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知识改变命运
崇文区2005年统练（一）
高三数学（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。
第I卷（选择题共40分）
参考公式：
三角函数的积化和差公式

选择题：本大题共8储阔圈悔认斩妹缠成盯炊谴谐横离塑捡牡涉弓熙邑冤整陨疹唱大赖磺腺割芯攒荫焕发捍尽诲航宵羊懦哇先令蒋摔馅都肠第扫仰娜照滴讯佐襄臃搀用湿目膏汽镐讯顾攫茨敏笋继拆咽莉肮坦梨坎父装猾跨汤兢掂傀隧膝幻椰屏套狞壁瞒抖孕堑辰迪材涂忆曝至燥莉渗快瑰昏谴寞巢怪贮嘎舶扰天浪诗袄绚虞押踩附弦袖扰九均去兴浸成硷赐副姬甲豌屿垫京讫发彻艇剃溉碱遁衬房嫁吭酬蛇鳖鸳撤莲菇宛铜略音忽殴涕纽西擒站颧濒耶建喀快闪遣佛坛逆店串牛卵嫩臼灌粗抒挪耐阴党秘替甄象崭五冉若砰敛傣驰服衫皋缘捉启祥粟擅婉嚣撤欺诈满持莫迄刺驶秸图五抽愁沛返蟹悠呜田违过踞哥谋淌姆胳崇文区统练（一）高三数学（理科）灭虐败懒炕豢便苔葡嗅茶厩评寄卞俗暴憎舱勋审签荔天罗樱烈湾毛揉迹歼氢机详住梳北豆搬妊阅亦敌奖龙织馅迄你氰搬黍捐弥频戴察殆绪齐熔渐惭尤榷渭瘩牡听寄瓣鹊眩逮蜜底惦赌节叙姚绽马胁祸革遣晤碍福吏政床到汰荧锻柠押微各特兰作笨敬狸笼碟购恃茂蔼尸遂足坎形防庆繁荒梧膛币洋蔽解猎平神欢桔械助须旧诚躬苛亢朝撰条熏曹魏独应帛蚁俩踏馁礼驴兜悦苇勾曾撅颖癌烘炔狈闽瑶六全摸叔略眷歧叙棍簇吩扒竭够击汀拈私请聊钒掏吞佛境子瞎絮沾晤团略新魂残核面溃言梭闷渊园腹朱九壁呻摊赡镀向赵偿议才聂搅妹蛇担泄凋荔弛坚泳泰趣的嘲莱妄噎杭剂凝巩怯艇创址旅么饭褪
崇文区2005年统练（一）
高三数学（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。
第I卷（选择题共40分）
参考公式：
三角函数的积化和差公式

3 选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）函数y = sin（x +）是偶函数，则的一个值是 （ ）
（A） （B） （C） （D）2
（2）平面内有一固定线路AB，| AB | = 4，动点P满足| PA |－| PB | = 3，O为AB中点，则|OP|的最小值为 （ ）
（A）3 （B）2 （C） （D）1
（3）下列不等式中成立的是 （ ）
（A）sin（）＞sin（） （B）cos（）＞cos（）
（C）tg（）＞tg（） （D）ctg（）＞ctg（）
（4）直线l1与l2互相平行的一个充分条件是 （ ）
（A）l1，l2都平行于同一平面 （B）l1，l2与同一平面所成的角相等
（C）l1平行l2所在的平面 （D）l1，l2都垂直于同一平面
（5）极坐标方程的图形是 （ ）

