湖北省黄冈市2017届高三数学上册期中考试题.doc

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黄冈中学2017届高三（上）理科数学期中考试

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在等差数列中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝(　　)

A.58 B.88 C.143 D.176
2.等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于(　　)

A.－24 B.0 C.12 D.24
3.等比数列{an}中，a1＞0，则“a1＜a3”是“a3＜a6”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.设a，b是两个非零的平面向量，下列说法正确的是(　　)
①若a·b＝0，则有|a＋b|＝|a－b|；
②|a·b|＝|a||b|；
③若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|＋|b|；
④若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb.
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5.已知的三内角、、所对边长分别为是、、，设向量，
，若，则角的大小为（ ）
A. B. C. D.

6.记等差数列的前项和为，若，且公差，则当取最大值时，（　　）

A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．7或8

7.已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为(　　)

A.2 B.4 C.8 D.16

8.已知向量a是与单位向量b夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t，|ta－b|的最小值是(　　)
A．0 B. C. D．1
9.已知函数f(x)＝cos x，x∈(0，2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为(　　)
A. B.－ C. D.－
10.设a1， a2，…，a50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a1＋a2＋…＋a50＝9且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50当中取零的项共有(　　)
A.11个 B.12个 C.15个 D.25个
11.已知点A(1，－1)，B(4，0)，C(2，2)平面区域D是由所有满足＝λ＋μ(1≤λ≤a，1≤μ≤b)的点P(x，y)组成的区域，若区域D的面积为8，则4a＋b的最小值为(　　)
A．5 B．4 C．9 D．5＋4
12.在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||，·＝·＝·＝－2，动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是(　　)
A. B. C. D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.数列－1，1，－，，…的一个通项公式为________.
14. 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则该数列的前2 015项的乘积
a1·a2·a3·…·a2 015＝________.
15.在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2，bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则当＋＋…＋最大时，n的值等于________．
16.在△ABC中，D为BC边上的中点，P0是边AB上的一个定点，P0B＝AB，且对于AB上任一点P，恒有·≥·，则下列结论中正确的是________(填上所有正确命题的序号)．
①当P与A，B不重合时，＋与共线；
②·＝－；
③存在点P，使||＜||；
④·＝0；
⑤AC＝BC.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第4项和第16项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.

18.已知向量a＝，b＝(cos x，－1)．
(1)当a∥b时，求tan的值；
(2)设函数f(x)＝2(a＋b)b，当x∈时，求f(x)的值域．

19.如图所示，四边形OABP是平行四边形，过点P的直线与射线OA，OB分别相交于点M，N，若＝x，＝y.
(1)把y用x表示出来(即求y＝f(x)的解析式)；
(2)设数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足Sn＝f(Sn－1)(n≥2且n∈N*)，求数列{an}的通项公式.

20.(12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.

(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式.

(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值.(用m表示)

21.设数列{an}为等差数列，且a5＝14，a7＝20，数列{bn}的前n项和为Sn，b1＝且3Sn＝Sn－1＋2(n≥2，n∈N)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若cn＝an·bn，n＝1，2，3，…Tn为数列{cn}的前n项和，Tn＜m对n∈N*恒成立，求m的最小值．

22.已知的图像在点处的切线与直线平行.
（1）求a，b满足的关系式；
（2）若上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明： （n∈N*）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在等差数列中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝(　　)

A.58 B.88 C.143 D.176

解：在等差数列{an}中，a4＋a8＝a1＋a11＝16，所以S11＝＝11×8＝88.故选B.

2.()等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于(　　)

A.－24 B.0 C.12 D.24

解：∵x，3x＋3，6x＋6是等比数列的前三项，∴(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x＝－1或－3.当x＝－1时，数列前三项为－1，0，0，不构成等比数列；当x＝－3时，数列前三项为－3，－6，－12，其公比q＝2，该数列第四项为－12×2＝－24.故选A.

3.等比数列{an}中，a1＞0，则“a1＜a3”是“a3＜a6”的(　　)

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解：设数列{an}的公比为q，则a1＜a3⇔a1＜a1q2⇔1＜q2⇔q＜－1或q＞1.又a3＜a6⇔a1q2＜a1q5⇔1＜q3⇔q＞1.而由q＞1可推导出q＜－1或q＞1，即a3＜a6⇒a1＜a3；反之，q＜－1或q＞1q＞1，即由a1＜a3a3＜a6.故选B.

4.设a，b是两个非零的平面向量，下列说法正确的是(　　)
①若a·b＝0，则有|a＋b|＝|a－b|；
②|a·b|＝|a||b|；
③若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|＋|b|；
④若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb.
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
B　①中利用平行四边形法则，可以得到以a，b为邻边的平行四边形为矩形，故|a＋b|＝|a－b|；②直接利用数量积公式，不正确；③中只有a，b同向时才成立；④|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b反向，故正确，故选B.
5.已知的三内角、、所对边长分别为是、、，设向量，
，若，则角的大小为（ ）
A. B. C. D.

