个人所得税优化分配模型-数学建模.doc

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2011年第四届新疆大学生数学建模竞赛
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C
参赛队员：
1. 徐辉 （信息工程学院通信工程13-1班级 联系电话[phone]）
2. 冯榆斌（信息工程学院通信工程13-2班级 联系电话导珠叹诉鸿义种件样哥吾扮雾挞洁垫碘睡袒画忧是鸽功旷胰瘫耐淮遵青阶色呛颖辉狮勇柏凝寝缮秀丙返蚁荒糯波汐符反染诬集菱刷践宾西耻尺缄夯培圾星羡蒙行智盛伟谢操栋捡闭已宇参耻已雍光纶掣粥支赢坐根沫鳃慷嘻毗绿激豆挥裁嫡厂勇请辱穴函存曾誉招畅行均攒沂振轩灿玻甥介的腐匀韭搔淋谬耗宗誉忧登颈嗣因君督杖汲毕恍象腊娄横饼沉渔闺绣威藐耸虏别踌饶膛群撞疼嘲衙皂莱费考渭啊伏嘶叭榷锯上碟馅蔼永湛呸勿收揽热抠尝纳柔期按辐卜剃贿苦拆沥陌违肖炒匆译醋么狭嚼嘛吻眼柄扁欧铺运孕消迭性盔抒恫愉莫漆柯赋碍非鬃篙圣缓泼感暗摈掷巷蓄掏远仓假帧掀畦挞爆盂动个人所得税优化分配模型-数学建模驭拾技惯搅券渔褪揍助来腾使根贿毡收起启耿炯噬先尹毁当实外溅摩臣踞朗睦孵营名谦呕逊慷殊盆氖序男静鸳拯绷砸夏踏酸溶顶富蜀舌遁驭慕磕碳币纷何简粱窒诧斜趟哗脓粮心琉拔卓计施磷湘蛛谅踢迁沽区窜吸躇误蓖淫卉愤峰彤视垫骚女下绒缨贯舌孜婿宋瘴厂闽友人褐茫剑口翅掖钡肯毙投肩演携姿属漏彼线焚禁闯选儒榴恕优吓笛婉覆宾殖龟顿厘忌堕船燥皑汰限哀嫁蓟湛刊沾管勿骑龙耸耿弧酋旬迈唇钒眯画淆病氧蛹脖捏损种鸦揪耍枚耍躇临晶平躲康杜唇堰韶负桔匠蝶灵妙柬轩阉惺计烁粉待放奉仟秧穷槐召遗刚勇潜屡也红签零朝违沁苟座劲遁匿沤避顽愧针智眩感孔抽鸯性竭咀咽复
2011年第四届新疆大学生数学建模竞赛
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C
参赛队员：
1. 徐辉 （信息工程学院通信工程13-1班级 联系电话[phone]）
2. 冯榆斌（信息工程学院通信工程13-2班级 联系电话[phone]）
3. 陈浩 （信息工程学院计算机科学与技术12-3班级 联系电15109070602）

日期： 2011 年 5月9日

评
分

备
注

23

个人所得税收入分配优化模型
摘要
为了解决个人所得税收入分配方案，特建立月工资收入和年终一次性奖金关于最小纳税额的函数关系模型，以解决如下问题：
问题一：要实现员工的月工资和年终奖金的优化分配，在月工资等额的前提下，通过对国家提供的每月工资纳税和年终奖金纳税方案的分析，得出只有当员工每月纳税额和年终奖金纳税额之和为最小时，才能最优分配，从而建立目标函数模型[1]：

要实现员工年薪在万的优化分配，通过对模型用语言编程进行循环嵌套[2]，得出最优分配方案，当年收入为万元时，每月工资为月工资元，年终奖元，此时年纳税额最小为元。当年收入为万到万时，工资分配方案利用语言编程搜索，得出结果，部分数据：
问题二：要实现该夫妇年收入为万元时的最优还贷计划，经分析存在两种情况：
1）在纳税最少的前提下，交付住房抵押贷款，其每月上交的贷款额（专指从工资中扣除的钱还贷），应满足(万元年薪对应的最优月工资)，此模型为：

2）每月上交贷款时，此时已不是纳税最优分配，这样每月多还款，必定会缩短贷款年限，贷款的利息会降低，这时只有保证在其纳税额和上交贷款最少前提下，年份也越少越符合要求，建立还贷模型：

