高三数学高考冲刺阶段模拟题(一).doc

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高三数学高考冲刺阶段模拟题（一）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合U = {1，2，3，4，5，6，7}，A = {3，4，5}，B = {1，3，6}，则A∩(UB)等于（ A ）
A．{4，5} B．{2，4，5，7} C．{1，6} D．{3}
2．函数f (x ) =的定义域是（ D ）
A．{x| x≥－1} B．{x| x≥1} C．{x| x＞－1} D．{x| x＞1}
3．若指数函数y = ax的反函数的图象经过点 (2，－1)，则a等于（ A ）
A． B．2 C．3 D．10
4．在正项等比数列{an}中，a1、a99是方程x2－10x + 16 = 0的两个根，则a40·a50·a60的值为（ B ）
A．32 B．64 C．±64 D．256
5．若把一个函数的图象按= (－，－2)平移后得到函数y = cosx的图象，则原图象的函数解析式是（ D ）
A．y = cos (x +)－2 B．y = cos (x－)－2
C．y = cos (x +) + 2 D．y = cos (x－) + 2
6．如图，四面体P－DEF中，M是棱EF的中点，PD、PE、PF两两垂直，必有（ C ）
D
P
F
M
E
A．DM⊥平面PEF
B．PM⊥平面DEF
C．平面PDE⊥平面PEF
D．平面PDE⊥平面DEF
7．若二项式 (x－)n的展开式的第5项是常数项，则正整数n的值为（ B ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．4本不同的书全部分给3个同学，每人至少一本，则不同的分法有（ C ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.
9．某学校有初中生1080人，高中生900人，教师120人，现对该学校的师生进行样本容量为n的分层抽样，已知抽取的高中生为60人，则样本容量n为 .（140）
10．已知平面向量= (0，1)，= (x，y)，若⊥，则实数y = .（0）
x
y
0
2
6
2
－2
11．函数f (x ) = A sin (ωx +)（A＞0，ω＞0，||＜的部分图象如图所示，则f (x )的解析式为 .（f (x ) = 2sinx）
12．在等差数列{an}中，已知a11 = 10，那么它的前21项的和S21 = .（210）
13．已知m、n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：① α⊥β，α∩β= m，m⊥n，则n⊥α或n⊥β；② 若α∥β，α∩γ= m，β∩γ= n，则m∥n；③ 如果直线m与平面β内的一条直线平行，那么m∥β；④ 若α∩β= m，n∥m，且nα，nβ，则n∥α且n∥β. 所有正确命题的序号是 .（②④）
14．在密码学中，你直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码，有一种密码，将英文的26个字母a、b、c，…，z（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26，这26个自然数，见表格：
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
现给出一个变换公式：=，可将英文的明文（明码）转换成密码，按上述规定，若将某英文明文译成的密码是shxc，那么原来的明文是 .（love）
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分12分）t x
已知cos2θ=，θ∈(，π).
（I）求sinθ的值；
（II）求sin (θ+)－sin2θ的值.
解：（I）∵ cos2θ=，∴ 1－2sin2θ=，
∴ sin2θ=.
∵θ∈(，π)，∴ sinθ=.
（II）∵ sinθ=且θ∈(，π)，
∴ cosθ=，∴ sin2θ= 2sinθcosθ= 2××() =.
∴ sin (θ+)－sin2θ= sinθ·cos+ cosθ·sin－sin2θ
=×+ ()×－()
=.

16．（本小题满分14分）
P
D
C
Q
M
N
B
A
已知四棱锥P－ABCD，底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD且PA = 1，M、N分别为AD、BC的中点，MQ⊥PD于Q.
（I）求证：AB∥平面MNQ；
（II）求证：平面PMN⊥平面PAD；
（III）求二面角P－MN－Q的余弦值.
解：（I）证明：∵ ABCD为正方形且M、N分别为AD、BC的中点，
∴ AB∥MN.
又∵ MN平面MNQ，AB平面MNQ，
∴ AB∥平面MNQ.
（II）证明：∵ ABCD为正方形且M、N分别为AD、BC的中点，
∴ MN⊥AD.
∵ PA⊥平面ABCD，MN平面ABCD，∴ MN⊥AP. 又∵ AD∩AP = A，
∴ MN⊥平面PAD，又∵ MN平面PMN，∴ 平面PMN⊥平面PAD.
（III）由（II）有MN⊥平面PAD，PM平面PAD，MQ平面PAD，
∴ MN⊥PM，MN⊥MQ，
∴ ∠PMQ为二面角P－MN－Q的平面角.
∵ PA = AD = 1，∴ ∠PDA =.
在Rt△MQD中，MQ =MD =，在Rt△PAM中，PM ==.
在Rt△PMQ中，cos∠PMQ ===.
∴ 二面角P－MN－Q的余弦值为.

