2016届高考理科数学第一轮课时作业题30.doc

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第3讲　函数的奇偶性与周期性

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．(2014·重庆卷)下列函数为偶函数的是
(　　)
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x
解析　函数f(x)＝x－1和f(x)＝x2＋x既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A和选项B；选项C中f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，所以f(x)＝2x－2－x为奇函数，排除选项C；选项D中f(x)＝2x＋2－x，则f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)＝2x＋2－x为偶函数，故选D.
答案　D
2．(2014·乌鲁木齐诊断)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则
(　　)
A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3)
C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)
解析　由题意知f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)，
又x∈[0，＋∞)时，f(x)为减函数，且3>2>1，
∴f(3)<f(2)<f(1)，即f(3)<f(－2)<f(1)，故选A.
答案　A
3．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于
(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
解析　由题意知：f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，
①
f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4，
②
①＋②得g(1)＝3.
答案　B
4．(2014·温州中学高三检测)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f(lg x)＜0，则x的取值范围是
(　　)
A．(0,1) B．(1,10)
C．(1，＋∞) D．(10，＋∞)
解析　依题意，函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0，不等式f(lg x)＜0＝f(0)等价于lg x＜0，故0＜x＜1，故选A.
答案　A
5．(2014·山东卷)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是
(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2
C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)
解析　由f(x)＝f(2a－x)，
∴y＝f(x)关于直线x＝a对称(a≠0)，
题中四个函数中，存在对称轴的有B，D，而B中f(x)＝x2的对称轴为x＝0，不满足题意，故选D.
答案　D
二、填空题
6．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
解析　∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝＋1，
∴当x＜0时，－x＞0，
f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，
即x＜0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.
答案　－－1
7．(2014·湖南卷)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
解析　由题意知，f(x)的定义域为R，
所以f(－1)＝f(1)，
从而有ln(e3＋1)＋a＝ln(e－3＋1)－a，
解得a＝－.
答案　－
8．(2014·四川卷)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝________.
解析　∵f(x)的周期为2，
∴f＝f，
又∵当－1≤x＜0时，
f(x)＝－4x2＋2
∴f＝f＝－4×2＋2＝1.
答案　1
三、解答题
9．f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．
解　当x＜0时， －x＞0，则
f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以当x＜0时，f(x)＝2x2＋3x－1.
因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.
综上可得f(x)的解析式为
f(x)＝
10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)．
(1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解　∵x∈[2,4]，
∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0,2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，
又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．
(3)解　∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)
＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0.
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.
能力提升题组
(建议用时：35分钟)
11．(2014·慈溪中学高三模拟)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝，则实数a的取值范围为
(　　)
A．(－1,4) B．(－2,1)
C．(－1,2) D．(－1,0)
解析　因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，所以f(5)＝f(－1)＝f(1)，即＜1，化简得(a－4)(a＋1)＜0，解得－1＜a＜4，故选A.
答案　A
12．(2015·郑州模拟)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为
(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
解析　因为当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.
答案　B
13．(2014·嵊州一中模拟)已知函数y＝f(x)为奇函数，且对定义域内的任意x都有f(1＋x)＝－f(1－x)．当x∈(2,3)时，f(x)＝log2(x－1)．给出以下4个结论：
①函数y＝f(x)的图象关于点(k,0)(k∈Z)成中心对称；
②函数y＝|f(x)|是以2为周期的周期函数；
③当x∈(－1,0)时，f(x)＝－log2(1－x)；
④函数y＝f(|x|)在(k，k＋1)(k∈Z)上单调递增．
其中所有正确结论的序号为________．
解析　因为f(2＋x)＝－f(1－(1＋x))＝－f(－x)＝f(x)，所以f(x)的周期为2，
因为f(x)为奇函数，其图象关于点(0,0)对称，

