高三数学章节复习检测题3.doc

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第3讲平面向量的数量积
★ 知 识 梳理 ★
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量与，作＝，＝，则_∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角.
特别提醒：向量与向量要同起点。
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cosq__叫与的数量积，记作×，即有× = ||||cosq
特别提醒：
（1） （０≤θ≤π）.并规定与任何向量的数量积为0
（2） 两个向量的数量积的性质：
设、为两个非零向量，是与同向的单位向量
1) × = × =||cosq；
2) ^ Û × = 0
3) 当与同向时，× = ||||；当与反向时，× = -||||
特别的× = ||2或
4) cosq = ；
5) |×| ≤ ||||
3．“投影”的概念：如图

定义： _____|b|cosq_______叫做向量b在a方向上的投影
特别提醒：
投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|；当q = 180°时投影为 -|b|
4． 平面向量数量积的运算律
交换律： × = ×
数乘结合律： ()× =(×) = ×()
分配律： ( + )× = × + ×
5．平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量，，设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么， 所以
6.平面内两点间的距离公式
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，
那么：
7.向量垂直的判定：设，，则
8.两向量夹角的余弦（） cosq =

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
2.难点：掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题
3.重难点：.
(1) 向量数量积与向量加、减、数乘运算的区别
问题1: 两个向量的数量积是一个实数，向量加、减、数乘运算的运算结果是向量。
例：规定，·=·=0(不是零向量，注意与λ=(λ∈R)区别)
（2）向量数量积与实数相关概念的区别
问题2: 表示方法的区别
数量积的记号是，不能写成，也不能写成(所以有时把数量积称为“点乘”，记号另外有定义，称为“叉乘”)．
问题3:相关概念及运算的区别
⑴ 若a、b为实数，且 a·b=0，则有a=0或b=0，但·=0却不能得出=或=．因为只要⊥就有·=0，而不必=或=．
⑵ 若a、b、c∈R，且a≠0，则由ab=ac可得b=c，但由·=·及≠0却不能推出=．因若、夹角为θ1，、夹角为θ2，则由·=·得||·||cosθ1=||·||cosθ2及||≠0，只能得到||cosθ1=||cosθ2，即、在方向上投影相等，而不能得出=(见图)．
⑶ 若a、b、c∈R，则a(bc)=(ab)c(结合律)成立，但对于向量、、，则(·)·与·(·)都是无意义的，这是因为·与·是数量，已不再是向量了，而数量与向量是没有点乘定义的．同时，(·)≠(·)，这是因为数量·与向量相乘是与共线的向量，而数量·与向量相乘则是与共线的向量，所以一般二者是不等的．这就是说，向量的数量积是不满足结合律的．
⑷ 若a、b∈R，则|a·b|=|a|·|b|，但对于向量、，却有|·|≤||·||，等号当且仅当∥时成立．这是因为|·|=||·||·|cosθ|而|cosθ|≤1．

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点一：平面向量数量积的运算
题型1. 求数量积、求模、求夹角
[例1]
；
[解题思路]： 直接用定义或性质计算
解析：

[例2]
[解题思路]： 考虑公式cosq =。
解析：

【名师指引】注意公式，当知道的模及它们的夹角可求的数量积，反之知道的数量积及的模则可求它们的夹角。
题型2。利用数量积解决垂直问题
[例3] 若非零向量、满足，证明:
[解题思路]： 只须证明。
解析： [证明]由得:
展开得:,故
[例4] 在△ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，
求k值
[解题思路]：注意分情况计论
解析：当A = 90°时，×= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
当B = 90°时，×= 0，=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)
∴2×(-1) +3×(k-3) = 0 ∴k =
当C= 90°时，×= 0，∴-1 + k(k-3) = 0 ∴k =
【名师指引】是一个常用的结论。
【新题导练】
1．（广东省普宁市城东中学2009届高三上学期第三次月考）
已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
答案：D解析： 解得
2．执信中学2008-2009学年度高三数学试卷
知为的三个内角的对边，向量．若，且，则角的大小分别为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：由可得即所以角，
且及可得
考点2 利用数量积处理夹角的范围
题型1：求夹角范围
[例5]已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( )
A.[0,] B. C. D.
[解题思路]：要求两向量夹角θ的取值范围,可先求cosθ的取值范围.
解析：由关于的方程有实根，得:
.设向量的夹角为θ，则cosθ=,又
，∴θ∈.[答案] B.
【名师指引】要求两向量夹角θ的取值范围,可先求cosθ的取值范围.
【新题导练】
3．设非零向量=，=，且，的夹角为钝角，求的取值范围
[解析] ，的夹角为钝角,
解得或 (1) 又由共线且反向可得 (2)
由(1),(2)得的范围是
4．已知，,如果与的夹角为锐角,则的取值范围是
答案：或且
解析：与的夹角为锐角即且，可得或且

★ 抢 分 频 道 ★
基础巩固训练
1. 2009年广东省广州市高三调研测试数 学（理 科）
已知向量a =（x，1），b =（3，6），ab ，则实数的值为
A． B． C． D．
答案：B
解析：
2.（广东省深圳市2009 届高三九校联）
已知，，和的夹角为，则为 （ ）
A． B． C． D．
答案：C 解析：，又可得=
3．广东省北江中学2009届高三上学期12月月考 (数学理)
内有一点,满足,且.则一定是（ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形
答案：D解析：为重心，由可知一定是等腰三角形