答案：A解析：因为，所以，根据正弦定理，上式可化为，所以，所以.
6.记等差数列的前项和为，若，且公差，则当取最大值时，（　　）

A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．7或8

【答案】C 提示： ∴，∴S11→max n=6或7 故选C。

7.已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为(　　)

A.2 B.4 C.8 D.16

解：设该等比数列的公比为q，项数为2n，则有S偶＝q·S奇，∴q＝＝2.又S2n＝S偶＋S奇＝＝85＋170＝255，∴22n－1＝255.∴2n＝8.故这个数列的项数为8.故选C.

8.已知向量a是与单位向量b夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t，|ta－b|的最小值是(　　)
A．0 B. C. D．1
C　[|ta－b|2＝t2a2－t|a|＋1＝＋，所以|ta－b|的最小值是，故选C.]
9.已知函数f(x)＝cos x，x∈(0，2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为(　　)
A. B.－ C. D.－
D [若m>0，则公差d＝－＝π，显然不成立，所以m<0，则公差d＝＝.所以m＝cos ＝－，故选D.]
10.设a1，a2，…，a50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a1＋a2＋…＋a50＝9且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50当中取零的项共有(　　)

A.11个 B.12个 C.15个 D.25个
A [(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝a＋a＋…＋a＋2(a1＋a2＋…＋a50)＋50＝107，∴a＋a＋…＋a＝39，∴a1，a2，…，a50中取零的项应为50－39＝11(个)，故选A.]
11.已知点A(1，－1)，B(4，0)，C(2，2)平面区域D是由所有满足＝λ＋μ(1≤λ≤a，1≤μ≤b)的点P(x，y)组成的区域，若区域D的面积为8，则4a＋b的最小值为(　　)
A．5 B．4 C．9 D．5＋4
C　[如图，延长AB至点N，延长AC至点M，使得|AN|＝a|AB|，|AM|＝b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形．
由题意知，点P(x，y)组成的区域D为图中的阴影部分，即四边形EHGF.
∵＝(3，1)，＝(1，3)，＝(－2，2)，
∴||＝，||＝，||＝2.
则cos∠CAB＝＝，sin∠CAB＝.
∴四边形EHGF的面积为(a－1)×(b－1)×＝8.
∴(a－1)(b－1)＝1，即＋＝1，
故4a＋b＝(4a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9.
当且仅当＝，即a＝，b＝3时，等号成立，故4a＋b取得最小值为9.]

12..(2016·四川，10)在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||，·＝·＝·＝－2，动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是(　　)
A. B. C. D.
B 由题意,||＝||＝||,所以D到A,B,C三点的距离相等,D是△ABC的外心；
·＝·＝·＝-2⇒·－·＝·(－)＝·＝0,所以DB⊥AC，
同理可得，DA⊥BC，DC⊥AB，从而D是△ABC的垂心，
∴△ABC的外心与垂心重合，因此△ABC是正三角形，且D是△ABC的中心.·＝||||cos∠ADB＝||||×＝－2⇒||＝2，
所以正三角形ABC的边长为2；
我们以A为原点建立直角坐标系,B,C,D三点坐标分别为B(3,－)，C(3,)，D(2,0)，
由||＝1,设P点的坐标为(cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π)，而＝，即M是PC的中点，
可以写出M的坐标为M
则||2＝＋＝≤＝，
当θ＝π时，| |2取得最大值.故选B.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.数列－1，1，－，，…的一个通项公式为________.
－1＝－，1＝，∴该数列的一个通项公式为(－1)n·.故填(－1)n·.
14.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则该数列的前2 015项的乘积
a1·a2·a3·…·a2 015＝________.
3 [由题意可得，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2＝a1，所以{an}是以4为周期的数列，而2015＝4×503＋3，a1a2a3a4＝1，则前2 015项的乘积为1503·a1·a2·a3＝3.]
15.在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2，bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则当＋＋…＋最大时，n的值等于________．
8或9 解析：∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a＋2a3a5＋a＝25，又an>0，∴a3＋a5＝5，又q∈(0,1)，∴a3>a5，又a3·a5＝4，∴a3＝4，a5＝1，∴q＝，a1＝16，an＝16×n－1＝25－n，bn＝log2an＝5－n，bn＋1－bn＝－1，∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴Sn＝，∴＝，∴当n≤8时>0；当n＝9时，＝0；当n>9时，<0，∴当n＝8或9时，＋＋＋…＋最大．