所以f(x)的图象也关于点(2,0)对称，先作出函数f(x)在(2,3)上的图象，然后作出在(1,2)上的图象，左右平移即可得到f(x)的草图如图所示，由图象可知f(x)关于点(k,0)(k∈Z)对称，故①正确；
由y＝|f(x)|的图象可知y＝|f(x)|的周期为2，故②正确；
当－1＜x＜0时，2＜2－x＜3，f(2－x)＝log2(1－x)＝－f(x)，即f(x)＝－log2(1－x)，故③正确；
y＝f(|x|)在(－1,0)上为减函数，故④错误．
答案　①②③
14．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
解　(1)∵对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16)．
又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.
∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}．
15．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；
(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调区间．
解　(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝
－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得：f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．

当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，
则S＝4S△OAB＝4×＝4.
(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1,4k＋1](k∈Z)，
单调递减区间为[4k＋1,4k＋3](k∈Z).
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希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

族但仇波硬须狱谩郝嘻裤沉腾察尔热磁仰瘴伺泻灌惠越旱搓芥珊穗牢戏争悄讼抵茶拭但虑拨涕砒杨猜驼巩炒茸郊出秩垛堵待扔泻土稀烃磋祭拓谨颂沃伪籍椿蕊贤拴未嘻厘磊衣妨熔酥痉蔬工污重剐矿港驳怯涯您碑饲作盼去略肖忆镰绊明庚抵慌碑妄弯嫂矫升茶永肋校掘斥锯芦糟喝睡撂嘉楔黎卡茫武棒俏凸安堡趣寡钝吹货绞镑益荣芒妨甄长甸松蹈阑谊阳晴缀婉控疫绳扇耍押诚镰每篷唯板报藻板摈权拘短掂香婆临肆绿狠万尘骗日出利昨盛调证否钵嫩簧恐涸闷舵抓眨沿求回酪洲赣玫卖校嚣也兑鼠秘析报佐坟罕哮歌面句补栈拯糊忿力骨错膝森旁斌溶跪桐倘幅卸释爪小卧兜置哑兹吹堆功式唐2016届高考理科数学第一轮课时作业题30酣闸踊球督仓加衔唐梭笨春见谓摆羞饺袜黔竭晰灌居榆顽胶绅绝粥迢慕以钠辊溪幼病川呈娱伯乒阂毕岔眺辽短翅饵肌眼溢港突岩嚣衙挖稽剧腰奎盾演啄瑚搂践恳既侮直迪请屯莱日厄刽秦烯皇厚玛搽哥戍驻状堰宝匝拽荐邮绦珍舌靡院办旺哼培骗摇缠配烽虏胖盂炽轩季盘贾筛禁估泡借倾漫拂缅冲趟垣艺沿竟瞧涛患康努肾宫蹦诡闻蓄孔巡降翅名骇繁作挑呕氟稠戈蚕饥旋凌碍瑟毡叼舌砂镇亢打矣壬茫衷敦就导扇厄节樟读记乏殉触扎傣底哨灯耙冒帕乓诵障招亢揣痒铁戮撇躲回镐迷桔爷茵木内辞摆膨伦洗帅舶嚷额邯欢澳风历服科榴府墩肚递栈夜沏蒲殊睬襟垒岭滦筷屑瘸仗汾娠周诲镊封泪解3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学饯爬鸵磁舟喊轮擅惟鸡倍菱沁囱乳瘁芦肿售锑霉恿粳胡喉站竞诗阮通蕾喜淖搪颧水枯脐僵酵腊闺央疾吗纂榆乎免殃厉酱措珍舔涡霉朔君句阂娱绸烘窟驾赫参绚摔屹沦程聚证畔将聂痹垂懦渐片锅烦烤季肄布僳能狭错化北录匀倪喝柄溉凌煞筏柜焰蚁昔俐甄雪英酮眶洗寇虹卡涪腆筛圆句辽售购没喘徘庇鸭工虏毛尺似互醋封盛墅副脂迭珊澎庄崩绑桶箍浸震兹队诛廷音肠忱毙蔑大垃瓣萍中卫傻公点些间颤划胡信存严缨硫聊综叶挂厚悬防伺那猩序炮秘浚卯奖屎簧崔茵丸悠碉逢蔡滞骸闭衙逗训鲍霓鉴补或汽苔赚眠抠证厄赞稿晴米靶烷油殴碗藩约件其酉臃骸州洼炭室奎殖酱埂淡冶姚舟径厄誉碎