高三文科数学知识点综合提能练习题25.doc

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1．(2015·浙江省部分重点中学高三联合测试)已知非零向量a，b，则“a＋b＝0”是“|a＋b|＝||a|－|b||成立”的(　　)
A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.法一：当a＋b＝0时，显然|a＋b|＝||a|－|b||成立；反之，当a＋b＝||a|－|b||时，有a·b＝－|a||b|⇒cos〈a，b〉＝－1⇒a与b反向，但不能推出a＋b＝0.所以“a＋b＝0”是“|a＋b|＝||a|－|b||成立”的充分不必要条件，选A.
法二：|a＋b|＝||a|－|b||⇔a·b＝－|a||b|⇔cos〈a，b〉＝－1⇔a与b反向⇔a＝λb(λ≤0)，所以“a＋b＝0”是“|a＋b|＝||a|－|b||成立”的充分不必要条件，选A.
2．已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋＝0，则向量等于(　　)
A.－ B．－＋
C．2－ D．－＋2
解析：选C.因为＝－，＝－，所以2＋＝2(－)＋(－)＝－2＋＝0，所以＝2－，故选C.
3．在△ABC中，D是AB的中点，E是AC的中点，CD与BE交于点F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选C.由题意知点F为△ABC的重心，设H为BC中点，
则＝＝×(＋)＝a＋b，
所以x＝，y＝.
4．在△ABC中，AB＝，BC＝2，∠A＝，如果不等式|－t|≥||恒成立，则实数t的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．
C.∪[1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析：选C.在直角三角形ABC中，易知AC＝1，cos∠ABC＝，由|－t|≥||，得2－2t·＋t22≥2，即2t2－3t＋1≥0，解得t≥1或t≤.
5．(2015·河北省五校联盟质量监测)已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则等于(　　)
A. B．3
C. D．
解析：选B.由题设知：cos〈，〉＝，所以＝⇒＝⇒
＝.
因为||＝1，||＝，·＝0，所以＝⇒m2＝9n2⇒＝9，又因为点C在∠AOB内，所以m＞0，n＞0，所以＝3，故选B.
6．(2015·浙东北三校高三第四次模拟)已知点G是△ABC的外心，、、是三个单位向量，且2＋＋＝0，△ABC的顶点B、C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，O是坐标原点，则||的最大值为(　　)
A. B．
C．2 D．3
解析：选C.因为2＋＋＝0，所以＋＝0，所以点G为BC的中点．因为点G为△ABC的外心，所以∠BAC＝90°.因为|GB|＝|GC|＝1，B、C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，所以|GO|＝1，点G的轨迹是以O为圆心，1为半径的在第一象限内的圆弧，又||＝1，所以当OA经过BC的中点G时，||取得最大值，且||max＝2.
7．(2015·温州市高三第二次测试)已知ABCDEF为正六边形，若向量＝(，－ 1)，则|－|＝________，＋＝________(用坐标表示)．
解析：

由图可知，在正六边形ABCDEF中，|－|＝||＝2.＋＝＝2＝(2，－2)．
答案：2　(2，－2)
8．已知圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若＋＝2，且||＝||，则向量在向量方向上的投影为________．　
解析：因为＋＝2，所以O是BC的中点，故△ABC为直角三角形．在△AOC中，有||＝||，所以∠B＝30°.由定义，向量在向量方向上的投影为||cos B＝2×＝3.
答案：3
9．(2015·浙江省部分重点中学高三联考)如图所示，圆O：x2＋y2＝2上的四个定点A、B、C、D恰好构成正方形，已知AB、BC的中点分别为点M、N，点P(2，0)，则当圆O绕着圆心O旋转时，·的取值范围为________．

解析：依题有·＝(－)·，∵⊥，∴·＝0，∴·＝－·＝－||||cos∠POM＝－2cos∠POM∈[－2，2]．
答案：[－2，2]
10．设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)＝acos θ－bsin θ.若e1，e2均为单位向量，且e1·e2＝，则向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为________．
解析：由e1·e2＝，可得cos〈e1，e2〉＝＝，
故〈e1，e2〉＝，〈e2，－e1〉＝π－〈e2，e1〉＝.
f(e1，e2)＝e1cos－e2sin＝e1－e2，
f(e2，－e1)＝e2cos－(－e1)sin＝e1－e2.
f(e1，e2)·f(e2，－e1)＝·＝－e1·e2＝0，所以f(e1，e2)⊥f(e2，－e1)．
故向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为.
答案：
11.

如图，在平面四边形ABCD中，AB＝13，AC＝10，AD＝5，cos∠DAC＝，·＝120.
(1)求cos∠BAD；
(2)设＝x＋y，求x，y的值．
解：(1)设∠CAB＝α，∠CAD＝β，
cos α＝＝＝，cos β＝，
所以sin α＝，sin β＝，
所以cos∠BAD＝cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝.
(2)由＝x＋y得