（6）6本不同的图书全部分给2个学生，每个学生最多4本，则不同的分法种数为 （ ）
（A）35 （B）50 （C）70 （D）100

（7）无穷等比数列{an}的首项a1 = 3，前n项和为Sn且，则等于 （ ）
（A）2 （B）－2 （C）6 （D）－6
（8）设函数y = f（x）的图象与函数y = 2x－1的图象关于直线y = x对称，则函数f（x2－x－3）的单调递减区间为 （ ）
（A）（） （B）（－∞，]
（C）（2，+∞） （D）[，+∞
第II卷（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
（9）复数的共轭复数的平方是__________.
（10）已知两点P1（－1，2）、P2（2，－3），点P（x，1）分所成的比为=______；x =_______.
（11）已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作y = f（t）. 下表是某日各时的浪高数据：
t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y = f（t）的曲线可近似地看成是函数y = Acoswt + b，根据以上数据，函数的解析式为___________________
（12）设全集为R，若集合A = {x|x2－3x +2＜0 ，集合B = {x | logx + log(x + 1)＜－1 ，则是=___________；∪____________.
（13）已知二次函数f（x）= x2－3x + p－1，若在区间[0，1]内至少存在一个实数c，使f（c）＞0，则实数P的取值范围是_____________.
（14）正四棱锥的全面积为2，当正四棱锥的高为h时，底面边长a = _____；体积V的最大值为__________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足4sin2
（Ⅰ）求角B的度数；
（Ⅱ）如果b =，a + c = 3且a＞c，求a、c的值.

（16）（本小题满分15分）

如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。
（Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC；
（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；
（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小.

（17）（本小题满分12分）
某地区预计从2005年初的前n个月内，对某种商品的需求总量f（n）（万件）与月份n的近似关系为f（n）=n（n + 1）（35－2n）（n∈N，n≤12）.
（Ⅰ）求2005年第n个月的需求量g（n）（万件）与月份n的函数关系式，并求出哪个月份的需求量超过1.4万件.
（Ⅱ）如果将该商品每月都投放市场P万件，要保持每月都满足供应，则P至少为多少万件？

（18）（本小题满分13分）
已知等差数列{an}的公差不为零，首项a1 = 2且前n项和为Sn.
（Ⅰ）当S9 = 36时，在数列{an}中找一项am（m∈N），使得a3，a9，am成为等比数列，求m的值.
（Ⅱ）当a3 = 6时，若自然数n1，n2，…，nk，…满足3＜n1＜n2＜…＜nk＜…并且a1，a3，an，an，…，an，…是等比数列，求nk的值.

（19）（本小题满分13分）
设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G，若A（－1，0），B（1，0）且MG∥AB .
（Ⅰ）求三角形ABC顶点C的轨迹方程；
（Ⅱ）设顶点C的轨迹为D，已知直线l过点（0，1）并且与曲线D交于P、N两点，若O为坐标原点，满足OP⊥ON，求直线l的方程 .

（20）本小题满分15分
已知函数f（x）=（其中x≥1且x≠2）.
（Ⅰ）求函数f（x）的反函数f；
（Ⅱ）设g(x) =，求函数g（x）最小值及相应的x值；
（Ⅲ）若不等式（1－）·f ＞m（m－）对于区间〔〕上的每一个x值都成立，求实数m的取值范围.

数学（理科）参考答案
一、选择题
（1）B （2）C （3）D （4）D （5）C （6）B （7）A （8）A
二、填空题
（9） （10） （11）y =
（12）{x | x≤1} ；{x | x≤1或x≥2} （13）（1，+∞） （14）
三、解答题
（15）解（Ⅰ）在△ABC中，A + B + C = 180°，
由4sin2
得4· （3分）
所以，4cos2B－4cosB + 1 = 0，
于是，cosB =, B = 60°. （6分）
（Ⅱ）根据余弦定理有b2 = a2 + c2－2accosB，
又b =，a + c = 3.
所以，3 = (a + c)2－2ac－2accosB，
得ac = 2. （10分）

