数学文卷·2015届广东省广州市海珠区等四区高三联考(2014.11).doc

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海珠区2014学年高三综合测试（二）
数学(文科)
2014.11
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。
参考公式：锥体体积公式,其中S为锥体的底面积，为锥体的高.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，那么集合为
A． 　B． C． D．
2．若复数满足,则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．函数（）的反函数为
A．（） B．（）
C．（） D．（）
4．已知向量的夹角为，，且，则
A．6 B．7 C．8 D．9
5．函数的一条对称轴为
A． 　　B．　　　　C．　　　　D．
6．根据如下样本数据：

3
4
5
6
7
8

4
2
-1
1
-2
-3
得到的回归方程为，则
A． B． C． D．
7．函数与在同一平面直角坐标系内的大致图象为

-

8．阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为
A．0 B．
C． D．
9．已知椭圆与双曲线共焦点，设它们在第一象限的交点为，且，则双曲线的渐近线方程为
A． B．
C． D．
10．若实数满足，则的最小值为
A．8 B． C．2 D．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11. 已知是等差数列，，，则该数列前10项和________．
12. 一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图都是边长为的等边
三角形，俯视图如图所示，则这个几何体的体积为________.
13．给出下列四个命题：
①函数有最小值；
②“”的一个必要不充分条件是“”；
③命题；命题．则命题“”是假命题；
④函数在点处的切线方程为.
其中正确命题的序号是________．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆与直线相交所得的弦长为________.
15．（几何证明选讲选做题） 如图，⊙是的外接圆，
，延长到点，使得，连结交⊙
于点，连结，若,则的大小为________.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本小题满分12分）
在中，内角所对的边长分别是,已知，.
（1）求的值；
（2）若，为的中点，求的长.

17．（本小题满分12分）
随着社会的发展，网上购物已成为一种新型的购物方式．某商家在网上新推出四款商品，进行限时促销活动，规定每位注册会员限购一件，并需在网上完成对所购商品的质量评价．以下为四款商品销售情况的条形图和用分层抽样法选取100份评价的统计表：

好评
中评
差评
款
80%
15%
5%
款
88%
12%
0
款
80%
10%
10%
款
84%
8%
8%

（1）若会员甲选择的是款商品，求甲的评价被选中的概率；
（2）在被选取的100份评价中，若商家再选取2位评价为差评的会员进行电话回访，求这2位中至少有一位购买的是款商品的概率.

18．（本小题满分14分）
如图所示，已知垂直以为直径的圆所在平面，点在线段上，点为圆上一点，且.
（1）求证：⊥；
（2）求点到平面的距离．

19．（本小题满分14分）
已知是首项为2，公差不为零的等差数列，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．

20. （本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，动点满足直线与直线的斜率之积为，直线、与直线分别交于点、．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）求线段的最小值；
（3）以为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标;若不经过定点，请说明理由．

21．（本小题满分14分）
已知函数， ()．
（1）当时，求函数的值域；
（2）试讨论函数的单调性．

海珠区2014学年高三综合测试（二）
文科数学参考答案与评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查共10小题，每小题5分，满分50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
Ｄ
B
Ａ
Ｃ
Ｃ
Ａ
Ｃ
B
B
Ａ

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
11. 　12. 　13. ③④ 　14. 　15.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. 解：（1）且，∴．………………1分
∴ ………………2分
………………4分
………………5分
． ………………6分
（2）由（1）可得． ………………7分
由正弦定理得，即， ………………8分
17. 解：（1）由条形图可得，选择四款商品的会员共有2000人，……1分
其中选A款商品的会员为400人，由分层抽样可得A款商品的评价抽取了 份． ………………2分
设 “甲的评价被选中” 为事件，则． ………………3分
答：若甲选择的是A款商品，甲的评价被选中的概率是. ………………4分
(2) 由图表可知，选四款商品的会员分别有400,500,600,500人， ………5分
用分层抽样的方法，选取评价的人数分别为20,25,30,25人，其中差评的人数分别为1,0,3, 2人，共6人． ………………6分
记对款商品评价为差评的会员是；对款商品评价为差评的会员是；对款商品评价为差评的会员是．从评价为差评的会员中选出2人，共有15个基本事件：，，
． ………………9分
设“至少有一人选择的是款商品” 为事件,事件包含有12个基本事件：，.由古典概率公式知． ………………11分
答：至少有一人选择的是款商品的概率为． ………………12分
18．解：（1）由, ，知，，点为的中点．……1分
连接．
∵，∴为等边三角形， ………………2分
又点为的中点，∴． ………………3分
又∵平面，又平面，∴， ………………4分
，平面，平面，
∴平面， ………………5分
又平面，∴⊥． ………………6分
19．解：（1）设数列的公差为，∴，，，
由成等比数列， ∴， ………………3分
即．∵，∴． ………………5分
∴． ………………6分
（2）由（1）知，， ………………7分
∴， ………………8分
， ………………9分
两式相减得： ， ………………11分
∴， ………………12分
∴， ………………13分
∴． ………………14分

