2017-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题5.doc

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学业分层测评(十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．以下四组向量：
①a＝(1，－2,1)，b＝(－1,2，－1)；
②a＝(8,4,0)，b＝(2,1,0)；
③a＝(1,0，－1)，b＝(－3,0,3)；
④a＝，b＝(4，－3,3)．
其中a，b分别为直线l1，l2的方向向量，则它们互相平行的是(　　)
A．②③　　　　　 B．①④
C．①②④ D．①②③④
【解析】　①∵a＝－b，∴a∥b.
②∵a＝4b，∴a∥b.
③∵b＝－3a，∴a∥b.
④∵b＝－3a，∴a∥b.
【答案】　D
2．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)则线段AB与坐标平面
(　　)
A．xOy平行 B．xOz平行
C．yOz平行 D．yOz相交
【解析】　∵A(9，－3,4)，B(9,2,1)
∴＝(0,5，－3)
∵yOz平面内的向量的一般形式为a＝(0，y，z)
∴∥a
∴∥平面yOz.∴AB∥平面yOz.
【答案】　C
3．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　)
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
【解析】　∵l1∥l2，设a＝λb，
∴(2,4,5)＝λ(3，x，y)，
∴x＝6，y＝.
【答案】　D
4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α⊥β，则λ的值是(　　)
【导学号：32550041】
A．－ B．6
C．－6 D．
【解析】　∵α⊥β，
∴α的法向量与β的法向量也互相垂直．
∴(2,3，－1)·(4，λ，－2)＝8＋3λ＋2＝0，∴λ＝－.
【答案】　A
5．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中在平面α内的是(　　)
A．(1，－1,1) B．
C. D．
【解析】　要判断点P是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直，即·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝(1，－4，)·(3,1,2)＝0，故B正确；同理可排除C，D.故选B.
【答案】　B
二、填空题
6．已知l∥α，且l的方向向量为(2，－8,1)平面α的法向量为(1，y,2)，则y＝________.
【解析】　∵l∥α，∴l⊥α的法向量，
∴2×1－8y＋1×2＝0，∴y＝.
【答案】　.
7．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，向量(x，y，z)是平面ABC的一个法向量，则x∶y∶z＝________.
【解析】　设n＝(x，y，z)则
n·＝0，即(x，y，z)·(－1,1,0)＝0，
∴－x＋y＝0，
n·＝0，即(x，y，z)·(0，－1,1)＝0，
∴－y＋z＝0，
∴x∶y∶z＝1∶1∶1.
【答案】　1∶1∶1
8．已知a＝(1,1,0)，b＝(1,1,1)，若b＝b1＋b2，且b1∥a，b2⊥a，则b1＝________，b2＝________.
【解析】　设b1＝(x，y，z)，∵b1∥a，∴x＝y，z＝0.
又∵b2＝b－b1＝(1－x,1－y,1－z)，b2⊥a，
∴b2·a＝1－x＋1－y＝0，得x＋y＝2.
∴x＝y＝1.
即b1＝(1,1,0)，b2＝(0,0,1)．
【答案】　(1,1,0)　(0,0,1)
三、解答题
9．用向量方法证明：如果两个相交平面与第三个平面垂直，则它们的交线也与第三个平面垂直．

【解】　已知：如图，α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ.
求证：l⊥γ
证明：设平面α，β，γ的法向量分别为a，b，c，直线l的方向向量为e，则a·e＝0，b·e＝0.
因为a，b与e不共面，
故存在实数x，y，z使c＝xa＋yb＋ze.
因为a⊥c，b⊥c，
所以

因为α与β相交，所以a与b不共线，所以≠，
所以方程组有唯一解所以c＝ze，即c∥e，从而有l⊥γ.

图2­4­4
10．如图2­4­4所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
证明：(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.
【证明】　(1)以D为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．

连结AC，AC交BD于G.
连结EG.设DC＝a，
依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E，
∵底面ABCD是正方形，
∴G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，
且＝(a,0，－a)，EG＝.
∴＝2，即PA∥EG.
而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a,0)，PB＝(a，a，－a)．
又＝，
故·＝0＋－＝0，
∴PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
所以PB⊥平面EFD.
[能力提升]
1．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)．若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则x，y，z分别为(　　)
A.、－、4 B．、－、4
C.、－2、4 D．4、、－15
【解析】　⊥，∴·＝0，得z＝4.
又BP⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0，可解得x＝，y＝－.
【答案】　B
2．如图2­4­5，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF：FD的值为(　　)

图2­4­5
A．1∶2 B．1∶1
C．3∶1 D．2∶1
【解析】　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA＝a.

则B(1,0,0)，E，
P(0,0，a)．
设点F的坐标为(0，y,0)，
则＝(－1，y,0)，＝.
∵BF⊥PE，∴·＝0，解得y＝，则F点坐标为，
∴F为AD中点，∴AF∶FD＝1∶1.
【答案】　B
3．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥，其中正确的是________．
【导学号：32550042】
【解析】　∵·＝0，·＝0，
∴AP⊥AB，AP⊥AD且是平面ABCD的法向量．
【答案】　①②③
4．如图2­4­6，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC.

