2016届高三数学上册8月月考试题.doc

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2015-2016学年广东省肇庆市广宁一中高三（上）8月月考数学试卷（理科）

一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（　　）
A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（﹣∞，1]

2．若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（　　）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i

3．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（　　）
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n

4．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（　　）

A．90cm2 B．129cm2 C．132cm2 D．138cm2

5．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（　　）

A．（﹣2，2） B．（﹣4，0） C．（﹣4，﹣4） D．（0，﹣8）

6．设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

7．某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（　　）
甲 乙 原料限额
A（吨） 3 2 12
B（吨） 2 2 8
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元

8．若tanα=2tan，则=（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4

9．设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（　　）
A．60 B．90 C．120 D．130

10．如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，那么mn的最大值为（　　）
A．16 B．18 C．25 D．

11．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（　　）
A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣，0）∪（0，） D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）

12．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）

二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.把每小题的答案填在答题纸的相应位置）
13．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=　　　　　　．

14．若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为　　　　　　．

15．若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是　　　　　　．

16．若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是　　　　　　．

三、解答题（共6个题，共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）
17．（12分）（2015•山东）设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}，满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn．

18．（12分）（2015•天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

19．（12分）（2015•陕西）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．

20．（12分）（2015•四川）如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（12分）（2015•黑龙江）设函数f（x）=emx+x2﹣mx．
（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．

选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）.【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）（2015•陕西）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．
（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．

【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．（2015•陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

【选修4-5：不等式选讲Ⅲ】
24．（2015•湖南）设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：
（ⅰ）a+b≥2；
（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．

2015-2016学年广东省肇庆市广宁一中高三（上）8月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（　　）
A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（﹣∞，1]
考点： 并集及其运算．
专题： 集合．
分析： 求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．
解答： 解：由M={x|x2=x}={0，1}，
N={x|lgx≤0}=（0，1]，
得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．
故选：A．
点评： 本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．

2．若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（　　）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
考点： 复数代数形式的乘除运算．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．
解答： 解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，
可得z=1﹣i．
故选：A．
点评： 本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．

3．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（　　）
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n
考点： 命题的否定．
专题： 简易逻辑．
分析： 根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
解答： 解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，
故选：C．
点评： 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

4．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（　　）

A．90cm2 B．129cm2 C．132cm2 D．138cm2
考点： 由三视图求面积、体积．
专题： 立体几何．
分析： 几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算．
解答： 解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，
其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，
四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，
∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）．
故选：D．
点评： 本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．

5．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（　　）

A．（﹣2，2） B．（﹣4，0） C．（﹣4，﹣4） D．（0，﹣8）
考点： 程序框图．
专题： 图表型；算法和程序框图．
分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，k的值，当k=3时满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0）．
解答： 解：模拟执行程序框图，可得
x=1，y=1，k=0
s=0，i=2
x=0，y=2，k=1
不满足条件k≥3，s=﹣2，i=2，x=﹣2，y=2，k=2
不满足条件k≥3，s=﹣4，i=0，x=﹣4，y=0，k=3
满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0），
故选：B．
点评： 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x，y，k的值是解题的关键，属于基础题．

6．设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 简易逻辑．
分析： 求解3a＞3b＞3，得出a＞b＞1，
loga3＜logb3，或根据对数函数的性质求解即可，
再利用充分必要条件的定义判断即可．
解答： 解：a、b都是不等于1的正数，
∵3a＞3b＞3，
∴a＞b＞1，
∵loga3＜logb3，
∴，
即＜0，
或
求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1
根据充分必要条件定义得出：“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的充分条不必要件，
故选：B．
点评： 本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是分类讨论．

7．某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（　　）
甲 乙 原料限额
A（吨） 3 2 12
B（吨） 2 2 8
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
考点： 简单线性规划的应用．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值
解答： 解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，
则，
目标函数为 z=3x+4y．
作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域
由z=3x+4y得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，
此时z最大，
即经过点（0，4），
∴zmax=3x+4y=16．
即每天生产甲乙两种产品分别为0，4吨，能够产生最大的利润，最大的利润是16万元，
故选：B．

点评： 本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键

8．若tanα=2tan，则=（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点： 三角函数的积化和差公式；三角函数的化简求值．
专题： 三角函数的求值．
分析： 直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可．
解答： 解：tanα=2tan，则==
===========3．
故答案为：3．
点评： 本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力．

