2015届高考理科数学课时拓展检测试题74.doc

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1．已知圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥体积为(　　)
A. B.π C. D.π
解：易知圆锥的底面直径为2，母线长为2，则该圆锥的高为＝，因此其体积是π·12×＝.故选C.
2．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体对角线的长是(　　)
A．2 B．3 C．6 D.
解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有ab＝，ac＝，bc＝，解得a＝1，b＝，c＝，则长方体的体对角线的长l＝＝.故选D.
3．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．2π＋2 B．4π＋2
C．2π＋ D．4π＋
解：该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，正四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为×()2×＝.所以该几何体的体积为2π＋.故选C.
4．将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，得到四面体A­BCD，则四面体A­BCD的外接球的表面积为(　　)
A．25π B．50π C．5π D．10π
解：由题设知AC为外接球的直径，∴2R＝＝5，S表＝4πR2＝4π×＝25π.故选A.
5．设M，N是球O半径OP上的两点，且NP＝MN＝OM，分别过N，M，O作垂直于OP的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为(　　)
A．3∶5∶6 B．3∶6∶8
C．5∶7∶9 D．5∶8∶9
解：设球的半径为R，以N，M为圆心的圆的半径分别为r1，r2.由题知M，N是OP的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方比，在球的轴截面图中求得r＝R2－2＝，r＝R2－2＝，故三个圆的半径的平方比为∶∶R2＝5∶8∶9 ，故选D.
6．()已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　)
A. B. C. D.
解法一：△ABC的外接圆的半径r＝，点O到面ABC的距离d＝＝，SC为球O的直径⇒点S到面ABC的距离为2d＝.故此棱锥的体积为V＝S△ABC×2d＝××＝.

解法二：V<S△ABC×2R＝，排除B，C，D，故选A.
7．已知某几何体的三视图如图所示，其中侧(左)视图是等腰直角三角形，正(主)视图是直角三角形，俯视图ABCD是直角梯形，则此几何体的体积为_____________．

解：由三视图知，该几何体为底面是直角梯形，有一侧棱垂直底面的四棱锥，此几何体的体积为×(2＋4)×2××2＝4.故填4.
8．()如图，在三棱柱A1B1C1­ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F­ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1­ABC的体积为V2，则V1∶V2＝____________．

解：设该三棱柱的高为h，则V1＝S△ADE＝×S△ABC×＝V2，故V1∶V2＝1∶24.故填1∶24.
9．如图所示，球面上有四个点P，A，B，C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的表面积．

解：∵PA，PB，PC两两互相垂直，
且PA＝PB＝PC＝a，
∴可作一正方体以P，A，B，C为顶点，此时正方体的外接球即为三棱锥P­ABC的外接球．
∴2R＝a，即R＝a.
∴S球＝4πR2＝4π×＝3πa2.
10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．

(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
解：由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥P­ABCD.
(1)V＝×(8×6)×4＝64.

(2)该四棱锥有两个侧面PAD，PBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h1＝＝4，
另两个侧面PAB，PCD也是全等的等腰三角形，
AB边上的高为h2＝＝5，
因此S＝2＝40＋24.
11．一个圆锥的底面半径为R＝2，高为H＝6，在这个圆锥内部有一个高为x的内接圆柱．当x为何值时，圆柱的表面积最大？最大值是多少？
解：如图是圆锥的轴截面，设圆柱的底面半径为r，

则＝，解得r＝R－x＝2－x.
∴圆柱的表面积
S＝2π＋2πx
＝2π.
∴S是x的二次函数，且开口向下．
∴当x＝时，S取得最大值9π.
()一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有(　　)

A．V1<V2<V4<V3 B．V1<V3<V2<V4
C．V2<V1<V3<V4 D．V2<V3<V1<V4
解：由已知条件及三视图可知，该几何体从上到下依次是圆台，圆柱，正方体，棱台，则V1＝×1×(π＋＋4π)＝，V2＝π×12×2＝2π，V3＝23＝8，V4＝×1×＝.综上可知，V2<V1<V3<V4.故选C.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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