山大附中届高三数学8月月考试题-理.doc

山西大学附中2013年高三第一学期8月月考
数学试题（理）
考试时间：110分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）
1．满足的复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的定义域为，的定义域为，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知是实数，则“或”是“且”的（ ）
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
x=x+1,y=2y
开始
结束
x<4?
输出（x,y）
x=1,y=1
是
否
4．已知是所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在内，则红豆落在内的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，程序框图输出的所有实数对
所对应的点都在函数（ ）
A．的图象上 B．的图象上
C．的图象上 D．的图象上
6．二项式的展开式的第二项的系数为
，则的值为（　 　）

A. B. C. 或 D. 或
7．四棱锥的三视图如右图所示,其中，四棱锥的五个顶点都在一个球面上，则该球表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．圆心在抛物线上，且与该抛物线的准线和轴都相切的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.

9．设是定义在实数集上的函数,满足条件是偶函数,且当时,,则,,的大小关系是（　　）

A． B．
C． D．
10．离心率为的椭圆与离心率为的双曲线有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列，则 ( )
A. B. C. D.
11．已知是偶函数，且在上是增函数，如果在上恒成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
12.已知球的直径，是该球面上的两点，，，则三棱锥 的体积为（ ）
A. B . C . D .
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分。共20分。）
13．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 ．

一年级
二年级
三年级
女生
373

男生
377
370

14. 已知为等比数列，是它的前项和。若，且与的等差中项为，则= .
15.设、满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为 .

16. 下列命题中，真命题的序号为 .
（1）在中，若，则；
（2）已知，则在上的投影为；
（3）已知，，则“”为假命题；
（4）要得到函数的图象，只需将的图象向左平移个单位．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．（本题满分12分）设△的三边为满足．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的取值范围．

18．（本题满分12分）我校社团联即将举行一届象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为，且各局比赛胜负互不影响.
（Ⅰ）求比赛进行局结束，且乙比甲多得分的概率；
（Ⅱ）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．

19．（本题满分12分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，
，，和
是两个边长为的正三角形，，
为的中点，为的中点．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求证：平面；
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值．

20．（本题满分12分）已知椭圆的离心率为，且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点C（-1，0）且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点，试问在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

21．(本小题满分12分) 设函数，其中为常数。
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若函数有极值点，求的取值范围及的极值点。

22.（本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为,与直线的交点为，求线段的长．

23.（本小题满分10分）选修：不等式选讲
已知函数
(I)若不等式的解集为，求实数的值；
(II)在(I)的条件下,若对一切实数恒成立，求实数的取值范
围.
山西大学附中2013年高三第一学期8月月考
数学答案
1． D． 2． C． 3 B 4 D 5 D. 6.C (文B) 7.A 8.B 9.A 10.D 11.D 12.C
13. 16 14.31 15.2 16.(1)(3)
17．【解析】：（1）， 1分
所以， 2分
所以， 3分
所以
所以， 4分
即 5分
所以，所以 6分
（2）（2）= 7分
=
其中 9分
因为，
所以 11分
所以 12分
18．解（Ⅰ）由题意知，乙每局获胜的概率皆为.…………1分
比赛进行局结束，且乙比甲多得分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则. …………4分
（Ⅱ）由题意知，的取值为. ………5分
则 …………6分
…………7分
…………9分
所以随机变量的分布列为

………10分
则…………12
（文科）解：（Ⅰ）由题意可知，解得.
所以此次测试总人数为．
答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人． …………………4分
（Ⅱ）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为． ……7分
（Ⅲ）设事件A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．
由已知，测试成绩在有2人，记为；在有6人，记为．
从这8人中随机抽取2人有，
共28种情况．
事件A包括共12种情况．
所以．
答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为． …………………12
19 （Ⅰ）证明：设为的中点，连接，则
F
∵，，，∴四边形为正方形，
∵为的中点，∴为的交点，
∵， ，
∵，
∴，，
在三角形中，，∴，
∵，∴平面；
(Ⅱ)方法1：连接，∵为的中点，为中点，∴，
∵平面，平面，∴平面.
F
方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知得： ，，，，，，
则，，，.
∴∴∵平面，平面，
∴平面；
(Ⅲ) 设平面的法向量为，直线与平面所成角，
则，即，
解得，令，则平面的一个法向量为，
又
则，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
20．【解析】：（1）∵椭圆离心率为，∴，∴. 1分
又椭圆过点（，1），代入椭圆方程，得. 2分
所以. 4分
∴椭圆方程为，即. 5分
（2）在x轴上存在点M，使是与K无关的常数. 6分
证明：假设在x轴上存在点M（m,0）,使是与k无关的常数，
∵直线L过点C（-1，0）且斜率为K,∴L方程为，
由 得. 7分
设，则 8分
∵
∴ 9分
=
=
=
= 10分
设常数为t，则. 11分
整理得对任意的k恒成立，
解得，
即在x轴上存在点M（）， 使是与K无关的常数. 12分
21解：（Ⅰ）由题意知，的定义域为，

∴当时，，函数在定义域上单调递增．
（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．
②时，有两个相同的解，
但当时,，当时，
时，函数在上无极值点．
③当时，有两个不同解，

时，，
而,
此时 ，随在定义域上的变化情况如下表：

减
极小值
增
由此表可知：当时，有惟一极小值点
ii) 当时，0<<1
此时，，随的变化情况如下表：

增
极大值
减
极小值
增
由此表可知：时，有一个极大值
和一个极小值点；
综上所述：
当且仅当时有极值点;
当时，有惟一最小值点；
当时，有一个极大值点和一个极小值点
22.【解析】:(Ⅰ)圆的普通方程是，又;
所以圆的极坐标方程是.
(Ⅱ)设为点的极坐标，则有 解得.
设为点的极坐标，则有 解得
由于，所以，所以线段的长为2.
23.解：（Ⅰ）由得，解得．
又已知不等式的解集为，
所以，解得.―4分
（Ⅱ）当时，，设，
于是　　　　　　　　　　　――――6分
所以当时，；
当时，；
当时，．
综上可得，的最小值为5．――――9分
从而若，即对一切实数恒成立，
则的取值范围为（-∞，5]．――――10分

9