高二数学下册选修知识点复习题16.doc

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北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编23：抛物线

一、选择题
．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线 和直线的距离之和的最小值是 （　　）
A． B． C． D．
．（2013北京东城高三二模数学理科）过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点,若,则的中点到轴的距离等于 （　　）
A． B． C． D．
．（2013北京西城高三二模数学理科）已知正六边形的边长是,一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点,则抛物线的焦点到准线的距离是 （　　）
A． B． C． D．
．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）抛物线(>)的焦点为,已知点,为抛物线上的两个动点,且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则的最大值为 （　　）
A． B．1 C． D．2
．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）对于直线l:y=k (x+1)与抛物线C:y2= 4x,k=±1是直线l与抛物线C有唯一交点的( )条件 （　　）
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要
．（2013届北京海滨一模理科）抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最
小值是 （　　）
A． B． C． D．
二、填空题
．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））在平面直角坐标系中,设抛物线的焦点为,准线为为抛物线上一点,,为垂足.如果直线的倾斜角为,那么_______.
．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）抛物线的焦点坐标为,则抛物线的方程为___,若点在抛物线
上运动,点在直线上运动,则的最小值等于____.
．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））直线与抛物线相切于点. 若的横坐标为整数,那么的最小值为______.
．（2013届北京西城区一模理科）在直角坐标系中，点与点关于原点对称．点在抛物线上，且直线与的斜率之积等于，则______．
三、解答题
．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知椭圆的对称轴为坐标轴, 离心率为且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆上，为坐标原点. 求点到直线的距离的最小值．

．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））如图,已知,两点分别在轴和轴上运动,并且满足,.
(Ⅰ)求动点的轨迹方程;
(Ⅱ)若正方形的三个顶点在点的轨迹上,求正方形面积的最小值.

．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，已知抛物线的焦点为．过点的直线交抛物线于，
两点，直线，分别与抛物线交于点，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值．

．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））动圆过点且在轴上截得的线段长为,记动圆圆心轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)已知是曲线上的两点,且,过两点分别作曲线的切线,设两条切线交于点,求△面积的最大值.
．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.
（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）已知为原点，求证：为定值.

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编23：抛物线参考答案
一、选择题
,【答案】B
【 解析】因为抛物线的方程为，所以焦点坐标,准线方程为。所以设到准线的距离为,则。到直线的距离为，
所以,其中为焦点到直线的距离，所以，所以距离之和最小值是2，选B.
D
B;
A
A
B
二、填空题
答案4抛物线的焦点坐标为,准线方程为.因为直线的倾斜角为,所以,又,所以.因为,所以,代入,得,所以.

1
；
三、解答题
解：（I）由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为， 则所以椭圆的方程为……5分
（II）当直线斜率存在时，设直线方程为，
则由
消去得，， …………………6分
， ①…………7分
设点的坐标分别为，则：
，…………8分
由于点在椭圆上，所以 . ……… 9分
从而，化简得，经检验满足①式.
………10分
又点到直线的距离为：
………11分
当且仅当时等号成立 ………12分
当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，
从而点的坐标为，直线的方程为，所以点到直线的距离为1 .
所以点到直线的距离最小值为 . ………13分
解:(I)

由已知则

(Ⅱ)如图,不妨设正方形在抛物线上的三个顶点中在轴的下方(包括轴),
记的坐标分别为,其中[来源:学、科、网]
并设直线的斜率为
B
A
C
D
O
y
x

则有①
又因为在抛物线上,故有
代入①式得
②
因为
即
所以
所以将②代入可得:

即,
得
正方形的边长为

易知, 所以
所以正方形ABCD面积的最小值为.
（Ⅰ）解：依题意，设直线的方程为． ………………1分
将其代入，消去，整理得 ． ………………4分
从而． ………………5分
（Ⅱ）证明：设，．
则 ． ………………7分
设直线的方程为，将其代入，消去，
整理得 ． ………………9分
所以 ． ………………10分
同理可得 ． ………………11分
故． ………………13分
由（Ⅰ）得 ，为定值． ………………14分
解:(Ⅰ)设圆心坐标为,那么,化简得
(Ⅱ)解法一:设
设直线PQ的方程为,代入曲线C的方程得,
所以
因为,所以
所以,
过P、Q两点曲线C的切线方程分别为
两式相减,得
,,
代入过P点曲线C的切线方程得,
,
即两条切线的交点M的坐标为(),所以点M到直线PQ的距离为

当时, ,此时的面积的取最大值
解法二: 设,则过P、Q两点曲线C的切线方程分别为

两式相减得,
,,
代入过P点曲线C的切线方程得,
,
即两条切线的交点M的坐标为(,)
设PQ中点为C,则C的坐标为(,),所以MC平行于y轴,所以

设点M到直线PQ的距离为d,那么(当且仅当时等号成立) .
又因为,所以,
即,.
所以 (当且仅当时等号成立) .
因此,,
所以的面积的最大值为.

解：（Ⅰ）将代入，得
所以抛物线方程为，焦点坐标为 ………………3分
（Ⅱ）设，，，
法一：
因为直线不经过点，所以直线一定有斜率
设直线方程为
与抛物线方程联立得到 ，消去，得：

则由韦达定理得：
………………6分
直线的方程为：，即，
令，得 ………………9分
同理可得： ………………10分
又 ，
所以

　　　　　　　　　 　　　　 　　　 　 ………………13分
所以，即为定值 ………………14分
法二：
设直线方程为
与抛物线方程联立得到 ，消去，得：

则由韦达定理得：
………………6分
直线的方程为：，即，
令，得 ………………9分
同理可得： ………………10分
又 ，

………………12分
所以，即为定值 ………………13分

希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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