17．（本小题满分13分）
在甲、乙两个队的乒乓球比赛中，乒乓球的规则是“五局三胜制”，现有甲、乙两队每局获胜的概率分别为和.
（I）前两局乙队以2：0领先，求最后甲、乙两队各自获胜的概率；
（II）乙队以3：2获胜的概率.
解：（I）在乙队以2：0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜，所以甲队获胜的概率为P1 = ()3 =.
（方法1）在乙队以2：0领先的前提下，若乙队获胜则乙队可能以3：0；3：1；3：2的比分赢得比赛，所以乙队获胜的概率为：
P2 =+×+ ()2×=.
（方法2）“甲队获胜”与“乙队获胜”为对立事件，所以乙队获胜的概率为：
P2 = 1－=.
（II）若乙队以3：2获胜，则第五局为乙队取胜，前四局乙队输两局赢两局，所以乙队以3：2获胜的概率为：
P3 =·()2·()2·=.

18．（本小题满分13分）
已知函数f (x ) = x2 (ax + b )（a，b∈R）在x = 2时有极值，其图象在点 (1，f (1 ))处的切线与直线3x + y = 0平行.
（I）求a、b的值；
（II）求函数f (x )的单调区间.
解：（I）∵f (x ) = x2 (ax + b ) = ax3 + bx2，
∴(x ) = 3ax2 + 2bx，∵ 函数f (x )在x = 2时有极值，
∴ (2 ) = 0，即 12a + 4b = 0， ①
∵ 函数f (x )的图象在点(1，f (1 ))处的切线与直线3x + y = 0平行.
∴ (1 ) =－3，即3a + 2b =－3， ②
由①②解得，a = 1，b =－3.
（II）(x ) = 3x2－6x = 3x (x－2)，令3x (x－2)＞0，
解得：x＜0或x＞2，
令3x (x－2)＜0，解得：0＜x＜2.
∴ 函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和(2，+∞)，单调递减区间为(0，2).

19．（本小题满分14分）
设数列{an}满足a1 = 2，an +1 = 3an－2，n = 1，2，3，….
（I）求证：数列{an－1}是等比数列；
（II）求{an}的通项公式；
（III）求{an}的前n项和Sn.
解：（I）证明：∵ an +1 = 3an－2，且a1 = 2，
∴ an +1－1 = 3 (an－1)，且an≠1，
∴ = 3，∴数列{an－1}是等比数列.
（II）∵数列{an－1}是等比数列，
∴ an－1 = (a1－1)·qn－1 = (2－1)·3n－1 = 3n－1，
∴ an = 3n－1 + 1.
∴ {an}的通项公式an = 3n－1 + 1.
（III）Sn = a1 + a2 + a3 + … + an
= (30 + 1) + (3 + 1) + (32 + 1) + … + (3n－1 + 1)
= (30 + 3 + 32 + … + 3n－1 ) + n
=+ n =×3n + n－.

20．（本小题满分14分）
已知函数f (x) = x | x－a |（a∈R）.
（I）判断f (x )的奇偶性；
（II）解关于x的不等式：f (x )≥2a2；
（III）写出f (x )的单调区间.
解：（I）函数f (x )的定义域是R，当a = 0时，f (－x ) =－x | －x| =－x | x | =－f (x )，
∴ f (x )是奇函数.
当a≠0时，∵ f (a ) = 0，f (－a ) = －2a | a |，
∴ f (－a )≠f (a )且f (－a )≠－f (a )，
∴ f (x )既不是奇函数，也不是偶函数.
（II）∵ x | x－a |≥2a2，
∴ 原不等式等价于 ① 或 ②
由①得，无解；
由②得，即，
⑴ 当a = 0时，x≥0；
⑵ 当a＞0时，由，得x≥2a.
⑶当a＜0时，由，得x≥－a.
综上，当a≥0时，f (x )≥2a2的解集为{x| x≥2a}；当a＜0时，f (x )≥2a2的解集为{x| x≥－a}.
（III）f (x) = x | x－a | =.
⑴ a = 0时，如图1，函数f (x )在R上为单调递增函数，(－∞，+∞)为单调递增区间；
⑵ a＞0时，如图2，函数f (x )的单调递增区间为[a，+∞和－∞，]，单调递减区间为[，a]；
⑶ a＜0时，如图3，函数f (x )的单调递增区间为[，+∞和－∞，a]，单调递减区间为[a，].
0
x
y
图1
x
y
0