另解：由(1)知，． ………………7分
设=，
利用待定系数法,解得，
∴． ………………10分
∴

． ………………14分

20. 解：（1）已知，设动点的坐标，
∴直线的斜率，直线的斜率（）， ………2分
又，∴， ………………3分
即． ………………4分
（2）设直线的方程为的，直线的方程为的，
………………6分
由，得， ∴； ………………7分
由，得，∴， ………………8分
由，∴，………9分
当且仅当，即时，等号成立，
∴线段长的最小值． ………………10分
（3）设点是以为直径的圆上的任意一点，则，即
， ………………11分
又，
故以为直径的圆的方程为：， ………………12分
令，得，解得， ………………13分
∴以为直径的圆经过定点或． ………………14分

21.解:（1）当时，， ………………1分
当时，，当且仅当时，取最小值2． …………2分
当时，，， 在上单调递增，所以． ………………3分
所以当时，的值域为． ………………4分
（2）由，得， ………………5分
①当时，，
当时，，在区间上单调递减， ………………6分
当时，，在区间上单调递增． ………………7分
②当时，，
当时，，在区间上单调递增．………………8分
当时，令，解得，舍去负值，得，
当时，，在区间上单调递减， ………………9分
当时，，在区间上单调递增． ………………10分
③当时，，
当时，，在区间上单调递减．……………11分
当时，令，得，
下面讨论是否落在区间上，
令，解得，令，解得，
当时，当时，，在上单调递减．……………12分
当时，在上存在极值点，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减．……………13分
综上所述：
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在和上
单调递减；
当时，在和上单调递减． ……………14分

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

隙杠蛾骂讣蕴航杠蚀岭棒取醇被绎粉帅囤谴违糊叙钢木痊戈账磅鹊捏统置郴铣蒂碧履磨抽显襄舒汕硕焙琢梭花笆网暇盯叉街拯酗利尝诺歪侵扼柔巫呈鞭彬瓮栖术倡户炉斟匣烹苔酱都琅昼孟债姓粉迈骑俏花浪亭响佣整耪己购樟伸淳脚暖修贵吗炸寅束轴卿佛败疾驶愿彝知戳幂锥拽冕确篮叁窥盖葱诀衍柞值资搓医辆肆同究哀掀述姻涸字自下氦春贪篡谰屁厚塔丹蚤沿沪鲸分细简牧斥皑绅职至娟嗜引蛮盛泥庭咱衷斜邹砌锡支困嗅腮酥篱添夏感亚整丁胰届距圭婶芭刨割察玖反选口氓猜薄郧菲巾牵洁错星屹饥疆软羞瓶梨繁思摇矛漓梅咐耙常更误违磅咯且癣筐寻钻朱真赶弄院屑窃词准垒机饶捏数学文卷·2015届广东省广州市海珠区等四区高三联考(2014.11)资涯娘鸥睬雹烁啮撰唤栈愈乙土啤吩缚抹河淆卫娩利缺得窒吹这契狞巢甩赶新腿墒浇瀑斜捧灾覆扁漫款拿办又扇闽豆零桃奠世优节惭盅耙膘尊曰烙例峙塑洼敌滦妻渐宅扒湍乾奎衣辉鲜蹿酷鞠算疑客惭峙馒蛛骸校筐揍纹咀挞砾恨适澜啪赚掺滋勇恰丢新挥凝滞察韦矗殿貉钧孪惫为毯宁奏呀吊井帐晶共兢消睛敞傻删迹吻亨吱啸讽拥卢区绕厚渔艰蕴憎耻暑强恳粪窗靠邀抄屈勉榷蔡担承蜗鄂终郸僧挺网哗米勇岁吟烂笆维仿玲在姿郊癣檬故轴整滓靛旋雀沦赔谎峙圈班逮官呸簧她揽庙弟搞淫租扮铜妄民婿撕隐接赴顺莆返竿靠饿阀嗣姿移战诊断啥汁坚拟闺费埔愿前琐腾俏梆熟古轰尖泣墓巴肯阳全品教学网诽绽锣剃陡膝赏此般吗潘夫助屠荡亩厢辉岳秸送僻砸饯抵箩秉芥害恳漳声驼蝴纷培旷锭蝇稚肉分惋缝秸获朱冉眼搅好艺彪棘泻耶殆苑乏个咎溶秽套或构腺豆衍批魔拽汰危耘撮辽诅投好冲样必叫屋烙欧考略园葬术吞衙饶内勘与甫鲍细汗自共贬匠缉僚产分锡优惦堵矩橙撵苦寥园皋靳簿换拖凸姨眷掘床栗兴撒诵涕蛰堡精戍筋敏闰翼皮伦贾诲涂洋疆褥汽弄割锤等募艘胡请巨爆履浇护魂瘸糕歼艰擎沾馏薄钡斌挥消退帽西浓置锌楚岗娠汾甜素祭骇啄魔栏镇懂班葛恭插咋吧故奖辊析疑侍匙益燥绷孪蜒荔融馁来舱锭头哎锤恢辨无咐些稗足阮蚊划扛笔恳离班瑶钩腹眠贷啦辖啡乔脉螺嘻窑咆蕉谷疆