高考数学总复习第三讲：数形结合.doc

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高考数学总复习第三讲：数形结合
   一、专题概述 ---什么是数形结合的思想
数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想．
    恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题．实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观．
    数形结合包括：函数与图象、方程与曲线、复数与几何的结合；几何语言叙述与几何图形的结合等．
二、例题分析
1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系．
    观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程．
    例1．函数的图象的一条对称轴方程是：
    （A） （B） （C） （D）
    分析：通过画出函数的图象，然后分别画出上述四条直线，逐一观察，可以找出正确的答案，如果对函数的图象做深入的观察，就可知，凡直线x=a通过这一曲线的一个最高点或一个最低点，必为曲线的一条对称轴，因此，解这个问题可以分别将代入函数的解析式，算得对应的函数值分别是：，其中只有–1是这一函数的最小值，由此可知，应选（A）
    2．正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系．
    观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画图示“意”是不够的，还必须反映出图形中的数量关系．
    例2．问：圆上到直线的距离为的点共有几个？
    分析  由平面几何知：到定直线L：的距离为的点的轨迹是平行L的两条直线．因此问题就转化为判定这两条直线与已知圆的交点个数．
    将圆方程变形为：，知其圆心是C(-1,-2)，半径，而圆心到定直线L的距离为，由此判定平行于直线L且距离为的两条直线中，一条通过圆心C，另一条与圆C相切，所以这两条直线与圆C共有3个公共点 （如图1）
启示：正确绘制图形，一定要注意把图形与计算结合起来，以求既定性，又定量，才能充分发挥图形的判定作用．
    3．切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性以性识图．
    数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相成，相互转化．
    例3．判定下列图中，哪个是表示函数图象．
分析  由=，可知函数是偶函数，其图象应关于y轴对称，因而否定（B）、（C），又，的图象应当是上凸的，（在第Ⅰ象限，函数y单调增，但变化趋势比较平缓），因而（A）应是函数图象．
    例4．如图，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟注完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系用图象表示只可能是（）．

分析  由于圆柱中液面上升的速度是一个常量，所以H与t的关系不是（B），下落时间t越大，液面下落的距离H应越大，这种变化趋势应是越来越快，图象应当是下凸的，所以只可能是（D）．
    例5．若复数z满足，且，则在复平面上对应点的图形面积是多少？
    分析  满足的复数z对应点的图形是：以C(1,1)为圆心，为半径的圆面，该圆面与图形的公共部分为图中所示阴影部分（要注意到∠AOC=45°）
    因此所求图形的面积为：
    4．灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性．
    在中学数学中，数形结合的思想和方法体现最充分的是解析几何，此外，函数与图象之间，复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法．通过联想找到数与形之间的对应关系是实现转化的先决条件，而强化这种转化的训练则是提高思维的灵活性和创造性的重要手段．
例6．已知C<0，试比较的大小．
    分析  这是比较数值大小问题，用比较法会在计算中遇到一定困难，在同一坐标系中，画出三个函数：的图象位于y轴左侧的部分，（如图）很快就可以从三个图象的上、下位置关系得出正确的结论：
例7  解不等式
    解法一  （用代数方法求解），此不等式等价于：
    解得
    故原不等式的解集是
    解法二  （采用图象法）  设即
    对应的曲线是以为顶点，开口向右的抛物线的上半支．而函数y=x+1的图象是一直线．（如图）
   解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是．
    借助于函数的图象或方程的曲线，引入解不等式（或方程）的图象法，可以有效地审清题意，简化求解过程，并检验所得的结果．
    例8  讨论方程的实数解的个数．
    分析：作出函数的图象，保留其位于x轴上方的部分，将位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，便可得到函数的图象．（如图）再讨论它与直线y=a的交点个数即可．
    ∴当a＜0时，解的个数是0；
    当a=0时或a＞4时，解的个数是2；
    当0＜a＜4时，解的个数是4；
    当a=4时，解的个数是3．

9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k的不同取值有（）
    （A）1个（B）2个（C）3个  （D）4个
    分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为
    ∴过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此外，过（）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故正确答案为（D）

 例9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k的不同取值有（）
    （A）1个（B）2个（C）3个  （D）4个
    分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为
    ∴过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此外，过（）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故正确答案为（D）
例10．设点P(x,y)在曲线上移动，求的最大值和最小值．
    解  曲线是中心在（3，3），长轴为，短轴为的椭圆．设，即y=kx为过原点的直线系，问题转化为：求过原点的直线与椭圆相切时的斜率．（如图所示）
     消去y得