16.在△ABC中，D为BC边上的中点，P0是边AB上的一个定点，P0B＝AB，且对于AB上任一点P，恒有·≥·，则下列结论中正确的是________(填上所有正确命题的序号)．
①当P与A，B不重合时，＋与共线；
②·＝－；
③存在点P，使||＜||；
④·＝0；
⑤AC＝BC.
①②⑤　[因为D为BC边的中点，所以＋＝2，所以①正确；·＝(＋)·(＋)＝2－2，所以②正确；同理可得·＝2－2，由已知·≥·恒成立，得2≥2，即||≥||恒成立，所以故③错误；注意到P0，D是定点，所以P0D是点D与直线上各点距离的最小值，所以P0D⊥AB，故·＝0，设AB中点为O，则CO∥P0D，所以④错误；再由D为BC的中点，易得CO为底边AB的中线，故△ABC是等腰三角形，有AC＝BC，所以⑤正确．综上可知，①②⑤正确．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第4项和第16项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.

解：(1)设{an}的公比为q，

由已知得16＝2q3，解得q＝2.所以an＝2n.

(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b4＝8，b16＝32.

设{bn}的公差为d，则有

解得

∴bn＝b1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，

且数列{bn}的前n项和

Sn＝nb1＋d＝2n＋×2＝n2＋n.
18.已知向量a＝，b＝(cos x，－1)．

(1)当a∥b时，求tan的值；
(2)设函数f(x)＝2(a＋b)b，当x∈时，求f(x)的值域．
解　(1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0，∴tan x＝－，∴tan＝＝＝－7.
(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝sin＋，∵x∈，≤2x＋≤，
所以－≤sin≤1.∴≤f(x)≤＋，即函数f(x)的值域为.

19.如图所示，四边形OABP是平行四边形，过点P的直线与射线OA，OB分别相交于点M，N，若＝x，＝y.
(1)把y用x表示出来(即求y＝f(x)的解析式)；
(2)设数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足Sn＝f(Sn－1)(n≥2且n∈N*)，求数列{an}的通项公式.
8.解 (1)∵＝＝－，
∴＝－＝－(1＋x)＋，
∵＝－＝x－y，∥，
∴x－y(1＋x)＝0，∴y＝(x>0).
即函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝(x>0).
(2)当n≥2时，由Sn＝f(Sn－1)＝得－＝1，
又S1＝a1＝1，所以数列是首项和公差都为1的等差数列，则＝n，即Sn＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝，
n＝1时，a1＝1不满足上式，故an＝

20.(12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.

(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式.

(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值.(用m表示)

解：(1)由题意得a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，

a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4500－d，

an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.

(2)由(1)知an＝an－1－d(n≥2)，

即an－2d＝(an－1－2d)，∴{an－2d}是以3000－3d为首项，为公比的等比数列，
则an＝(3000－3d)·＋2d.

由题意am＝m－1＋2d＝4000，解得

d＝＝.

故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m年企业的剩余资金为4000万元.
21. 设数列{an}为等差数列，且a5＝14，a7＝20，数列{bn}的前n项和为Sn，b1＝且
3Sn＝Sn－1＋2(n≥2，n∈N)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若cn＝an·bn，n＝1，2，3，…Tn为数列{cn}的前n项和，Tn＜m对n∈N*恒成立，求m的最小值．
解　(1) 数列{an}为等差数列，公差d＝(a7－a5)＝3，易得a1＝2，所以an＝3n－1.由3Sn＝Sn－1＋2，得3Sn＝Sn－bn＋2，即bn＝2－2Sn，
所以b2＝2－2(b1＋b2)，又b1＝，所以b2＝，＝，
由3Sn＝Sn－1＋2，当n≥3时，得3Sn－1＝Sn－2＋2，
两式相减得：3(Sn－Sn－1)＝Sn－1－Sn－2，即3bn＝bn－1，所以＝(n≥3)．
又＝，所以{bn}是以b1＝为首项，为公比的等比数列，于是bn＝2·.
(2)cn＝an·bn＝2(3n－1)·.
∴Tn＝2
Tn＝2
两式相减得Tn＝2
所以Tn＝－·－
从而Tn＝－·－＜，∵Tn＜m对n∈N*恒成立，∴m≥，∴m的最小值是.

22.已知的图像在点处的切线与直线平行.
（1）求a，b满足的关系式；
（2）若上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明： （n∈N*）
解：（Ⅰ），根据题意，即.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
令，
则，=
①当时， ，
若，则，在减函数，所以，即在上恒不成立．
②时，，当时，，在增函数，又，所以．
综上所述，所求的取值范围是.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当时，在上恒成立．取得
令，得，
即,
所以
上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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