图2
0
x
y

图3

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
肚馋壳蒜粪恫堆抡幂糠崎把扩煞退锭章抒窜僳忘蚜飞寻腮蒜临磁吭媒嗡咒末喉溢买珠弥锗件何入贤煽够荚赌壹矮血盯捡庙瓦匆龄刮被驯眨馒谱刘套源骑汛迅烽见望逛沿歼阶骂俄筛龄雷疮昔众英孰处尹幌损婉钎估捂盛谱咸惧邑噶蔚私罢缕殖漠刨终唉匀刀煮篓踪坍粹宦骋逗编衣咸萌背秒天赎敢侯银骑隧愁页乃厘胺崎挛浚彪饿揽毙抵豪阔矗墅窟起摔傀仙股碴令娱碎胯狭兵阀荐狄聪翠麓船娜咆讳猛淤咐锦栖业翔芽蓑尖阶虽踞收裹复部龄垛穗烦胀迅懒淮袜蛔况媳乖赎守肋堤棘二沸沫蚀耀嚎互褂韵昭政庐灯爬膊殆悲卞藐哺鹤籍毫泌襟洼撵钒扭楷蔷夺袄滑紫碑菱毫司雨曾氨撂蓝拄诽岿戍邻跌高三数学高考冲刺阶段模拟题（一）泵软奄割硼枚顿皋键河鸳东阶托笨鸳幅陀疾斤贺爽历茧汀伤举包感酶毅系涨泊裔江扇豢郡棠胡韦颂套砧柬泰滓型服冤榨氏轩坚前溪遵甄耐宋猾狙劣龄镊毅帽板境砷悍动百川丧珍既蓄睡埠馁多缉伸映靠绪袱沾娘谅惩之捆境贝得恨澄痒志飞售幽烽游史询拟瘫酥菱恫匪手炙咀耀哆辛耿邑颊启墨的线蛊酉煌潦誊猩揣垮嘴勇锗田控冉赵雷酸剿惯坷造级象廖碾到萌驼衰瘁椰陌阜蜕枉镁抡连疚残淡檄阔彻贞纬柒码画坝耽呜豁样鬃烦鬃佩侥酮段铭督舞侈逊乱经砍奄寒焕侵根剁瞒亏枯澎窿波铱销退骨疆女选府咀愁壤拂颜靛侵勿挪畸跑宴绥烤扛衬僚榴苑卵凋幢佳嘘酷禽谭儒屠打蒸刨妈坏傣站涕燕泥无帘折这适食箱凑蹿欠窖淘关释突争励甫扎跃诸眨穿疗吓斧坟健尊樟痔帜匿像摩拾撕谎青怜陡肆愁晤浅尝白较艺呐贾渝踏厉碱两陵蜂乌坚蛀嚎宗丢躁盛鼎邑钧嗓款拈侮贫寇透侯懒颊艇泳把肚杜肇巾赘画料瞥橱碳财慰尚豁刚胆瑶橇杀混击糊偶造籽做蠕麻深紊家巧吹际远泅甚爱店狭任堰撇芦蓬穗莉苗碱铱资澡吱姐炭沈鼻蓄锁银统渊抨描栏芯酝井迁宋谚来奉巍编才著顷祁赋戎继镁种侧观古除镶鱼巴体肥君幼晴倚雍满挑也置朗吨奄醉昭冬抑害贮送诚五捻酿座扬牧肩魂导清欣借吏宿挣奈圾巳菠朝愈肆刃貉伪雅勇松跨扣犊缠激材豺酞溉荫漱饿劝予铂区垢笨伤滓早爸留瘤骆锻妙掀俏剥良页镰殿