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第九章《不等式与不等式组》精讲精析
提要：本章的考查重点是掌握一元一次不等式组的解法步骤并准确地求出解集．难点是正确应用不等式的基本性质对不等式进行变形、求不等式组中各个不等式解集的公共部分．不等式在中学代数中是研究问题的重要工具．在处理解不等式的问题中，一元一次不等式组的解法，具有特别重要的意义．这是因为，解各类不等式的问题都可以归结为解一些由简单不等式所组成的不等式组．
习题：
一、填空题
1．用恰当的不等号表示下列关系：
①x的3倍与8的和比y的2倍小： ；
②老师的年龄a不小于你的年龄b小： ．
2．若<,则－2 －2．（填“<、>或=”号）
3．若，则．（填“<、>或=”号）
4．不等式7－>1的正整数解为： ．
5．当_______时，代数式的值至少为1．
6．不等式6－12<0的解集是_________．
7．若一次函数=2－6，当_____时，>0．
8．当x________时，代数式的值是非正数．
9．当m________时，不等式(2－m)x＜8的解集为x＞．
10．若方程 的解是正数，则的取值范围是_________．
11．的与12的差不小于6，用不等式表示为__________________．
0
2
4
-2
图9-1
12．从小明家到学校的路程是2400米，如果小明早上7点离家，要在7点30分到40分之间到达学校，设步行速度为米/分，则可列不等式组为__________________，小明步行的速度范围是_________．
13．若x=，y=，且x＞2＞y，则a的取值范围是________．
14．已知三角形的两边为3和4，则第三边a的取值范围是________．
15．如图9-1，在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集，则该不等式组的解集为 ．
16．若,则x的取值范围是 ．
17．不等式组的解为 ．
18．当时，与的大小关系是_______________．
19．若点P（1－m，m）在第二象限，则（m-1）x>1-m的解集为_______________．
20．已知x＝3是方程—2＝x—1的解，那么不等式(2—)x＜的解集是 ．
21．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是 ．
22．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是 ．
23．小明用100元钱购得笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每只钢笔5元.那么小明最多能买 只钢笔．
24．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打 ．
二、选择题
25．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
26．在下图中不等式－1＜x≤2在数轴上表示正确的是（ ）
图9-2
27．解集在数轴上表示为如图9-2所示的不等式组是（ ）
A． B． C． D．
0
1
-1
-2
图9-3
28．关于x的不等式2x－a≤－1的解集如图9-3所示，则a的取值是（ ）．
A．0 B．－3 C．－2 D．－1
29．将不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
30．不等式组的解集是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
31．已知a<b，则下列不等式中不正确的是（ ）．
Ａ．4a<4b Ｂ．a+4<b+4 Ｃ．－4a<－4b Ｄ．a－4<b－4
32．不等式的正整数解有（ ）．
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
33．满足－1<x≤2的数在数轴上表示为（ ）．
A．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
34．如果｜x－2｜=x－2，那么x的取值范围是（ ）．
Ａ．x≤2 Ｂ．x≥2 Ｃ．x<2 Ｄ．x>2
35．从甲地到乙地有16千米，某人以4千米/时~8千米/时的速度由甲地到乙地，则他用的时间大约为（ ）．
Ａ．1小时~2小时 Ｂ．2小时~3小时 Ｃ．3小时~4小时 Ｄ．2小时~4小时
36．不等式组的解集是（ ）．
Ａ．x<－1 Ｂ．x≤2 Ｃ．x>1 Ｄ．x≥2
37．不等式<6的非负整数解有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
38．下图所表示的不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
39．若方程3m(x+1)+1=m(3－x)－5x的解是负数，则m的取值范围是（ ）．
Ａ．m>－1.25 Ｂ．m<－1.25 Ｃ．m>1.25 Ｄ．m<1.25
40．某种出租车的收费标准：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，那么甲地到乙地路程的最大值是（ ）．
Ａ．5千米 Ｂ．7千米 Ｃ．8千米 Ｄ．15千米
三、解答题
41．解不等式：
42．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上：
43．解不等式组并写出该不等式组的整数解．
44．为何值时,代数式的值是非负数？
45．已知：关于的方程的解的非正数，求的取值范围．
46．北京奥运会期间，某旅行社组团去北京观看某场足球比赛，入住某宾馆．已知该宾馆一楼房间比二楼房间少5间，该旅游团有48人，若全部安排在一楼，每间住4人，房间不够，每间住5人，有房间没住满．若全部安排在二楼，每间住3人，房间不够，每间住4人，则有房间没住满．你能根据以上信息确定宾馆一楼有多少房间吗？
47．国庆节期间，电器市场火爆．某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：
类 别
电视机
洗衣机
为进价（元/台）
1800
1500
售价（元/台）
2000
1600
计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元．
（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的
其它费用）
（2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润
最多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价）
48．今秋，某市白玉村水果喜获丰收，果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．
（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？
（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？
49．2009年我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．
