2015-2016学年高一数学下册知识点基础达标训练9.doc

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课时提能演练(八)/课后巩固作业(八)
（30分钟 50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.（2012·偃师高一检测）1 337与382的最大公约数是（ ）
（A）3 （B）382 （C）191 （D）201
2.利用秦九韶算法计算多项式
f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1，
当x=4时的值时，需要做乘法与加法的次数分别为（ ）
（A）6,6 （B）5,6 （C）5,5 （D）6,5
3.用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为（ ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
4.用秦九韶算法计算多项式f（x）=1+5x+10x2+10x3+5x4+x5在x=-2时，v3的值
为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.三个数72,120,168的最大公约数是______.
6.（易错题）用秦九韶算法求多项式f（x）=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6当x=-4时的值时，其中v1的值为_____.

三、解答题（每小题8分，共16分）
7.利用秦九韶算法求多项式
f（x）=3x6+12x5+8x4-3.5x3+7.2x2+5x-13
当x=6时的值，写出详细步骤.
8.（2012·平川高一检测）用辗转相除法求888与1 147的最大公约数.
【挑战能力】
（10分）已知n次多项式Pn（x）=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,如果在一种算法中，计算x0k（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法.
（1）计算P3（x0）的值需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算Pn（x0）的值需要多少次运算？
（2）若采取秦九韶算法：P0（x）=a0,Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1（k＝0，1，2，…，n－1），计算P3（x0）的值只需6次运算，那么计算Pn（x0）的值共需要多少次运算？
（3）若采取秦九韶算法，设ai=i+1，i=0，1，…，n，求P5（2）.（写出采用秦九韶算法的计算过程）

答案解析
1.【解析】选C.利用辗转相除法
1 337=3×382+191，
382=2×191,
故1 337与382的最大公约数为191.
2.【解析】选A.多项式变形为:
f（x）=（（（（（3x+4）x+5）x+6）x+7）x+8）x+1
可以看出需要做6次乘法和6次加法.
【变式训练】（2012·洛阳高一检测）利用秦九韶算法求多项式f（x）=7x3+3x2-5x+11当x=23的值时，在运算中下列哪个值用不到（ ）
（A）164 （B）3 767 （C）86 652 （D）85 169
【解析】选C.f（x）=（（7x+3）x-5）x+11,
v1=7×23+3=164,
v2=164×23-5=3 767,
v3=3 767×23+11=86 652,
所以f（23）=86 652.
3.【解析】选B.459-357=102,
357-102=255,
255-102=153,
153-102=51,
102-51=51，
所以459与357的最大公约数为51，共做减法5次，故选B.
4.【解题指南】所给的多项式写成关于x的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，得到要求的值.
【解析】选B.f（x）=1+5x+10x2+10x3+5x4+x5
=（x4+5x3+10x2+10x+5）x+1
=（（x3+5x2+10x+10）x+5）x+1
=（（（（x+5）x+10）x+10）x+5）x+1
∴在x=-2时，v3的值为（（x+5）x+10）x+10=2，故选B.
5.【解析】120=72×1+48,72=48×1+24,48=24×2,
168=24×7.
答案：24
6.【解析】由题意知
答案：-7
【误区警示】此题很容易把所求的v1写成v0的值而出现错误答案.
7.【解题指南】先把多项式改写，再利用秦九韶算法求解.
【解析】f（x）=（（（（（3x+12）x+8）x-3.5）x+7.2）x+5）x-13,
v0=3,
v1=v0×6+12=30,
v2=v1×6+8=188,
v3=v2×6-3.5=1 124.5,
v4=v3×6+7.2=6 754.2,
v5=v4×6+5=40 530.2,
v6=v5×6-13=243 168.2.
f（6）=243 168.2.
8.【解析】∵1 147=888×1+259,
888=259×3+111,
259=111×2+37,
111=37×3，
∴888与1 147的最大公约数是37.
【一题多解】此题也可以利用更相减损术来求：
1 147-888=259,
888-259=629,
629-259=370,
370-259=111,
259-111=148,
148-111=37,
111-37=74,
74-37=37.
所以888与1 147的最大公约数为37.
【方法技巧】辗转相除法和更相减损术的选择
辗转相除法和更相减损术都可以求两个正整数的最大公约数，针对不同的两数，选择运算少的是关键，当满足下列条件之一，选择辗转相除法：
（1）所给两数差值大；
（2）所给两数的差与较小的数比，差值较大.

【挑战能力】
【解析】一般的多项式f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可达到，加法最多n次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次.
（1）.
（2）2n.
（3）∵P0（x）=a0，Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1,
∴P0（2）=1，P1（2）=2P0（2）+2=4,
P2（2）=2P1（2）+3=11,
P3（2）=2P2（2）+4=26,P4（2）=2P3（2）+5=57,
P5（2）=2P4（2）+6=120.
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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