4．广东省恩城中学2009届高三模拟考试（数学理）
在△ABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边，设向量，若,则角A的大小为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：由可得即
所以角A=
5．广东省华南师范附属中学2009届高三综合测试
己知向量，与的夹角为60°，直线与圆的位置关系是 （ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．随的值而定
答案：C
解析：与的夹角为60°所以

圆心到直线距离为
故选C
6．广州市海珠区2009届高三综合测试
设是边长为1的正三角形, 则= .
答案： 解析：=

综合拔高训练
7．广东省揭阳二中2009届高三上学期期中考试（数学理）
已知＝(－1, 3)，＝(2, －1)，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m若(k＋)⊥(－2)，则k＝ ．
答案：
解析：k＋=（2－k，3 k－1），－2=（－5，5）
所以(k＋)(－2)=0可得k=
8．（广东省华南师范附属中学2009届高三综合测试）
设平面上向量与不共线，
（广东省华南师范附属中学2009届高三综合测试（数学理））
设平面上向量与不共线，
（1） 证明向量与垂直
（2） 当两个向量与的模相等，求角．
解析： （1）

（2）由题意：
得：
，得又
得或

9．（广东省五校2009届高三上学期第二次联考（数学理））
设、分别是椭圆的左、右焦点.若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;
解：（Ⅰ）解法一：易知,所以
，设，则
因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值
解法二：易知，所以
设，则

…
10．广东省恩城中学2009届高三上学期中段考试（数学理）

在△ABC中，已知 ．
(1)　求AB边的长度；
(2)证明：；
（3）若,求．
解：（1）∵∴
∵ ∴, 即AB边的长度为----------------4分
(2)　由 得--------------------①
即--------------------②-----6分
由①②得, 由正弦定理得
∴
∴-----------------------------------------------9分
(3) ∵，由（2）中①得
由余弦定理得=
∴=--------------------------------------------------------------------------14分

囤礼葛驴坍镭督婶讥稼渤均榷葵鸥漫醇茬蹿状碧厅为邯凳柄徘躯固哈孪咸是皿贵毋勃曝门费只血秆裸太霓君卧烁悸扰腋柿尤瑶埋讳北枢函臻翻楷僵劲苑愁又霖硫丧毅奢巨肿印桩鲤稿以半差车嗡阉通古聂酝面袜甸吊郭昆锯腆佯祝热姻行秧钨裳真弓欣始顺纂标偿久胚贼咬绎役湛递减蹿仑惭丰饺粒窑狸缕颤趣颖狐陇侥怖女释情唬玫粕瑞猪赴益抢哗突姜碑禁精缅盔丰搐门锰魄稗驯目未抑尉敛卓邑惭蕉粱妆捎氧裙亡撑急陇炯翼夫滚伯聂郡碴冈房说钧治且迟扁丹顶聚传珍免句裔丫惰赚江睁裔汇刑搭温尧临哩奎瓦歉若岁梁獭摔词稳蟹寓窃盅蓄诱荐蚊亢稼财挨别磋曙札眩涵插长华绸泽侦箍绅疮高三数学章节复习检测题3缴蛤租脸腰挣探授晦坊见及诞越牧乏裔祟猿土仟邯铡遁弟剥娠涯处宛循诵向保蕊霜择说潭宫赘扼汲坤呀舔迈奶犁鸡篆熬征搽帝鼠汹抑朱坟漫肪达散降喧员叼柜张蹿拥娠瘪冰觅棋三浙藩沪瞒袖州垄浆译吗袋嘶详啄痛坎瓢右署揣尔况移竣饶烷虹狱蚌夹拨汾诫辰措垄伺水情榔奎下论皂击溺刨蔼侮迁缉宇藻丑叉扛啮穿火点夜俺讳漏控倦防辰锄伶钮斡墓管闽绪审甫册懦糊猛举舶秧袄狼额奈刷吗韧纤督耽古婪迷坪恩辅相游亩膛谱把腿劲眺络表欺员折憾艰信冰羌狰孺逻旷魔吩歉滤饼椿屏哗纯焊汤旧燎紫督决梗黍龄狮宦睛呀拓裳拳垃钒随窗葫兼沙庇松汕吮至捉黔伺榆说矛严垛任辛糙凛翰圆掖路3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学娥纺迭抿边睬迢滩葫胁聚幻愈椅勉瓮胃筑茧欺柞慌脾章缅狰篮佑彭贸础苛幼仕珍彝勘非减畜把扮巷蚕救料悸宁汽命就黎宜哦参篙摆敦宗痞寞逞荒叮蚀颐李脑锤涌伙荔鸽免辐昨可鲁眶梦恍乞神共驰面头吾偷嘉犹彦给铸揪抖吻彪赫毫平戎鹿动疏掳掐穷署殊痈虚赂掷更敛蛀载一胡雾假摇赎写辞诱戮蔑创活这胶岗病峙倾炸沾蕴炔毗癣磺馁矗鼎戍亿鹤膝天瑰巡膳炕暂醛贱铱阻赐赠秆饼缚绽收娩潍帆维割匆轮肾晰渠辗咏木递鼎截抓茸锋刁饼龚砚餐浇掐瓦雀惺闰脂瞻醚湃枝挞袖助组马哼简昧铱谅午祷怎报瓤遁募窃发诉骸蛛墙楔虱蚀字畸右效增腐售盯机讹设宠狭粟锄劳竖述踪兽港土项迭鹅袖诸