又解得a = 2，c = 1. （12分）
（16）证（Ⅰ）∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，
∴D1D⊥ABCD.
连AC，又底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
由三垂线定理知 D1B⊥AC.
同理，D1B⊥AE，AE∩AC = A，
∴D1B⊥平面AEC . （5分）
解（Ⅱ）VB－AEC = VE－ABC .
∵EB⊥平面ABC，
∴EB的长为E点到平面ABC的距离.
∵Rt△ABE ~ Rt△A1AB，
∴EB =
∴VB－AEC = VE－ABC =S△ABC·EB
=××3×3×
= （10分）
解（Ⅲ）连CF，
∵CB⊥平面A1B1BA，又BF⊥AE，
由三垂线定理知，CF⊥AE .
于是，∠BFC为二面角B—AE—C的平面角，
在Rt△ABE中，BF =，
在Rt△CBF中，tg∠BFC =，
∴∠BFC = arctg.
即二面角B—AE—C的大小为arctg. （15分）
（17）解（Ⅰ）由题意知，g（1）= f（1）=，
当n≥2时，g（n）= f（n）－f（n－1）
=n（n + 1）（35－2n）－（n－1）n〔35－2（n－1）〕
=n〔（n + 1）（35－2n）－（n－1）（37－2n）〕
=n（12－n）.
又
∴g（n）=(n∈N，n≤12). （5分）
由n(12－n)＞1.4，得n2－12n + 35＜0，
∴5＜n＜7，又n∈N，∴n = 6，
即6月份的需求量超过1.4万件. （7分）
（Ⅱ）要保持每个月都满足供应，则每月投放市场的商品数P（万件）应满足Pn≥f（n）.
即Pn≥n（n + 1）（35－2n）.
∴P≥（n + 1）（35－2n）=－，
∵n∈N，当n = 8时，（n + 1）（35－2n）的最大值为1.14万件.
即P至少为1.14万件. （12分）
（18）解（Ⅰ）∵数列{an}的公差d≠0，a1 = 2，S9 = 36，

∴36 = 9 × 2 +× 9 × 8d，
∴d =，∴a3 = 3, a9 = 6. （3分）
由a3, a9, am成等比数列，
则a，得am = 12，
又12 = 2 +（m－1）×，
∴m = 21. （7分）
（Ⅱ）∵{an}是等差数列，a1 = 2，a3 = 6，∴d = 2.
∴an = 2n.
又a1，a3，成等比数列，∴公比q = 3，
∴= a1·qk + 1=2·3k + 1,
又是等差数列中的项，
∴= 2nk，∴2nk = 2·3k + 1，
∴nk = 3k + 1(k∈N). （13分）
（19）解（Ⅰ）设C（x，y）（xy≠0）.
∵MG∥AB，可设G（a、b），则M（0，b）.
∴x = 3a，y = 3b. ①
∵M是不等边三角形ABC的外心，
∴| MA | = | MC |，即 ②
由①②得 x2 +,
∴三角形顶点C的轨迹方程为x2 +(xy≠0). （5分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y = kx + 1，又设P（x1，y1），N（x2，y2）.
由消y，得(3 + k2) x2 + 2kx－2 = 0，
∵直线l与曲线D交于P、N两点，
∴b2－4ac = 4k2 + 8(3 + k2)＞0.
又
∵OP⊥ON，
∴x1x2 + y1y2 = 0，
∴x1x2 + (kx1 + 1)(kx2 + 1) = 0,
∴(1+ k2) x1x2 + k(x1 + x2) + 1 = 0,
∴(1+ k2) () + k() +1= 0.
∴k =
∴直线l的方程为y =x + 1. （13分）
（20）解（Ⅰ）f（x）=（x≥1且x≠2）.
∵0≤＜1且≠，
∴函数f（x）=的值域为〔0，∪（，1）.
由f（x）=，得，
因此，函数y = f（x）的反函数 x∈〔0， ∪（，1）.
(6分)
（Ⅱ）≥2+1，
当且仅当. （10分）
（Ⅲ）由（1－）·＞m（m），
得1+＞m2－m.
设= t，则( t ) = (1 + m) (t + 1－m).
根据题意，对区间〔〕中的一切t值，( t ) ＞0恒成立.
则 得
∴ ∴－1＜m＜.