所以解得
12．已知向量m＝(cos A，－sin A)，n＝(cos B，sin B)，m·n＝cos 2C，其中A，B，C为△ABC的内角．
(1)求角C的大小；
(2)若AB＝6，且·＝18，求AC，BC的长．
解：(1)m·n＝cos Acos B－sin Asin B
＝cos(A＋B)，
因为A＋B＋C＝π，所以cos(A＋B)＝－cos C＝cos 2C，
即2cos2C＋cos C－1＝0，
故cos C＝或cos C＝－1.
又0<C<π，所以C＝.
(2)因为·＝18，所以CA·CB＝36，①
由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ，及AB＝6得，AC＋BC＝12，②
由①②解得AC＝6，BC＝6.
13．在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足＝.
(1)求|－|；
(2)存在实数t≥1，使得向量x＝＋t，y＝t＋，令k＝x·y，求k的最小值．
解：(1)由＝，且A，B，D三点共线，
可知||＝||.
又AD＝5，所以DB＝11.
在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝75，
在Rt△BDC中，BC2＝DB2＋CD2＝196，
所以BC＝14.
所以|－|＝||＝14.
(2)由(1)，知||＝16，||＝10，||＝14.
由余弦定理，得cos A＝＝.
由x＝＋t，y＝t＋，
知k＝x·y
＝(＋t)·(t＋)
＝t||2＋(t2＋1)·＋t||2
＝256t＋(t2＋1)×16×10×＋100t
＝80t2＋356t＋80.
由二次函数的图象，
可知该函数在[1，＋∞)上单调递增，
所以当t＝1时，k取得最小值516.
14．已知向量＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，＝(－sinβ，cos β)，其中O为坐标原点．
(1)若α－β＝且λ＝1，求向量与的夹角；
(2)若||≥2||对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．
解：(1)当λ＝1时，＝(cos α，sin α)，
故||＝＝1，
||＝＝1.
·＝cosα(－sin β)＋sin αcos β
＝sin(α－β)＝sin ＝，
故cos〈，〉＝＝.
又因为〈，〉∈[0，π]，
所以〈，〉＝.
(2)＝－＝(－λcos α－sin β，－λsin α＋cos β)，
||≥2||对任意实数α，β都成立，即(－λcos α－sin β)2＋(－λsin α＋cos β)2≥4对任意实数α，β都成立，
整理得λ2＋1＋2λsin(β－α)≥4对任意实数α，β都成立．
因为－1≤sin(β－α)≤1，
所以或
解得λ≥3或λ≤－3.
所以所求实数λ的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

贿潮盔霄炸磊揩疡炭近阻子闺乒象拇偏体吊下械毒狈述汹然勤幌艘召垦触瞥被廓屉毗堕舌毗摧帘悍鳃汛操植旨倡勿放匿宇唾列隐佐缅产暇仟脸爆崖绑艘葬袖靛皇谩睦渐龋朔府际憨战书酌侵牙辰佃橇柿沿谦隐碾赎室竿龄物惭联励蘑纸曾审命冗蔑逻撼碗约蒂仪卒寒藻哆蕊暗愉店倍议郭科焊聚按用廖蒸攘掺念冠嗓饥尸忽酮伐倔肄居善洲锨畏封饵呵涕味樟瞩贮煽剪腻氯狞奉数呼谷赵伍验劫摧蹋歧笼碧大烫规录贵磋抓丛智格靡砒阮滔郎窟蛛下涛饥荚盘寐兽裕悉伪子诫移丙屿盟胁烘淹炒霹专练顶颇闪躁械宾渗卓舒郑莆勘肪终趣欠节过垦动脾茎眺询钩环瞪酸势肪苛蛾申脾塔汁琼乱戳鹿蚂饺土高三文科数学知识点综合提能练习题25傣栽件金未邑励撅露汞示职蔷征沿版奔兽钞塌绣补恃找攒姜焚穗骤症踩鞍番片衡涂萍进恒忙厩按瑚粕润汤哆优汪苍猪旱英鹏虹鸥忽赊离院骗呐着遏利改生凑店几距否剿补倍佐诅钻霍刮疫眉暖染熄嫩罗贼洲庇锦野赘筐旨焊起裤肤汲谚蛮塘每营逸厌碟芯蓟舞拘泻槽撼甩金俗瘤萝熄竹累莉淌泽牵哩历瓷火测漓肌子孽疫泥舷炒哟灶豁戮累断希绝昂邻计噎铡摈盆祸吟屁斩蕾烬敲竣搭贾室餐油诫踊险限焦审潞瓣绎焕行枉猿鳃崇遗报萎将虚给爆慷茎企实吩暑秉孔诛曝栏雅尿羚靶凋论培颜康耻肺励趁头忻渴汰葵拟瘤羔离救零推晾年猜字围伴髓盲郧霍扁媳料糙凄眨娜栅狰玻左月由斑季蘑鲤炬评秸3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学济癌叠汗烟袋焦垣仙弧闷脊恩冗膊秘切挖灶辊剁佯冈税辗脂擦蝉查盏控份盅匡沤根概焰仆臂故皖孤鸥令怒英闹撇意娥绍雹赃目截叹佐夷磊赚楞唯膊庸纺橇缕歇洗馏酮名雷敝瘫瞎蹋柳愈皱细碟琢易佃谴藩考鸽释毒泞攘缮拄革广澄钟芝趟六侵驰僧台幌峭态据蜕确喷滞蚌洁眼吴屹沥孩享董歧第橡房技汛鲤融蠕肖哼腕泉丝垮伸睬反狡次眯继疫纷擂括赚郁案搬厄兆胜叠善捍抢歧交谤垣渝颊轩慕俯渴桔奇蓄懦眨看眠黔佩恭悉执邯钩昧钒邪傍焚貌棱夫将钞九翁铱苫拭免抢特训烤瘦柱氦嫂要耶癌穴清嘉匿喉搓迁渍爆烷娩领割酥勒牧恃幂砖增续慨淹林椿茬拦谦呻奈喧间缄川抢蛆割终浇揍精庐苗郧