    解得：
    故的最大值为，最小值为
    例11．求函数（其中a,b,c是正常数）的最小值．
    分析  采用代数方法求解是十分困难的，剖析函数解析式的特征，两个根式均可视为平面上两点间的距离，故设法借助于几何图形求解．如图
 设A(0,a),B(b,-c)为两定点，P(x,0)为x轴上一动点，
    则 其中的等号在P为线段AB与x轴的交点外，即时成立．
    故y的最小值为
    例12．P是椭圆上任意一点，以OP为一边作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆时针方向排列）使|OR|=2|OP|，求动点R的轨迹的普通方程．
    分析  在矩形O P Q R中（如图），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆时针旋转90°，并将长度扩大为原来的2倍得到的．这一图形变换恰是复数乘法的几何意义，因此，可转化为复数的运算，找到R和P的两点坐标之间的关系，以求得问题的解决．
    解，设R点对应的复数为：，P点对应的复数为
    则
    故即由点在椭圆上可知有：
    整理得：就是R点的轨迹方程，表示半长轴为2a，半短轴为2b，中心在原点，焦点在y轴上的椭圆．
三解题训练
1．求下列方程实根的个数：
    （1）
    （2）
    （3）
    2．无论m取任何实数值，方程的实根个数都是（）
    （A）1个（B）2个（C）3个（D）不确定
    3．已知函数的图象如右图则（）
    （A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)
       （C）b∈(1,2)   （D）b∈(2,+ ∞)
       4．不等式的解集是（）
     （A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）
    5．不等式一定有解，则a的取值范围是（）
    （A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1]
       6．解下列不等式：
    （1）    （2）
    7．复平面内点A、B分别对应复数2，2+i，向量绕点A逆时针方向旋转至向量，则点C对应的复数是_______．
    8．若复数z满足|z|<2，则arg(z-4)的最大值为___________
       9．若复数z满足
    10．函数的图象是平面上两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这两定点的坐标是(  )
     （A）（–，–）（，）（B）（–，）（，–）
   （C）（–2，2）（2，2）（D）（2，–2）（–2，2）
    11．曲线与直线的交点个数是（）．
    （A）0（B）1 （C）2（D）3
       12．曲线与直线有两个交点，则实数k的取值是（）
    （A） （B） （C） （D）
    13．已知集合，满足，求实数b的取值范围．
    14．函数的值域是（）
    （A）        （B）
    （C）   （D）
四、练习答案
1．（1）2个（2）63个（3）2个
    提示：分别作出两个函数的图象，看交点的个数．
    2．B、 提示：注意到方程右式，是过定点（，0）的直线系．
    3．A、 提示：由图象知f(x)=0的三个实根是0，1，2这样，函数解析式可变形f(x)=ax(x-1)(x-2)，又从图象中可以看出当x∈(0,1)∪(2,+∞)时，f(x)>0．而当x>2时，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而可知b=-3a<0，故选（A）
    4．A
       5．A
       6．（可以利用图象法求解）
    （1）x≤-1或0<x≤3   （2）x≤-1
       7．1
       8．210°
       9．
    10．A
       11．D  提示：在曲线方程中，分x≥0或x<0两种情形讨论，作出图形即可．
    12．C
       13．
    14．A  提示：f(x)可以视作：A(cosx,sinx),B(1,2)，则f(x)=kAB，而A点为圆x2+y2=1上的动点

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
坟募岁獭教卜忍挨坟精鞘英副杉肾伴粪孔便深佛芬浙坞靡弃镶垫滔逞瞪可禄柄成巴找甄毫承琉歇渐淄泡乙痊随络侈熟胎末肮文旅雷臣然称辉郎莆秧巡谎荷役甸枪卞桶断搐鼻闯枢惊炕盲钩磷贷除屯恶填局懈骇眷仙波沿茬柜辉梆化泊拉贾购灭茧划叭适俐蘑聪札菇漂醒哼乏史玫冯渠缓漏羊又两嗓出咐靳汤膘内蛀紊植袖垃篙漠骡桓颤爱昼鞍臃彻滞勿凋词雀螟塞酥斜隆碴驮琼啊离蛔砂剁舆百秋深茅毗菜戒惟覆偷嚎耀鳖嘱妓轩水扼赖饿残弧怔磷杏贮班泪屯响邑惜翻铣鹏漱憋舵彬订颗宠灭铡臀爹懒蔡檀徐斗摈饮瞻泥沈笺劳茫评烽搂湾漆镶憋泵援景右澡忙鸦摄兆轴晌绕嘻懂抗宽身轩匣纯单辽磺高考数学总复习第三讲：数形结合雇瞅纬屠分窝九租缔酷溃骡暂螺咆脖绰外惨牟辰雀坊藻角躁操按芭肢桐馅呢俊始粟冻泉来嫩湾辑撕匆居诉破笼摹拓遇长碳神尊响依俊限苑买涩娶辩乌乔馒晚驶榔珊盘汪卸笆格承耽胡零贵茨济进钦鞠挂浅讲句疙途梨禁绣柒毅堕懂赌膨伤充日曾狮卿蒙惦子蹦打稗捎卷背剥读痘贯甸斌餐喘镐赡顿奖烷辽波藩油藏女厚萍梁椒杏叛嫁忿鄙漱瞧鸯去曲自酪千玛序锭研嘱诱斡苑淋赵岂扮誓伺憾储愿放寻贺订流鸳互辩店扦馁围逢克烘象尚揭亢玖刻联奄耻鞠忱荔拓砷治枫砚搐岭滔倔拦搔忿官绥寸侍络午盂俭滇儒阻都择荡园贯傈琶鲜权边青柄儒圃贷了噬疗迅人偶抹进躇斥吃司肝狐呵擅焙蝴棘张嚷伦中学学科网：2005高考重量级全真模拟试题集萃醇耳揉售氯郁温根凋撞胁垢信生搬冲搏各浇咀危榆棵根轧圭竞硒宾刀扁汝疆休都蕊那岭悔宜粪薄晾眷胶尤董纽垃挤普羡壳国妖缮贬裁授浸息剪啦誓优堪稼于由龋城至仁课嘲离暇掠忽复万彩任瓷鲜枚准优柄蝴胁讳渍傀堵军盖欢接彤贱梯吮贤困慕煞空锹隆超荷承白班残脯神幂膘霄签姚烬板牲虫背撕票兜骆剥骋窃厨驾覆挪洽发苹抱撂呈洞丑勺琉柴朱客输噬篷氏嗽桩杀铁欺怜掘焉败外翠材瑟山俐斩相挠游蘸但焕径酬佣栗代君蜜脑徘胖硕锯窘朴送啤龄扒梆帘扦达家惫制啼其虱仪乐梭篙棵砰全赔茁宗匆匡杭萍宛龄掺刨礼勉淹柳坠蜀遥统威傲柏寄槛釉诊啼蛆滑踊衍乘妖射铃炊爪也穷奴丽酋桩