辽宁省沈阳市2017届高三数学上册期中考试题.doc

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数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2. 已知等差数列的前项和为，且，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
3. 已知 ，若，则 （ ）
A． B． C． D．
4. 下列关于函数 的叙述正确的是 （ ）
A．奇函数，在 上是增函数 B．奇函数，在 上是减函数
C. 偶函数，在 上是减函数 D．偶函数，在 上是增函数
5. 已知双曲线 的两条渐近线与直线 所围成的三角形面积为， 则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C. D．
6. 设向量满足：，则 的最大值为 （ ）
A． B． C. D．
7. 若不等式组 表示的区域为，不等式 表示的区域为，向区域均匀随机撒颗芝麻，则落在区域中芝麻数约为（ ）
A． B． C. D．
8. 已知函数 的部分图象如图所示，若 则下列说法错误的是 （ ）
A． B．函数的一条对称轴为
C. 为了得到函数的图象，只需要将函数 的图象向右平移个单位
D．函数的一个单调递减区间为
9.若均为正实数，则 的最大值为 （ ）
A． B． C. D．
10. 函数满足： ，且，则的一个可能取值是 （ ）
A． B． C. D．
11. 抛物线的焦点为 ,斜率为 的直线的直线与抛物线交于两点，若线段 的垂直平分线与 轴交点的横坐标为，，则（ ）
A． B． C. D．
12. 已知函数 在上的最大值为 ，当时，恒成立，则的取值范围是 （ ）
A． B． C. D．

第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知函数 ，则 __________.
14. 等比数列 中，，则数列的前项和为 __________.
15.在 中，内角的对边分别为 ，且满足 ，若成等差数列，则 _________.
16. 如图，在矩形 中，分别为上的两点，已知，则 _________.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）在 中，内角的对边分别为 ，已知.
（1） 若，求的面积最大值 ；
（2）若，求和.
18.（本小题满分12分）设函数,当时，有最小值.
（1）求与的值 ；
（2）求满足 的的取值范围.
19.（本小题满分12分）已知向量,函数的最大值为.
（1）求；
（2）将函数 的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域.
20.（本小题满分12分）已知公差不为的等差数列中，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式 ；
（2）设数列满足 ，求适合方程 的正整数的值.
21.（本小题满分12分）已知椭圆的焦距为,其上下顶点分别为,点.
（1）求椭圆的方程以及离心率 ;
（2）点的坐标为 ,过点 的任意作直线 与椭圆相交于 两点，设直线
的斜率依次成等差数列， 探究之间是否存在某种数量关系， 若是请给出 的关系式，并证明；若不是，请说明理由.
22.（本小题满分12分）已知,函数,函数,其中为自然对数的底数.
（1）若，求函数单调区间；
（2）证明：当 时，.

辽宁省沈阳市第二中学2017届高三上学期期中数学（理）试题参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1-5. CBC DC 6-10. AADAB 11-12. AB
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）.
（2）
故 为锐角
.
18.解：（1）,则.
（2）

（2）, .
20.解：（1）由题知： .
（2）,
.
21.解：（1） .又， 则椭圆方程为：
.
（2）取，则
，则满足：.设直线，且，，
，
而：，故满足：.
22.解：（1）,当 .
当 单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）.令，
且.当时，；
当时，.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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