9．设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（　　）
A．60 B．90 C．120 D．130
考点： 排列、组合的实际应用．
专题： 集合．
分析： 从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论xi所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．
解答： 解：由于|xi|只能取0或1，且“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：
①xi中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：；
②xi中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：；
③xi中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：．
∴总共方法数是++=130．
即元素个数为130．
故选：D．
点评： 本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题．其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法．

10．如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，那么mn的最大值为（　　）
A．16 B．18 C．25 D．
考点： 二次函数的性质；利用导数研究函数的极值；基本不等式在最值问题中的应用．
专题： 函数的性质及应用；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．
分析： 函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，则f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即可．结合基本不等式求出mn的最大值．
解答： 解：∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，
∴f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即可．即

由（2）得m≤（12﹣n），
∴mn≤n（12﹣n）≤=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足（1）和（2）．
故选：B．

解法二：
∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，
∴①m=2，n＜8
对称轴x=﹣，
②即
③即
设或或

设y=，y′=，
当切点为（x0，y0），k取最大值．
①﹣=﹣2．k=2x，
∴y0=﹣2x0+12，y0==2x0，可得x0=3，y0=6，
∵x=3＞2
∴k的最大值为3×6=18
②﹣=﹣．，k=，
y0==，
2y0+x0﹣18=0，
解得：x0=9，y0=
∵x0＜2
∴不符合题意．
③m=2，n=8，k=mn=16
综合得出：m=3，n=6时k最大值k=mn=18，
故选；B
点评： 本题综合考查了函数方程的运用，线性规划问题，结合导数的概念，运用几何图形判断，难度较大，属于难题．

11．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（　　）
A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣，0）∪（0，） D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 计算题；创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AB得•=﹣1，求出c﹣x，利用D到直线BC的距离小于a+，即可得出结论．
解答： 解：由题意，A（a，0），B（c，），C（c，﹣），由双曲线的对称性知D在x轴上，
设D（x，0），则由BD⊥AB得•=﹣1，
∴c﹣x=，
∵D到直线BC的距离小于a+，
∴c﹣x=||＜a+，
∴＜c2﹣a2=b2，
∴0＜＜1，
∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．
故选：A．
点评： 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线BC的距离是关键．

12．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）
考点： 函数的单调性与导数的关系．
专题： 创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析： 由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．
解答： 解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，
∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，
即当x＞0时，g′（x）恒小于0，
∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，
又∵g（﹣x）====g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（﹣1）==0，
∴函数g（x）的图象性质类似如图：
数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0
⇔或，
⇔0＜x＜1或x＜﹣1．
故选：A．

点评： 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．

二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.把每小题的答案填在答题纸的相应位置）
13．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=　1　．

考点： 余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．
专题： 计算题；解三角形．
分析： 利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．
解答： 解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，
∴cosC==，cosA==
∴sinC=，sinA=，
∴==1．
故答案为：1．
点评： 本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．

14．若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为　1　．

考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．
分析： 求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．
解答： 解：“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，
可得tanx≤1，所以，m≥1，
实数m的最小值为：1．
故答案为：1．
点评： 本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力．

15．若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是　（1，2]　．

考点： 对数函数的单调性与特殊点．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 当x≤2时，满足f（x）≥4．当x＞2时，由f（x）=3+logax≥4，即logax≥1，故有loga2≥1，由此求得a的范围．
解答： 解：由于函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），
故当x≤2时，满足f（x）≥4．
当x＞2时，由f（x）=3+logax≥4，∴logax≥1，∴loga2≥1，
∴1＜a≤2，
故答案为：（1，2]．
点评： 本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．

16．若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是　3　．

考点： 函数的最值及其几何意义．
专题： 不等式的解法及应用；直线与圆．
分析： 根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．
解答： 解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，
如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，
在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2x+y﹣2|=2x+y﹣2，
此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，
利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；
在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，
即|2x+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），
此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，
利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．
综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．
故答案为：3．

点评： 本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．

三、解答题（共6个题，共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）
17．（12分）（2015•山东）设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}，满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn．

