2015届高考理科数学课时拓展检测试题46.doc

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1.函数f(x)是定义域为R的可导函数，若f ′(x)＞0，设a＝f，b＝f，c＝f(－1)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．b＞a＞c B．a＞b＞c
C．c＞b＞a D．a＞c＞b
解：因为f ′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
∵－1＜＜，∴f(－1)＜f＜f，
即c＜a＜b.故选A.
2.设f ′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f ′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象有可能是(　　)

解：当x＜0时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x＞0时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减．故选C.
3.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)
解：f ′(x)＝(x－3) ′ex＋(x－3)(ex) ′＝(x－2)ex，令
f ′(x)＞0，解得x＞2，故选D.
4.函数f(x)＝(x－1)(x－2)2的极值点为x＝(　　)
A．1，2 B.，2 C.，1 D.，
解：f ′(x)＝(x－2)2＋2(x－1)(x－2)＝(x－2)(3x－4)．令f ′(x)＝0⇒x1＝，x2＝2，结合导数的符号变化．
故选B.
5.f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是(　　)
A．－2 B．0 C．2 D．4
解：f ′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)，
当－1≤x＜0时，f ′(x)＞0；
当0＜x≤1时，f ′(x)＜0.
所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2.故选C.
6.()设函数f(x)＝＋lnx，则(　　)
A. x＝为f(x)的极大值点
B. x＝为f(x)的极小值点
C. x＝2为 f(x)的极大值点
D. x＝2为 f(x)的极小值点
解：f ′(x)＝，令f ′(x)＝0，得x＝2.当x<2时，f ′(x)<0，f(x)为减函数；当x>2时，f ′(x)>0，f(x)为增函数，所以x＝2为f(x)的极小值点，故选D.
7．若函数f(x)＝＋x在x＝1处取极值，则a＝________.
解：f ′(x)＝＋1，f ′(1)＝＋1＝0⇒
a＝4.故填4.
8.一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm，60 cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________cm2.
解：设长为40 cm和60 cm的直角边上对应的矩形边长分别为x cm，y cm，则＝，得y＝60－x.矩形的面积S＝xy＝x＝60x－x2，令S ′＝60－3x＝0，得x＝20.所以当x＝20时矩形面积最大，最大面积为600 cm2.故填600.
9.()已知函数f(x)＝2ax3－3x2，其中a＞0.
求证：函数f(x)在区间(－∞，0)上是增函数.
证明：f ′(x)＝6ax2－6x＝6x(ax－1)．因为a＞0且x＜0，所以f ′(x)＞0.所以函数f(x)在区间(－∞，0)上是增函数．
10.已知函数f(x)＝xe-x(x∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)的极值.
解：(1)f ′(x)＝(1－x)e-x.令f ′(x)＝0，得x＝1.
x，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1)
1
(1，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值
↘
所以f(x)在区间(－∞，1)内是增函数，
在区间(1，＋∞)内是减函数．
(2)由(1)可知，函数f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝.
11.已知函数f(x)＝ax＋ln(x＋1)，a∈R.
(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)在x＝1处取得极值，试讨论f(x)的单
调性.
解：f ′(x)＝a＋.
(1)若a＝2，则f ′(0)＝2＋＝3，又f(0)＝0，因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－0＝3(x－0)，即3x－y＝0.
(2)∵f ′(1)＝0，
∴f ′(1)＝a＋＝0，得a＝－，
∴f(x)＝－x＋ln(x＋1)，x＞－1，
f ′(x)＝－＋＝，
令f ′(x)＝0，得x＝1.
x，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－1，1)
1
(1，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值
↘
所以f(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
()已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是(　　)
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
解：f(3)＝27－54＋27－abc＝－abc＝f(0),
因为f ′(x)＝3(x－1)(x－3)，所以f(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减．
∵a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，∴a＜1＜b＜3＜c，∴f(1)＞0，f(3)＝f(0)＜0，∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.
故选C.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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