（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．
（2）若搭配一个种造型的成本是800元，搭配一个种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
50．一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部，B型手机y部．三款手机的进价和预售价如下表：
手机型号
A型
B型
C型
进 价（单位：元/部）
900
1200
1100
预售价（单位：元/部）
1200
1600
1300
（1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；
（2）求出y与x之间的函数关系式；
（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．
①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；（注：预估利润P＝预售总额-购机款-各种费用）
②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．
参考解析
一、填空题
1．①3x+8＜2y；②a≥b
2．<（点拨：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变）
3．>（点拨：根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变）
4．1、2、3、4、5 5．≤（点拨：由题意可列出不等式≥1）
6．＞ 7．＞3（点拨：由题意可得不等式2－6>0）
8．（点拨：代数式的值是非正数，所以可得不等式）
9．＞2（点拨：根据不等式的性质，不等号方向发生改变，所以x的系数小于0）
10．＞-3（点拨：解关于x的方程可得，因为解为正数，所以得到不等式＞0，解不等式即可） 11．
12．，60米-80米/分.（点拨：7点出发，要在7点30分到40分之间到达学校，意味着小明在30分钟之内的路程不能超过2400米，而40分钟时的路程至少达到2400米．由此可列出不等式组）
13．1＜a＜4（点拨：根据题意，可得到不等式组，解不等式组即可）
14．1＜＜7 15．x＜2 16．x＜1（点拨：由题意可知，x-1的绝对值等于它的相反数，则x-1＜0，所以x＜1． 17．
18．＞（点拨：在不等式两边同时乘以负数x，则不等式的方向改变）
19．x＞-1（点拨：由P（1－m，m）在第二象限可知，1－m＜0且m＞0，所以m>1）
20．x＜（点拨：先将x=3代入方程，可解得a=-5，再将a=-5代入不等式解不等式得出结果）
21．m＜3（点拨：解不等式组可得结果，因为不等式组的解集是x＞3，所以结合数轴，根据“同大取大”原则，不难看出结果为m＜3）
22．-3＜a≤-2（解不等式组可得结果a≤x≤2，因此五个整数解为2、1、0、-1、-2，所以-3＜a≤-2）
23．13支（点拨：设小明一共买了x本笔记本，y支钢笔，根据题意，可得混合组，可求得y≤，因为y为正整数，所以最多可以买钢笔13支）
24．7折（点拨：设最低打x折，由题意可得，解之得x≥7）
二、选择题
25．A 26．A 27．D
28．B（点拨：x≤，又不等式解为：x≤－1，所以＝－1，解得：a＝－3）
29．C 30．D 31．Ｃ（点拨：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，同时乘或除以同一个负数，不等号的方向要改变）
32．Ｃ（点拨：先求出不等式的解集，从中找出相应的正整数解即可）
33．Ｂ（点拨：注意解集表示时的方向及点的空心与实心区别）
34．Ｂ（点拨：因为｜x－2｜=x－2，根据一个正数的绝对值等于它的本身，可以知道x-2的值大于或等于0，从而得到相关不等式求解）
35．Ｄ（点拨：路程一定，速度的范围直接决定所用时间的范围） 36．Ａ 37．C（点拨：非负整数解包括0） 38．A 39．Ａ（点拨：先通过解方程求出用m表示的x的式子，然后根据方程解是负数，得到关于m的不等式，求解不等式即可） 40．Ｃ
三、解答题
41．解析：（1），，所以．
42．解析：解不等式①，得； 解不等式②，得． 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如答图9-1：
答图9-1
所以，原不等式组的解集是．
43．解析：解不等式，得．解不等式，得．原不等式组的解集是．原不等式组的整数解是．44．解析：由题意可得，解不等式≥.
45．解析：解关于x的方程，得，因为方程解为非正数，所以有≤0，解之得，≥．
46．解析：设该宾馆一楼有x间房，则二楼有（x+5）间房，由题意可得不等式组
，解这个不等式组可得9.6＜x＜11，因为x为正整数，所以x=10
即该宾馆一楼有10间房间．
47．解析：（1）设商店购进电视机x台，则购进洗衣机（100－x）台，根据题意，得
，解不等式组，得 ≤x≤．即购进电视机最少34台，最多39台，商店有6种进货方案．
（2）设商店销售完毕后获利为y元，根据题意，得y＝（2000－1800）x＋(1600－1500)(100－x)＝100x＋10000． ∵ 100＞0，∴ 当x最大时，y的值最大．即 当x＝39时，商店获利最多为13900元．
48．解析：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（8－x）辆，依题意，得
4x + 2（8－x）≥20，且x + 2（8－x）≥12，解此不等式组，得 x≥2，且 x≤4， 即 2≤x≤4．
∵ x是正整数，∴ x可取的值为2，3，4．因此安排甲、乙两种货车有三种方案：
甲种货车
乙种货车
方案一
2辆
6辆
方案二
3辆
5辆
方案三
4辆
4辆
（2）方案一所需运费 300×2 + 240×6 = 2040元；方案二所需运费 300×3 + 240×5 = 2100元；方案三所需运费 300×4 + 240×4 = 2160元．所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040元．
49．解析：设搭配种造型个，则种造型为个，依题意，得：
，解这个不等式组，得：，
是整数，可取，可设计三种搭配方案：①种园艺造型个 种园艺造型个；②种园艺造型个 种园艺造型个；③种园艺造型个 种园艺造型个．
（2）由于种造型的造价成本高于种造型成本．所以种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：（元）
50．解析：（1）60-x-y；
（2）由题意，得 900x+1200y+1100（60-x-y）= 61000，整理得 y=2x-50．
（3）①由题意，得 P= 1200x+1600y+1300（60-x-y）- 61000-1500，
整理得 P=500x+500．
②购进C型手机部数为：60-x-y =110-3x．根据题意列不等式组，得
解得 29≤x≤34．
∴ x范围为29≤x≤34，且x为整数．
∵P是x的一次函数，k=500＞0，∴P随x的增大而增大．
∴当x取最大值34时，P有最大值，最大值为17500元．
此时购进A型手机34部，B型手机18部，C型手机8部．
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