考点： 数列的求和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）利用2Sn=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2Sn﹣1=3n﹣1+3，两式相减2an=2Sn﹣2Sn﹣1，可求得an=3n﹣1，从而可得{an}的通项公式；
（Ⅱ）依题意，anbn=log3an，可得b1=，当n＞1时，bn=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，Tn=b1+b2+…+bn=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{bn}的前n项和Tn．
解答： 解：（Ⅰ）因为2Sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，
当n＞1时，2Sn﹣1=3n﹣1+3，
此时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即an=3n﹣1，
所以an=．
（Ⅱ）因为anbn=log3an，所以b1=，
当n＞1时，bn=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，
所以T1=b1=；
当n＞1时，Tn=b1+b2+…+bn=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），
所以3Tn=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），
两式相减得：2Tn=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n﹣1）×31﹣n=﹣，
所以Tn=﹣，经检验，n=1时也适合，
综上可得Tn=﹣．
点评： 本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考“查错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．

18．（12分）（2015•天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
专题： 概率与统计．
分析： （Ⅰ）利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望．
解答： 解：（Ⅰ）由已知，有P（A）=，
∴事件A发生的概率为；
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．
P（X=k）=（k=1，2，3，4）．
∴随机变量X的分布列为：
X 1 2 3 4
P
随机变量X的数学期望E（X）=．
点评： 本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题．

19．（12分）（2015•陕西）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．

考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．
专题： 空间位置关系与距离；空间角．
分析： （Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．
解答： 证明：（Ⅰ）在图1中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD=，
∴BE⊥AC，
即在图2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，
则BE⊥平面A1OC；
∵CD∥BE，
∴CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，
由（Ⅰ）知BE⊥OA1，BE⊥OC，
∴∠A1OC为二面角A1﹣BE﹣C的平面角，
∴∠A1OC=，
如图，建立空间坐标系，
∵A1B=A1E=BC=ED=1．BC∥ED
∴B（，0，0），E（﹣，0，0），A1（0，0，），C（0，，0），
=（﹣，，0），=（0，，﹣），

设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），平面A1CD的法向量为=（a，b，c），
则得，令x=1，则y=1，z=1，即=（1，1，1），
由得，
取=（0，1，1），
则cos＜＞===，
∴平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为．

点评： 本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．

20．（12分）（2015•四川）如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
专题： 创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （Ⅰ）通过直线l平行于x轴时被椭圆E截得的线段长为2及离心率是，计算即得结论；
（Ⅱ）通过直线l与x轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．然后分直线l的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l，均有即可．
解答： 解：（Ⅰ）∵直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2，
∴点（，1）在椭圆E上，
又∵离心率是，
∴，解得a=2，b=，
∴椭圆E的方程为：+=1；
（Ⅱ）结论：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．
理由如下：
当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，
如果存在定点Q满足条件，则有==1，即|QC|=|QD|．
∴Q点在直线y轴上，可设Q（0，y0）．
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点，
则M、N的坐标分别为（0，）、（0，﹣），
又∵=，∴=，解得y0=1或y0=2．
∴若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．
下面证明：对任意直线l，均有．
当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，
A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，
∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，
∴+==2k，
已知点B关于y轴对称的点B′的坐标为（﹣x2，y2），
又kAQ===k﹣，kQB′===﹣k+=k﹣，
∴kAQ=kQB′，即Q、A、B′三点共线，
∴===．
故存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．

点评： 本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题．

21．（12分）（2015•黑龙江）设函数f（x）=emx+x2﹣mx．
（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题： 创新题型；导数的概念及应用．
分析： （1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．
解答： 解：（1）证明：f′（x）=m（emx﹣1）+2x．
若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx﹣1≥0，f′（x）＞0．
若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx﹣1＜0，f′（x）＞0．
所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．
所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是
即
设函数g（t）=et﹣t﹣e+1，则g′（t）=et﹣1．
当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．
当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；
当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即em﹣m＞e﹣1．
当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．
综上，m的取值范围是[﹣1，1]
点评： 本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．

选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）.【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）（2015•陕西）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．
（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．

考点： 直线与圆的位置关系．
专题： 直线与圆．
分析： （Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．
解答： 证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，
则∠BED+∠EDB=90°，
∵BC⊥DE，
∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，
∵AB切⊙O于点B，
∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，
则=3，
∵BC=，
∴AB=3，AC=，
则AD=3，
由切割线定理得AB2=AD•AE，
即AE=，
故DE=AE﹣AD=3，
即可⊙O的直径为3．
点评： 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．

【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．（2015•陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为