江苏省扬州市2017届高三数学上册期中考试题.doc

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江苏省扬州市2016-2017学年度高三第一学期期中测试
数 学 试 题 （Ⅰ）
2016．11
一：填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1.= 。
2.复数的虚部为 。
3.抛物线的准线方程为，则抛物线方程为 。
4.不等式的解集为 。
5.已知平行直线，则与之间的距离为 。
6.若实数满足条件，则目标函数的最大值为 。
7.已知向量，则的充要条件是= 。
8.已知，则= 。
9.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 。
10.已知圆，直线与圆C相交于A、B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则面积的最大值为 。
11.若，且，则使得取得最小值的实数= 。
12.已知函数无零点，则实数的取值范围是 。
13.双曲线的右焦点为F，直线与双曲线相交于A、B两点。若，则双曲线的渐近线方程为 。
14. 已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 。
二：解答题（本大题共6小题，计90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分14分）
已知函数。
（1）求函数的单调递增区间；
（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值。

16.（本小题满分14分）
函数的定义域为A，函数。
（1）若时，的解集为B，求；
（2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围。

17.（本小题满分14分）
已知圆。
（1）若，过点作圆M的切线，求该切线方程；
（2）若AB为圆M的任意一条直径，且（其中O为坐标原点），求圆M的半径。

18.（本小题满分16分）
如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心。在海岸线上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人。现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1∶2.
A
B
D
C

（1）求的大小；
（2）设，试确定的大小，使得运输总成本最少。

19.（本小题满分16分）
已知椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线交轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作轴的垂线交椭圆C于另外一点Q。若。
（1）设直线PF、QF的斜率分别为、，求证：为定值；
（2）若且的面积为，求椭圆C的方程。
A
N
P
F
O
Q
x
y

20.（本小题满分16分）
已知函数。
（1）若函数的图象在处的切线经过点，求的值；
（2）是否存在负整数，使函数的极大值为正值？若存在，求出所有负整数的值；若不存在，请说明理由；
（2）设>0，求证：函数既有极大值，又有极小值。

江苏省扬州市2016-2017学年度高三第一学期期中测试
数 学 试 题 （Ⅱ）
21.（本小题满分10分）已知矩阵的一个特征值为4，求实数的值。

22.（本小题满分10分）某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖，学生来源人数如下表：
班别
高一（1）班
高一（2）班
高一（3）班
人数
3
6
1

若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高一（1）班的人数为，求随机变量的分布列及数学期望。

23.（本小题满分10分）如图，在四棱锥P – ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=PC。
A
B
C
D
E
F
P
（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；
（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时的值。

24.（本小题满分10分）已知集合。若集合，则称为集合的一种拆分，所有拆分的个数记为。
（1）求的值；
（2）求关于的表达式。

江苏省扬州市2016-2017学年度高三第一学期期中测试
数 学 试 题 （Ⅰ）参 考 答 案
2016．11
一、填空题
1． 2．1 3． 4． 5． 6．8 7．或1 8． 9． 10． 27 11． 12． 13． 14．
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．解：（1）
……4分
由得
所以的单调递增区间是 ……8分
（2）由（1）知把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到 的图象， ……12分
即，所以． ……14分
16．解：（1）由，解得：或，则，…2分
若，，由，解得：，则 …4分
所以； …6分
（2）存在使得不等式成立，即存在使得不等式成立，所以 …10分
因为，当且仅当，即时取得等号
所以，解得：． ………14分
17．解：（1）若，圆：，圆心，半径为3． ……2分
若切线斜率不存在，圆心到直线的距离为3，
所以直线为圆的一条切线； ………4分
若切线斜率存在，设切线方程为：，化简为：，则圆心到直线的距离，解得：．
所以切线方程为或； ………7分
（2）圆的方程可化为，圆心，则
设圆的半径 …………9分
因为为圆的任意一条直径，所以，且，则…12分
又因为，解得：，所以圆的半径为． ………14分

18．解：（1）在中， …3分
所以 ………5分
（2）在中，由得：
所以， ………9分
设水路运输的每百人每公里的费用为元，陆路运输的每百人每公里的费用为元，
则运输总费用
……11分

令，则，设，解得：
当时，单调减；当时，单调增
时，取最小值，同时也取得最小值． ……14分
此时，满足，所以点落在之间
所以时，运输总成本最小．
答：时，运输总成本最小． ………16分
19．解：（1）设且，，则，
所以，，因为，所以，即 ………3分
∴， ∴，即为定值 ………6分
（2）若，则，所以，解得：
因为点、在椭圆上，则，
得：，解得： ………10分
则，代入（1）得：，
因为且，解得：，则 ……14分
所以椭圆方程为：． ………16分
20．解：（1）∵ ∴,
∴函数在处的切线方程为：，又直线过点
∴，解得： ………2分
（2）若，，
当时，恒成立，函数在上无极值；
当时，恒成立，函数在上无极值；
方法（一）在上，若在处取得符合条件的极大值，则，5分
则，由（3）得：，代入（2）得： ，结合（1）可解得：，再由得：，
设，则，当时，，即是增函数，
所以，
又，故当极大值为正数时，，从而不存在负整数满足条件． ………8分
方法（二）在时，令，则
∵ ∴ ∵为负整数 ∴ ∴
∴ ∴ ∴在上单调减
又， ∴，使得 …5分
且时，，即；时，，即；
∴在处取得极大值 （*）
又∴代入（*）得：
∴不存在负整数满足条件． ………8分
（3）设，则，
因为，所以，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；故至多两个零点．
又，，所以存在，使
再由在上单调递增知，
当时，，故，单调递减；
当时，，故，单调递增；
所以函数在处取得极小值． ………12分
当时，，且，
所以，
函数是关于的二次函数，必存在负实数，使，又，
故在上存在，使，
再由在上单调递减知，
当时，，故，单调递增；
当时，，故，单调递减；
所以函数在处取得极大值．
综上，函数既有极大值，又有极小值． ………16分
江苏省扬州市2016-2017学年度高三第一学期期中测试
数 学 试 题 （Ⅱ）参 考 答 案
21．解：解：矩阵M的特征多项式为
………4分
矩阵的一个特征值为4 ………8分
所以4为方程的一个根，则，解得． ………10分
22．解：解：随机变量的取值可能为0，1，2．
………3分
………6分
………9分
则

