2.0280 10 10 1.1782E01-4.6147E+00-0.5 20 20 3.1671E02 1.8953 1.1919E+00 1.9530 40 40 7.8901E03 1.9887 2.9333E-01 2.0226 刘心愿 DOI:10.12677/aam.2024.134112 1224 应用数学进展 续表 10 10 1.1774E01-4.6156E+00-0.7 20 20 3.1676E02 1.8941 1.1942E+00 1.9504 40 40 8.0008E03 1.9840 2.9613E01 2.0118 10 10 1.1766E01-4.6176E+00-0.9 20 20 3.1696E02 1.8992 1.1981E+00 1.9464 40 40 8.0523E03 1.9768 3.0043E01 1.9956 5.总结总结 本文中，我们将时间上具有WSGI近似的BDF2格式与空间上的有限元方法相结合研究二维非线性四阶分数阶波动方程。我们引入了一个非线性辅助变量，将分数阶四阶波动模型转换成一个低阶耦合系统，对含有分数阶的方程进行积分，使用二阶BDF2-WSGI时间离散格式与有限元方法得到完全离散格式。我们给出了数值算法以及如何执行数值计算，最后通过数值算例验证算法的有效性。基金项目基金项目 本文受到国家自然科学基金项目(12061053,12161063)、内蒙古自然科学基金项目(2021MS01018)、内蒙古自治区高校创新科研团队计划项目(NMGIRT2413,NMGIRT2207)资助。参考文献参考文献 1 Agrawal,O.P.(2000)A General Solution for the Fourth-Order Fractional Diffusion-Wave Equation.Fractional Cal-culus and Applied Analysis,3,1-12.2 Zhao,Z.and Li,C.(2012).Fractional Difference/Finite Element Approximations for the Time-Space Fractional Tele-graph Equation.Applied Mathematics and Computation,219,2975-2988.https:/doi.org/10.1016/j.amc.2012.09.022 3 Luchko,Y.(2013)Fractional Wave Equation and Damped 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