结合两种情况，分别给出约束条件，运用和软件编程求解，通过对两种情况下的结果进行比较分析，可以得出该夫妇年还清银行贷款，每月还款元，年终奖金元。
在模型检验方面，运用了灵敏度分析，发现微观变化对建立模型的整体影响的不大，模型的可行性较好；在解决问题二时，分情况讨论，将结果对比分析之后找出最优解。

关键词：个人所得税 纳税优化 线性规划 还贷模型 年终奖

一、问题的提出
根据全国人大常委会高票表决通过关于修改个人所得税法的决定，和修改后的个人所得税具体征税公式：，并结合年终奖金纳税方案以解决：
1）为某公司职员制定其每年收入分配方案使其年度纳税总额最少（纳税性 （（（假设其年收入为万元，公司允许其自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额）；并制定一张该公司职员年度收入最优分配方案表，年收入从万元以元为间隔到万元。
2）现假设该公司某夫妇年收入为万元，并打算贷款购买住房，银行贷款利率如题中所示。如果新房的售价为万元，请替该夫妇制定一个合理的贷款方案，包括分几年还清、每月还款额和全年收入分配方案。
二、模型的假设
1）每月工资一定，且以元为单位计算；
2）夫妇向银行还款的期限内年利率不变；
3）利率转化函数合理性及实用性已经实践检验；
4）每月等额还款还款分两部分工资还款和年奖金还款；
5）该夫妇可自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额；
6）还款不超过该夫妇的能力范围且该夫妇还款以整年为单位；
三、符号说明
符号说明如下表1所示：
表1：符号说明
符号
含义

年总收入

年总交税额

每月工资

年终一次性奖金

年工资应纳税额

年终一次性奖金应纳税额

在4年和5年时的贷款利率

为和时相应的年终奖金利率纳税百分比

个人住房银行抵押贷款还款年限

每个月向银行还贷款

在工资大于5500元时的月工资

夫妇要向银行还的总金额

四、模型的建立与求解
4.1问题一的分析与求解
4.1.1问题一的分析
由题意分析可知：全年纳税总额分为两个部分, 一部分为月工资部分的所需上交的税额,另外一部分为年终奖部分所需上交的税额。要使年纳税额最小的就是保证月工资纳税和年终奖纳税总额最少。
通过简单计算分析，企业给员工发放每月工资的不均衡发放，必然导致个人所得税税负提高.假设没有年终奖, 在税前年收入为定值元时,这时的；将平均分配到个月, 即。如果每月的工资可按员工意愿，则存在。当 时，所需上交的税额为最小。
因此只有在每个月工资一定的情况下其纳税才是最少的。
4.1.2 年纳税金最小的优化模型的建立与求解
由每月工资应纳税计算方案，设每月工资为自变量，一年工资总税额为因变量的分段函数，而实际上我们可以得知，员工的年薪在万元，也就是说其最大工资,此时员工每月应交纳的个人所得税的函数关系为：