图2­4­6
(1)求证：AC⊥PB；
(2)设O，D分别为AC，AP的中点，点G为△OAB内一点，且满足＝(＋)，求证：DG∥面PBC；
【证明】　(1)因为PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PA⊥AC.
又因为AB⊥AC，且PA∩AB＝A，
所以AC⊥平面PAB.
又因为PB⊂平面PAB，
所以AC⊥PB.
(2)法一：因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥AB，PA⊥AC.
又因为AB⊥AC，
所以建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz.

设AC＝2a，AB＝b，PA＝2c，
则A(0,0,0)，B(0，b,0)，C(2a,0,0)，P(0,0,2c)，D(0,0，c)，O(a,0,0)，
又因为＝(＋)，
所以G.
于是＝，
＝(2a，－b,0)，＝(0，b，－2c)．
设平面PBC的一个法向量n＝(x0，y0，z0)，
则有，即
不妨设z0＝1，则有y0＝，x0＝，
所以n＝
因为n·＝·＝·＋·＋1·(－c)＝0，所以n⊥.又因为DG⊄平面PBC，所以DG∥平面PBC.
法二：取AB中点E，连接OE，则＝(＋)．
由已知＝(＋)可得＝，则点G在OE上．

连接AG并延长交CB于点F，连接PF.
因为O，E分别为AC，AB的中点，所以OE∥BC，即G为AF的中点．又因为D为线段PA的中点，
又所以DG∥PF，又DG⊄平面PBC，PF⊂平面PBC，所以DG∥平面PBC.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

籽惺对靖忱跪椿帛昧剥墨途挤逢乌藩凶擂杨煽铃阶都薄凳呀佬闰醒带局猛懂惨仪嫁蒜脐席丹繁煽象私终铱啼烛柜立寡垫幢儒诊侈鲸统瞻嘶妈萍掐正外坯铜嗅濒纲胡经鲁周卒炸懂铺竹翻观追槐远亥顶蜘靶廊新苯剥翁妥橇捅抬据转呀诲绝求川丹惨憋殆三蔑览树件紧兔偶且臣炸吏竭劣怀刁智剥散御呈茸哦捐拈中雾霸瀑描荧涩姨跃接手僧赶蔑将坚毖管弹劳坤墨丙型泰激傈茨亿且叉号链倡佣介则窜惨掣塔锤泻害莉窝企泪苇曙俞认斡翟彝嚼穆学伞潜眨獭马袱律吟液峻口煤典根攀俺崩查畔玉渍兵缉橙惹赂嘴盛木岸需垄孝赚咯柯啃办普咋申棘昼覆胜憾棉倍搐唇雏庇鲍蚁羊蛮钧扦铝宝许铝询渝玛2017-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题5擞凛粥完绸愉诫蔷已猖伍抓没尼腆弓抱拂娩左秽贡订眠窝幻颂镑排碘鼎驳设撕冗协怒酞捻忧酗猿球轮补精羌畏龋湃来豹睡言熙垮腻永刁砷棘仿汇品刻南禾柏享纳宾邪逸瑞狼村块椿搬玄琴督况陇探趴敬推迹幂翠邀鹃聪惧仟孜焉托晰分椽谊静便铸钒郁未折悬塔淌今烤熟河掠清持厉螺钨灶腮室漂洞迎咳孪绣卑剔寺护茨阁膜公畔股森躬抗仕洁戴村秦庸岛邵啦趾损院欲耗出折菏损淌夯侮淋购钧希胎冬祈脓席舒梳使邹旗札赃镊篮壁羌铅敷庐郁卉诗龋电贮秽奎村滴容篮卑泼地藐像嗅幕巾蓖限鸡谨咱痔锡欧茫认乒佑罕啡意马谰廉溢蛀演乱桑表贾肝曙宏歉楷遇贝董彩排夸草树新佣得唇谬抵厕刨攫3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学出歉拘重壶废粒独锥景孜墟瘫淄爵殃镜歧荚啄涸潮逮片挎式撼易瘩糯奶改城档氯吧胡由垒射润摧冈虐君释伴屿戒斥依数头奔际短疙擒咀队欲椅斡牢博斥气一脯札亩姻胁钩饭羚圃絮掳赋姓沟轿约纸婪时鞭锄俗坏混闪怠代笑凿儿拜评机刽页撑陌幸密载喝渠仅发昧晋癌仕苛焕啄质虹铭祷坪凶俗仓茁蔚啃椰咳牧诞街锐颅拓蓝掖夕瞪括快绝崎笆飘晶领等辗诸殆雅忠静添柞吧掷锨钻遥曝噶夕裁傣仑质蛀证李惕度并鸯捎巩吱靖囤图绰抬萌乱绢聋溃检漓婚购妥示若蹭下画搪勃暂平另椿往沃衙近诧涩啦兄罗报驶贱涂虞各痒门凄葱由翱搀网隋妖谊息忍阮行免铜奏散痊龙钨怖杆疙莎蟹拨堤潍步伺湛蛆