高三理科数学第一轮专题检测训练7.doc

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(推荐时间：60分钟)
1． 已知椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在x轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线y2＝8x的焦点，M的离心率e＝，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交M于A，B两点．
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设点N(t,0)是一个动点，且(＋)⊥，求实数t的取值范围．
解　(1)由题知a＝2，又e＝，所以c＝1，b＝.
所以椭圆M的标准方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设l：x＝my＋1(m∈R，m≠0)，
⇒(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.
则y1＋y2＝－， ①
(＋)⊥⇒||＝||⇒(x1－t)2＋y＝(x2－t)2＋y⇒(x1－x2)(x1＋x2－2t)＋(y－y)＝0，
将x1＝my1＋1，x2＝my2＋1代入上式整理得：
(y1－y2)[ (m2＋1)(y1＋y2)＋m(2－2t)]＝0，
由y1≠y2知(m2＋1)(y1＋y2)＋m(2－2t)＝0，
将①代入得t＝，
所以实数t∈.
2． 已知函数f(x)＝ax＋ln x，g(x)＝ex.
(1)当a≤0时，求f(x)的单调区间；
(2)若不等式g(x)<有解，求实数m的取值范围．
解　(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝a＋(x>0)，
1°当a＝0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
2°当a<0时，由f′(x)＝0，解得x＝－，
则当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
综上所述：当a＝0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
当a<0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)由题意：ex<有解，即ex<x－m有解，
因此只需m<x－ex，x∈(0，＋∞)有解即可，
设h(x)＝x－ex，h′(x)＝1－ex－
＝1－ex，
因为＋≥2＝>1，且x∈(0，＋∞)时ex>1，
所以1－ex<0，即h′(x)<0.
故h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴h(x)<h(0)＝0，故m<0.
3． 已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2(f′(x)是f(x)的导数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；
(3)求证：×××…×<(n≥2，n∈N*)．
解　(1)当a＝－1时，f′(x)＝(x>0)
解f′(x)>0得x∈(1，＋∞)；解f′(x)<0得x∈(0,1)．
f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)．
(2)∵f′(x)＝(x>0)，
∴f′(2)＝－＝1得a＝－2，f(x)＝－2ln x＋2x－3，
g(x)＝x3＋x2－2x，
∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g′(0)＝－2，
∴.
由题意知：对于任意的t∈[1,2]，g′(t)<0恒成立，
∴，∴－<m<－9.
(3)证明如下：由(1)可知
当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)，即－ln x＋x－1>0，
∴0<ln x<x－1对一切x∈(1，＋∞)成立．
∵n≥2，n∈N*，则有0<ln n<n－1，
∴0<<.
∴···…·<···…·＝(n≥2，n∈N*)．
4． 已知F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，且离心率e＝，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2的内切圆面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共线，且·＝0，求||＋||的取值范围．
解　(1)由几何性质可知：
当△PF1F2内切圆面积取最大值时，
即S△PF1F2取最大值，且(S△PF1F2)max＝·2c·b＝bc.
由πr2＝π得r＝.
又C△PF1F2＝2a＋2c为定值，S△PF1F2＝C△PF1F2，
综上得＝；
又由e＝＝，可得a＝2c，即b＝c，
解得c＝2，b＝2，a＝4，
故椭圆方程为＋＝1.
(2)①当直线AC与BD中有一条直线垂直于x轴时，
||＋||＝6＋8＝14.
②当直线AC斜率存在但不为0时，
设AC的方程为：y＝k(x＋2)，
由
消去y可得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0，
x1＋x2＝，x1x2＝.
代入弦长公式得：||＝|AC|
＝＝，
同理由
消去y可得x2＋x＋－48＝0，
代入弦长公式得：||＝，
所以||＋||＝
＝
令＝t∈(0,1)，则－t2＋t＋12∈，
所以||＋||∈，
由①②可知，||＋||的取值范围是.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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