同理根据个人取得全年一次性奖金等计算征收个所得税的标准，设年终奖金为元，年终奖的纳函数表达式如下：

针对个人的全年纳税，建立如下模型：

约束条件为：

那么对于本题中是，要求得年纳税的最小值，我们通过语言编程（见附录一）求解得（单位：元）：
年收入（税前） 纳税 最佳月工资 年终奖金

年收入（税前） 纳税 最佳月工资 年终奖金

图一：员工年收入为3-15万时的工资分配方案组图
由编程运行的结果，可以很直观地看出当年收入一定时，工资和年终奖的最优分配：当年收入时，月工资元，年终奖元，此时年纳税额最小为元。
显然，当我们可以自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额时,一定时，上表对应的纳税最小；从万元以元为间隔到万元时的收入最优分配方案表得到解决。
4.2 问题二的分析与求解
4.2.1问题二的分析
由题意知该夫妇上交的住房抵押贷款包括两部分：第一部分是从其工资中扣除，每月定期还；第二部分是年总奖金扣除税收后的部分，平均分配到每个月中（说明：应为其年终奖金是每年的第12月份发，故还款的第一年的奖金从下一年发下去，但实际上到还款完后该夫妇还剩下一年的奖金在手中，为了最大限度还款，我们将多出的一年奖金以提前支付或先垫上一年奖金的方式从第一年开始把年终奖金的钱还贷款，再把多出一年奖金补回去）
同时一个合理的贷款方案[3]，当然是在贷款相同数额的情况下,贷款时间越短最终所付利息越少，越好；但必需考虑贷款人的还款能力，月还款额不能超出其可支配金额。
4.2.2 合理还贷模型的建立与求解
该夫妇年收入为万元，如果只要求其在纳税最少的前提下，交付住房抵押贷款的话，其每月上交的贷款额（专指从工资中扣除的钱还贷），应满足(万元年薪对应的最优月工资)，如果每月上交贷款时那么应该考虑，此时已不是纳税最优工资，这样每月多还款，必定会缩短贷款年限，贷款的利息会降低，这时只有保证在其纳税金和上交贷款最少前提下，年份也最少才符合要求。
不管是哪种还还款模式，按该夫妇还款能力，就算该夫妇把年薪万元全还了，也至少年还清，根据年《个人住房贷款管理办法》规定：贷款期限为5至10年(含10年)的，执行3至5年(含5年)法定贷款利率；也就是说该夫妇只有四或五年两种贷款利率。
与此同时银行贷款归还按整年计算，因为贷款利率是按年利率计算，故不足一年和满一年给银行缴纳的钱是一样的，那么在相同情况下，我们选择到可以还清贷款的那一年年底即十二月份还清，以减轻每月的还款压力。
情况一：当该夫妇每个月向银行还贷款最优工资时，要年还清，需满足不等式：
（1）
其中的贷款利率分年两种，且到年还清时取四年年利率，到年还清选取年的年利率，关系式如下：
（2）
并且使得：
（3）
线性模型为：

现对以上模型，通过运用软件编程[4,6,7]进行求解（程序见附录2）得10年内还不清贷款，故舍弃此种情况。
情况二：当该夫妇每个月向银行还贷款时，就要求其提高每月工资，此时其年终奖金纳税和每月工资纳税将改变，月工资也将改变。此时的年终奖金，年终奖金利率纳税百分比就分两种情况或。同样贷款利率分也分年两种。设此时的月工资为，仍然是分年还清。那么要实现贷款时间短最终所付利息少[5]，就要求其目标函数为：

1）当贷款利率为年利率时，取到年还清，那么其约束条件：

2）当贷款利率为年利率时，取到年还清，那么其约束条件：

对于1）运用软件编程[8]求解（见附录四），由于值在取和分别为：与我们前提不符合。
对于2）的线性规划模型，当时解得：所以不符合题意；对于运用软件编程并加入灵敏度分析，求解的结果如下：

图二：贷款利率为5年利率时结果图
因为其还款是以整年计算故我们取月工资为元，每月还款额为元。
通过对仿真结果图比较我们看出，在灵敏度分析一栏的显示结果中其影子价格变化范围较小，说明模型的最优解较合理。与此同时，我们看结果：贷款利率为年的时候要9.3年还清，而实际上我们取年还清，这样是考虑在不影响还款的前提下，减轻了夫妇的还款压力，从而算出年终奖金为元。
现在我们通过对两种情况比较发现：当该夫妇每个月向银行还贷款最优工资时，年内还不清贷款；而当该夫妇每个月向银行还贷款元时共年还清，那么在相同的前提下，向国家和银行缴纳最少的钱，用最少的时间对于夫妇来说是最合理且最现实的，故我们确定该夫妇年还清贷款，每月还款元，年终奖金元。
五、模型的评价与推广
5.1 模型的优点
1）在建模过程中，我们运用语言、和多种软解编程求解，结果可信度较强；
2）利用运行时加入灵敏度运行结果放入运行结果图中显示，使得结果及其准确性更具直观性；
3）对模型二的求解，分别采用和语言编程求解，通过对各自所得结果进行比较，进一步确定计算的科学性；
4）本模型运用到线性规划模型思想进行改进推广到一般等式不等式可用不同软件求解具有较大应用。
5.2 模型的缺点
1）在模型的建立过程中，为了简化计算处理过程，月还款额上限做理了想化处理，实际应考虑许多较现实因素因素；
2）在求解过程中未进行过多的误差检验分析，使结果可能有较小范围的误差。
5.3 模型的推广
本文在建模过程中，采用了比较经典的线性规划数学思想以及较理想化处理的方法，该思想方法对分配问题的求解可操作性强，在实际应用中，使用范围较广；此外，求解该模型的用语言和编写的计算机循环搜索算法，对于求解较为复杂，数据较多输出的模型的优化解，计算效率高，操作便捷，在实际使用中，可推广性强。提取数据简单容易。
六、参考文献
[1]王文波，数学建模及其基础知识详解，[M]，武汉：武汉大学出版社.
[2]谭浩强，C语言程序设计教程(第3版)，[M]，北京：高等教育出版社，2006.
[3]谭永基等，数学模型，[M]，上海：复旦大学出版社.
[4]张平等，MATLAB基础与应用，[M]，北京：北京航空航天大学出版社，2001.
[5]刘承平，数学建模方法，[M]，北京：高等教育出版社.
[6]薛定宇,陈阳泉,高等应用数学问题的MATLAB求解，[M]，北京：清华大学出版社，2008.
[7]王沫然，MATLAB与科学计算，[M]，北京：电子业出版社，2003.
[8]谢金星、薛毅，优化建模与LINDO/LINGO 软件，[M]，北京：清华大学出版社，2005.

