数学模型期末考试试题及答案.doc

学院、系 专业班级 学号 姓名
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山东轻工业学院 08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A试卷
（本试卷共4页）
题号
一
二
三
四
五
六

总分
得分

说明：本次考试为开卷考试，参加考试的同学可以携带任何资料，可以使用计算器，但上述物品严禁相互借用。

得分

阅卷人

一、简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、在§2.2录像机计数器的用途中，仔细推算一下（1）式，写出与（2）式的差别，并解释这个差别；

2、试说明在§3.1中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产费用，在什么条件下可以不考虑它；

得分

阅卷人

二、简答题（本题满分16分，每小题8分）
 1、对于§5.1传染病的SIR模型，叙述当时的变化情况
并加以证明。

2、在§6.1捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度的减函数，
即，请问如何达到最大经济效益？

得分

阅卷人

三、简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、在§9.3 随机存储策略中，请用图解法说明为什么是方程的最小正根。

2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力？

得分

阅卷人

四、（本题满分20分）
某中学有三个年级共1000名学生，一年级有219人，二年级有
316人，三年级有465人。现要选20名校级优秀学生，请用下列办
法分配各年级的优秀学生名额：（1）按比例加惯例的方法;（2）Q 值法。另外如果校级优秀学
生名额增加到21个，重新进行分配，并按照席位分配的理想化准则分析分配结果。

得分

阅卷人

五、（本题满分16分）
大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响就
业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个
选择就业岗位
收入
发展
声誉
岗位1
岗位2
岗位3
就业岗位可供选择。层次结构图如图，已知准则层对目标层的成对比较矩阵，方案层对准则层的成对比较矩阵分别为，，。
请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。

得分

阅卷人

六、（本题满分16分）
退保
健康
死亡
疾病
0.15
0.05
0.1
0.07
0.03
0.6
某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定数的额保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止（退保）。 保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估，从而制定合适的投保金额和理赔金额。各种状态间相互转移的情况和概率如图。试建立马氏链模型分析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下，平均需要经过多少年投保人就会出现退保或死亡的情况，以及出现每种情况的概率各是多少？

山东轻工业学院 08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A试卷解答
一、 简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、 答：由（1）得， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
将代入得， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
因为所以，则得（2）。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
2、答：假设每件产品的生产费用为，则平均每天的生产费用为，每天的平均费用是
， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
下面求使最小，发现，所以
，与生产费用无关，所以不考虑。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
二、 简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、答：由（14）若，
当时，增加; 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
当时，达到最大值；
当时，减少且由1.知 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
2、 答：，则， 。。。。。。。。。。。。。。2分
将代入，得 ，。。。。。。。。。。。。。。5分
令得。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
三、简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、由于方程（4）左边随着的增加单调递增，因此有唯一驻点且为最小值点。从而是下凸的。而由和的表达式的相似性知也是下凸的，而且在处达最小值 。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
记， 则集合与的分界点即为订货点，此即方程的最小正根 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
2、答：（回答要点）培养想象力和洞察力。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

四、（本题满分20分）
解：20个席位：（1）、，，因此比例加惯例分配结果为5、6、9个。（2）三方先分得4、6、9个，2398.05，2377.52
2402.5，最大，按值法分配结果为4、6、10个。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
21个席位：（1），，因此比例加惯例分配结果为4、7、10个。（2）三方先分得4、6、10个， 195.68，最大，按值法分配结果为5、6、10个。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。16分
显然此例中比例加惯例的方法违背了席位分配的理想化准则1，而值法分配结果恰好也满足准则2，因此值法分配结果是同时符合准则1和准则2.。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。20分

五、（本题满分16分）
解：用“和法”近似计算得：
矩阵对应的权向量为：，最大特征根为3.003697，，
矩阵对应的权向量为：，最大特征根为3.001982，，
矩阵对应的权向量为：，最大特征根为3.00703，，
矩阵对应的权向量为：，最大特征根为3.00922，，
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
组合权向量为
因此最佳的岗位为岗位3。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。16分

六、（本题满分16分）
解：由题意，转移概率矩阵为，从而知状态“退保”和“死亡”为两个吸收状态，此为吸收链。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
=
=，因此在投保时健康或疾病状态下，平均需要经过或6年投保人就会出现退保或死亡的情况。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
=，因此在投保时健康状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为0.72和0.28；在投保时疾病状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为0.66和0.34。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。18分
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