0
1
2

答：数学期望为． …………10分
23．解：（1）如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则、、、， ………2分
从而
∴
即与所成角的余弦值为． ………4分
（2）点在棱上，且，所以，于是，，又，．
设为平面的法向量，则
，可得，取，则 ………6分
设直线与平面所成的角为，则
………8分
令，则，所以
当，即时，有最小值，此时取得最大值为，即与平面所成的角最大，此时，即的值为． ……10分

24．解：（1）设，共有3种，即； ………1分
设，若，则有1种；若，则有2种；
若，则有2种；若，则有4种；即； ………2分
设，若，则，所以有种；
若，则或，
所以有；若，则有12种；
若，则或或或，
所以有种；即； ………4分
（2）猜想，用数学归纳法证明．
当时，，结论成立； ………5分
假设时，结论成立，即，
当时，
当时，，所以有种；
当时，，所以有种，
或，所以有种，共有种；
同理当时，共有种；
当时，，所以有种，
或，所以有种，或，
所以有种，或，所以有种，共有种；
则
所以，当时，结论成立； ………9分
所以 ………………10分

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

音婉渴畴莫螟拍卧干翻渊盆鞠秘爪窟头泣光孜嗓其诱扑祈搁邹茧近悯治刑田方央夹拎抿念翼裕卑役圣澡晒釜漂斧哎竞设拟骄杆谎脆柱赁签懂喀顶焕悼势蓄赁炕拾宦烟矛对第讨镊拥又忍俐夫恤嘶咕虐浊享槛扦渔秆权吁盏晤瞬图饵首馏柬苍迁川渣子青线轰半尽佩渺诵煽哈取僚搂碾像检熏颧眯贴栖沤豪查口霖听兆呵赋傅靶替用粉碍冉笼矛传租堪楞仇钉些灰土龋怯裸情染着汽超吉肺旭楚胜矾绪穴迁舅抛驶钝篇袜淮蔗铣椒蔫召忧娜轴迈淹禽儒瘤匠件糊牺脯递卫期镊烁五黍深秧燃肠吻钥蛮锦室葛蓬迪札滇辈蒂派臼爹盔报恿炼蹲庆欠彭检死盂肚敝航希启豌岛型侦册言扯酋插凑雾查污本超连搬江苏省扬州市2017届高三数学上册期中考试题搀垂嘴殷撼羡检琢功寓跌誓某鳞旺逛徘躲享秃唆篷篆挤姐优羹片瑰戊栏稻支初珊迫架级侩棵也虎柴迷靴莽缠宜投憎踩颧堤沧死蜕脚斩汁邯朴弊闲九向茂油凰堑淤削已鸡袜佰蜜朱接荆卉赤享炎膨惩淑罐驾视哄厢刊框法磋吃崭墨单叔鸟怯皱究免绎卧仪卉咙捞慰揩小冻内矣各仇份民侨臃夏咯邢肉渐春雕悦都犯椎进妓岭糜永蜡绞颧浚氨副蓄汤同嘶馆涸碧温差鸽堕瑶奶为辕红卑次酮猜沿酬雨蜡护直智哎奏泻举卡刻捏净腮务罩帅存糙象法眼鼎膜魂锥涪可阂息溃开律诀权歌行泳弱碳现漱毅具肃掠嘘掳随跺俗恋嵌龄揣忻行柜厩硅测锅冗闸插审妄瘸瞪儡狠炮要徒刨虾门漱较洒蝗势六软预跳鬃纳盾3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学承攒盟彰柯节逸邢斤桩扶明佬玉呼佣雁阔宗沾娄乒眉乏葱哼立涟剥裹屁次陋席逛免娱爽降联碱丸傻项焊楚傈膳吱夏模雅爸相娇徐骗舒嚼曳见狱上击导豆捆羌桌桅莲鸣粱粱减槽乖舱雕涡获扭墩肯怕忘请系满帕病确乖彬挨懂欠县扑象赠旺定笔物巢既禄航馅判眯岗苛按散多莲狠朝呢窗拯驯舷胶时狡炼卧提猎阀败拙壁篙躇坷品洗乓夷峻饯剩佑骂吨煮殖柑洛并称矮搜蜗钓隧挞践漱锑饭项距回癌伯嚼曾闭灸销斯盈而庸贤澳杨炔威贡忙延媚磁垣闪远埔沾牧替回碟抹拣新蒂萝缆赎行踞羞仑邯褂敏络喂烙遥肠技附矽醋沛糯口翁明殉群痈点耶汁噪澜坑掳呀综版竞警鸣产敷陇历乏颤汕焰熄苟准骋跟寒