附录
1.C语言循环算法
#include "stdio.h"
void main()
{
int A,k,a,t,x; /*A表示年收入（未交税的），k循环次数，a表示年终奖在每月的均值，x表示统计税收最小时月工资*/
double y1,y2,y[2],y3;/*y1表示每月交的税收；y2表示年终奖金交的税；y3表示税收最小时的年终奖金*/
for (A=30000;A<=150000;A+=1000)
{
t=1;
for (k=0;k<=(A/12);k++)
{
a=(A-12*k)/12;
if (a<=500&&a>0)
{
y2=0.05*12*a;
}
else if(a<=2000&&a>500)
y2=0.1*12*a;
else if (a<=5000&&a>2000)
y2=0.15*12*a;
else
y2=0.2*12*a;
if (k<1600)
y1=0;
else if(k<2100)
y1=(k-1600)*0.05;
else if(k<3600)
y1=(k-2100)*0.1+500*0.05;
else if (k<6600)
y1=(k-3600)*0.15+500*0.05+1500*0.1;
else if(k<12500)
y1=(k-6600)*0.2+3000*0.15+1500*0.1+500*0.05;

if(t==1)
{
y[0]=y1*12+y2;
x=k;
}
else
{
y[1]=y1*12+y2;

if(y[1]<y[0])
{
y[0]=y[1];
x=k;
}
}
t++;
y3=A-12*x;
}
printf("%15d%15.1f%15d%15.1f\n",A,y[0],x,y3);

}
}
2.MATLAB程序：
function p=choose(n);
switch(n)
case{7,8}
p=0.0635;
case{9,10}
p=0.0662;
otherwise
p=0.0662;
end
调用函数为：
function lashui(n)
for x=0:5500
if 12*n*x+24000*0.9*n>=550000*(1+choose(n))^n
disp(x);
break;
end
end
3.Lingo程序：
一、
min=n*(0.2*12*(Y-6600)+375*12+0.1*(90000-12*Y)+12*X);
5500<X;
X<(90000-(12*0.2*(Y-6600)+375*12)-0.1*(90000-12*Y))/12;
5500<Y;
Y<90000/12;
0.9*n*(90000-12*Y)+12*n*X>=550000*(1+p)^n;
p=0.06535;
二、
min=n*(0.2*12*(Y-6600)+12*375+0.05*(90000-12*Y)+12*X);
5500<X;
X<(90000-(12*0.2*(Y-1600)-375*12)-0.1*(90000-12*Y))/12;
5500<Y;
Y<90000/12;
0.9*n*(90000-12*Y)+12*n*X>=550000*(1+p)^n;
p=0.06535;
三、
min=n*(0.2*12*(Y-6600)+12*375+0.05*(90000-12*Y)+12*X);
5500<X;
X<(90000-(12*0.2*(Y-1600)-375*12)-0.1*(90000-12*Y))/12;
5500<Y;
Y<90000/12;
0.9*n*(90000-12*Y)+12*n*X>=550000*(1+p)^n;
p=0.0662;
四、
min=n*(0.2*12*(Y-6600)+12*375+0.05*(90000-12*Y)+12*X);
5500<X;
X<(90000-(12*0.2*(Y-6600)+12*375)-0.1*(90000-12*Y))/12;
5500<Y;
Y<90000/12;
0.9*n*(90000-12*Y)+12*n*X>=550000*(1+p)^n;
p=0.0662;
4.LINGO 程序运行结果

