2015届高考数学第一轮基础巩固训练题25.doc

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第3讲　圆与圆的方程
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1． (2014·长春模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是 (　　)．
A．x2＋y2＝2　 B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1　 D．x2＋y2＝4
解析　AB的中点坐标为(0,0)，
|AB|＝＝2，
∴圆的方程为x2＋y2＝2.
答案　A
2．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过 (　　)．
A．第一象限　 B．第二象限
C．第三象限　 D．第四象限
解析　圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为，
则a＜0，b＞0.直线y＝－x－，k＝－＞0，－＞0，直线不经过第四象限．
答案　D
3．(2014·镇安中学模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是 (　　)．
A．x2＋y2＋10y＝0　 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0　 D．x2＋y2－10x＝0
解析　设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，
∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2，∵点(3,1)在圆上，
∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5，
∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.
答案　B
4．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是 (　　)．
A.　 B.∪(1，＋∞)
C.　 D.∪[1，＋∞)
解析　联立解得P(a,3a)，
∴(a－1)2＋(3a－1)2＜4，∴－＜a＜1，故应选A.
答案　A
5．(2014·西交大附中模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是 (　　)．
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1　 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4　 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析　设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化简得(x－2)2＋ (y＋1)2＝1.
答案　A
二、填空题
6．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．
解析　过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.
答案　x＋y－1＝0
7．(2014·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1) 2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______．
解析　由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径，即－＝.
答案　
8．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析　据题意圆x2＋(y－1)2＝1上所有的点都在直线x＋y＋m＝0的右上方，所以有
解得m≥－1＋.故m的取值范围是[－1＋，＋∞)．
答案　[－1＋，＋∞)
三、解答题
9．求适合下列条件的圆的方程：
(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；
(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
解　(1)法一　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有
解得a＝1，b＝－4，r＝2.
∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二　过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．
∴半径r＝＝2，
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)法一　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则
解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.
法二　由A(1,12)，B(7,10)，
得AB的中点坐标为(4,11)，kAB＝－，
则AB的垂直平分线方程为3x－y－1＝0.
同理得AC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0.
联立得
即圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝10.
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100.
10．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解　

如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为
，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，
故＝，＝.
从而
N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况)．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2014·鹰潭模拟)已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为 (　　)．
A．8　 B．－4　　
C．6　 D．无法确定
解析　圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，∴m＝6.
答案　C
2．(2014·西安中学模拟)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点F的距离为5，则以M为圆心且与y轴相切的圆的方程为 (　　)．
A．(x－1)2＋(y－4)2＝1
B．(x－1)2＋(y＋4)2＝1
C．(x－1)2＋(y－4)2＝16
D．(x－1)2＋(y＋4)2＝16
解析　抛物线的焦点为F，准线方程为x＝－，所以|MF|＝1－＝5，解得p＝8，即抛物线方程为y2＝16x，又m2＝16，m＞0，所以m＝4，即M(1,4)，所以半径为1，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－4)2＝1.
答案　A
二、填空题
3．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．
解析　由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ为直角三角形，故其圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径为＝，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案　(x－2)2＋(y－1)2＝5
三、解答题
4．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．
解　法一　将x＝3－2y，
代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，
得5y2－20y＋12＋m＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1，y2满足条件：
y1＋y2＝4，y1y2＝.
∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0.
而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2.
∵x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2＝.
故＋＝0，解得m＝3，
此时Δ＝202－4×5×(12＋m)＝20(8－m)＞0，圆心坐标为，半径r＝.

法二　如图所示，设弦PQ中点为M，且圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0的圆心为O1，

设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由法一知，y1＋y2＝4，x1＋x2＝－2，
∴x0＝＝－1，y0＝＝2.
即M的坐标为(－1,2)．
则以PQ为直径的圆可设为(x＋1)2＋(y－2)2＝r.
∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上．
∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r，即r＝5，|MQ|2＝r.
在Rt△O1MQ中，|O1Q|2＝|O1M|2＋|MQ|2.
∴＝2＋(3－2)2＋5.
∴m＝3，∴圆心坐标为，半径r＝.

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