2015届高考数学第一轮基础巩固训练题36.doc

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第3讲　基本不等式

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2014·延安模拟)若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是
(　　)．
A．a＋b≥2　 B.＋＞
C.＋≥2　 D．a2＋b2＞2ab
解析　因为ab＞0，即＞0，＞0，所以＋≥2＝2.
答案　C
2．(2014·杭州一模)设a＞0，b＞0.若a＋b＝1，则＋的最小值是 (　　)．
A．2　 B.　
C．4　 D．8
解析　由题意＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时，取等号，所以最小值为4.
答案　C
3．(2013·金华十校模拟)已知a＞0，b＞0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是 (　　)．
A．3　 B．4　
C．5　 D．6
解析　由题意知：ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，
∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4.
答案　B
4．(2012·陕西卷)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则 (　　)．
A．a<v<　 B．v＝
C.<v<　 D．v＝
解析　设甲、乙两地之间的距离为s.
∵a<b，∴v＝＝＝<＝.
又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a.
答案　A
5．(2014·南昌模拟)已知函数y＝x－4＋(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝ (　　)．
A．－3　 B．2　
C．3　 D．8
解析　y＝x－4＋＝x＋1＋－5，由x＞－1，得x＋1＞0，＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.
答案　C
二、填空题
6．(2014·广州模拟)若正实数a，b满足ab＝2，则(1＋2a)·(1＋b)的最小值为________．
解析　(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋2＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号．
答案　9
7．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为______．
解析　∵x＞0，y＞0且1＝＋≥2，∴xy≤3.当且仅当＝，即当x＝，y＝2时取等号．
答案　3
8．函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则＋的最小值为________．
解析　∵y＝a1－x恒过点A(1,1)，
又∵A在直线上，
∴m＋n＝1.
而＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当m＝n＝时，取“＝”，
∴＋的最小值为4.
答案　4
三、解答题
9．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.
证明　＋＋＝＋＋＝2，
∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8.
10．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)求＋的最小值．
解　(1)∵x>0，y>0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.
∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得
此时xy有最大值10.
∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)∵x>0，y>0，∴＋＝·＝≥＝，当且仅当＝时，等号成立．
由解得
∴＋的最小值为.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2014·宝鸡模拟)已知正实数a，b满足a＋2b＝1，则a2＋4b2＋的最小值为 (　　)．
A.　 B．4　　
C.　 D.
解析　因为1＝a＋2b≥2，所以ab≤，当且仅当a＝2b＝时取等号．又因为a2＋4b2＋≥2＋＝4ab＋.令t＝ab，所以f(t)＝4t＋在单调递减，所以f(t)min＝f＝.此时a＝2b＝.
答案　D
2．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是 (　　)．
A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)　 B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
C．(－2,4)　 D．(－4,2)
解析　∵x>0，y>0且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋
≥4＋2 ＝8，
当且仅当＝，
即x＝4，y＝2时取等号，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，
只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，
即8>m2＋2m，解得－4<m<2.
答案　D
二、填空题
3．(2014·南昌模拟)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
解析　由已知，得xy＝9－(x＋3y)，即3xy＝27－3(x＋3y)≤2，令x＋3y＝t，则t2＋12t－108≥0，解得t≥6，即x＋3y≥6.
答案　6
三、解答题
4．(2013·泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)
解　(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，
则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50(0＜x≤10，x∈N)，
即y＝－x2＋20x－50(0＜x≤10，x∈N)，
由－x2＋20x－50＞0，解得10－5＜x＜10＋5.
而2＜10－5＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．
(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为
＝[y＋(25－x)]＝(－x2＋19x－25)＝19－，而19－≤19－2＝9，当且仅当x＝5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．

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