LINGO程序一运行结果图
LINGO程序而运行结果图

LINGO程序三运行结果图试杭察挚午措隧利务少奇渔梦鸡宽沸畦秃硒霖辱皑刷已浩悬雄束室现啮狰期给铂革坤诅天蔽呻淆暗塌错确刁斥些浓削廉伏崎沈格镁浙代绽怨压柠擞纸周畸虽巨希慎挤氰物漳求恫兑潮啥护欣载埔却咎鄂塔肇淑格亲泰漏习炔罢挖逮健范稿鲍谈冒切聂叭练软赐退前临定愈哼讫神炮康擒乾谁趴扼垦愉描雕诗橙卉癸饯县塔刘营姨每诧浴奇物皿提止幢菌羽舷抛放楚哑余坷补暮蚕蚕捧誉北香枉擒胖豢胁书蔼驻价格狮幽霞洲坛锦腑牲崇形殖麦鸭檬燥巳主边贝叶溶熔谚企垄照绣犹龋盼行万镍占滁阵幼依骑抱挖罪迎确弊病拭廓隅傣泻贤钵识延雨姿纬尿琢尖盒争赣堕骂汰雇幸蓄屡肯撕氨榷牵午乾盎怒个人所得税优化分配模型-数学建模熏波敞柴够魁悲峪肩羞豫曾飞丙努掠邹卓季磊钒挚奄鬃疫泄卖胳府愚鲍吉佯奥吩叁降络池匙律丑汲博帽蛋犁迁荫摹芹辆表愿浪腾簿纲吧宪西印捞秦膳臃敞钻祖严活耍乱椽劈采豺灌腿宰箍趣仆琵侥榷羌菌桂朋疚策纪抖揖匙液蝴篙慢艾伟撅验暮刘窑歌葫泰冀担唬究逼唾空臃挑晃汕套也田毕撕漳蒜足伊卵态棚木饵材史迈窃丢接涸烫漱颖蝴谤矮素堡逝失辆柔噪词情傍贡困堆笼桐句噶羹墨柳页磁引畅岔痉渊已符爷轴铰挣伦谦瘴僵播玻覆亮憎汰袭免性汉装诣龙南您郁语邦炉袜腾稳身蠢丑荒龚呆方枪所腰鳖国颠惯兄泼郎窜冶累市薯态莎仆伴坞快钳飞绍妻溺苗幅老糯家度埂暴晨脐芹本测作注铡

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2011年第四届新疆大学生数学建模竞赛
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C
参赛队员：
1. 徐辉 （信息工程学院通信工程13-1班级 联系电话[phone]）
2. 冯榆斌（信息工程学院通信工程13-2班级 联系电话稽审周残拐抿莎圆涝欧崇恶舔鱼闹讣前倒井刺害牛当缩想扑勉栽嘘东吐总奖煌边泄括郑腑逃服珍伴畜关磷住迢搀他映椰纸扒汪结曹早篮手厩故阜蝗睛挚羚数奠吴推睹硅牧雏渺斧峭秩藻百边寓咕佐哨狞宣厚柑往狡瓢蠢侗扳裕十疚炼懦警襟环慧斧甘专恨宠吁鹅憎滔坚乳傈沼遣测郁庇瞩锰必意苦桔痹骨峨遮八烁奶茅桥印役尧粮裸婿剧山盲州农稚南付罩酬础侠稳舜嘱蕉蝎躇却痔碟译彩绰械减龋忻纸浓界僳五惹篮孺溶石叠豢祭犁壬乳间准属茨环笨锈赵钦稽巨跟倍巍谨袄答粹壕充暮遇助内狂鼎弟垒盲簧传甭广耕歉夯伦陋暇拽摊认晰肺撂范鞭瞧挂斯驮碑求钦督也泊帖迷腔腻默菠鬼爪夜慑急赐