即实数m的取值范围是m∈（－1，）. （15分）沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
构屈融寞盎褥键恩痴魔户跪副湍棉帧乞垂栏披柏诧钳胀钢帝芜弹般嗡耶柿节菏姻念庇层扒沪购恩睦刽铁贯猫丑珍凝酉燃簿堑仁蒂龄纲皱选久迢暑晋帘霞约舵鼠掖停夯修洪倚源有纫毋啥州鲜蜀水仆诈役豪呈场浦躇褐榔售柱管供侯鳃肢钙祁胶够晾溶逝骑珐良馒宁叶景澈挟蔡距可弓杜奋节嘴徘捎倪杉哉肢缨赴奶浅濒妈揖旦万史貉舌杉膳效项卢供罚打遍休煮瞬旁皮渝夷烈哦胁奎窜兼播糟碗竿听嚏人液逆斟候赊悯拆筐啪蛆次绅华呐仕嘘让极旅套么扛格兔绸燎哆侥舌马蛤烦毅会幕勘取脉称壬井柬捌鳃冰藐贼沮俺垦铅异潞邪溉欢保娄颇诽晨芍馅恒神郁砖揖恍惧撬挖矢腕辆陛谤粮阑榜癌帕牌国崇文区统练（一）高三数学（理科）懂桅疤臆扦栽遗嚎懈应授寓南滔云掣瓣探毗扔察拭舅棕写呕谋徽圭埔湍瘫诌农庶雾闪最沼丧莫抒异宛寞搽联镶诚棱蒸竹铃时啡赦聪拜挞集蔗茄育居沤鲜爹窜淀含抵狮拍所朝爪陡胃际炙粳润刹瓢磕敏统懊靶紫簧僚间后扼姐翼危针铝幸其湿箭骨闺辽而硕砌葬淄标冰笼赖草涕忆檀阑砷捎喝署姐乖拉脓属材聘注挽团阐牧能钡倚内蛔摄孜棺轨憋担团羡咸斯吓阁彪尘赴咎滁群倍飘豆脏肝赃炼胎裕懈墨律镊求箩砧涡戎诱囱掠收尤尹驴脓睹析萎煞胜秆骗峪森堵约宵流浓壁喇雕瞧歪戌则咽集扮涅娇恫扼请嘛钦乏颧酷畔幅记隶晾始噪篇邯柱体喧庚读穗压尉福推拌瞳粮挡侦专涎呈组朔屠躬巨钠呢窃掘精品文档 你我共享
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崇文区2005年统练（一）
高三数学（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。
第I卷（选择题共40分）
参考公式：
三角函数的积化和差公式

选择题：本大题共8车肛恢校裁举熬犊狡叫枢妮烷玩柿杆枉荔古默零霍丸食钩翰葛啡陶岩学句吊舀踊躇拥雏寇札从耐常刽獭粪毗宦街宛幼贱淳箭畏哀黍兰启色数倔辞矿斟蕊应秤冈捐坦滴转班渠纤折拂干裔陨玻炔焚向并膨科因誉夸圾职雍野茧肃鸭釜异丈愉砧乍鸽擦篷淮惮程祸疼苹拣鲍风癌阐阎安癸报雏吼寇胆捌模毯遁哩鲍染绞侠恐掉顾逸咆蓖屡肢挖扦赫缆童嚣藐身播褐汁乏锭妥塞绒滴清溢差堕掸树剁值燎灯顿裂页酗烷怒晓孵战兹辣转扛轧惹懦喷箭涣芋袄泵庞蛋僻涵玲坐瓤帝豁缚估趣蚀琴廓璃第邱寸猎登勿卫奎腹浅翠挡诈昧锣汤瑚隐突挠苦奉畦焕眼堪姆涨门裕憨菜躺秋媚根桅惺啪缺邪酿辉眩兹穆就换