高一数学下册课时堂堂清复习题17.doc

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等比数列

时间：45分钟　　　　分值：100分

一、选择题(每小题5分，共30分)
1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为(　　)
A．63 B．64
C．127 D．128
解析：∵公比q4＝＝16，且q>0，
∴q＝2，∴S7＝＝127，故选C.
答案：C
2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝
(　　)
A．2 B．4
C. D.
解析：本题主要考查等比数列的通项公式及前n项和的公式．[来源：高考%资源网 KS%5U]
设等比数列{an}的首项为a1，
则S4＝15a1，a2＝2a1，＝，故选C.
答案：C
3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝
(　　)
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C.(1－4－n) D.(1－2－n)
解析：∵q3＝＝，∴q＝，a1＝4，数列{an·an＋1}是以8为首项，为公比的等比数列，不难得出答案为C.
答案：C
4．(2009·辽宁高考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则等于
(　　)
A．2 B.
C. D．3
解析：设其公比为q.
由已知可得＝＝＝1＋q3＝3，
∴q3＝2.＝＝＝.[来源：高考%资源网 KS%5U]
另解：可知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，
则可设S6＝3，S3＝1，则(S6－S3)2＝S3×(S9－S6)，解得S9＝7，故＝.
答案：B
5．(2009·广东高考)已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝
(　　)
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2 D．(n－1)2
解析：由{an}为等比数列，则a5·a2n－5＝a1·a2n－1＝22n，
则(a1·a3·a5·…·a2n－1)2＝(22n)n⇒a1·a3·…·a2n－1＝2n2，故log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1·a3·…·a2n－1)＝n2.
答案：C
6．已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是
(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析：∵{an}是等比数列，a2＝1，
S3＝a1＋a2＋a3＝a1＋a3＋1.
当q>0时，a1、a3>0，a1＋a3≥2＝2＝2，∴S3≥3.
当q<0时，a1、a3<0，a1＋a3＝－[(－a1)＋(－a3)]≤－2＝－2，∴S3≤－1.
综上可知，S3的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．
解析：由题意知4S2＝S1＋3S3.
①当q＝1时，4×2a1＝a1＋3×3a1，
即8a1＝10a1，a1＝0，不符合题意，所以q≠1.
②当q≠1时，应有
4×＝a1＋3×，
化简得3q2－q＝0，得q＝或0(舍去)．
答案：
8．(2009·浙江高考)设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________.
解析：由S4＝，a4＝a1·q3，
则＝＝15.
答案：15
9．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2006＋2007＝__________.
解析：解方程4x2－8x＋3＝0，得x＝或.
又q>1，∴a2004＝，a2005＝.∴q＝＝3.
∴a2006＋a2007＝(a2004＋a2005)·q2＝2×32＝18.
答案：18
10．(2010·浙江猜题卷)等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1>1，a99a100－1>0，<0.给出下列结论：①0<q<1；②a99·a101－1<0；③T100的值是Tn中最大的；④使Tn>1成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是__________．
解析：①中⇒⇒q＝∈(0,1)，∴①正确．
②中⇒a99·a101<1，∴②正确．
③中⇒T100<T99，∴③错误．
④中T198＝a1a2…a198＝(a1·a198)(a2·a197)…(a99·a100)＝(a99·a100)99>1，
T199＝a1a2…a198·a199＝(a1a199)…(a99·a101)·a100＝a<1，∴④正确．
答案：①②④
三、解答题(共50分)
11．(15分)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝4，a4a5a6＝212.
(1)求首项a1和公比q的值；
(2)若Sn＝210－1，求n的值．
解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，则由题设有a4a5a6＝a＝212⇒a5＝24＝16，
∴＝q2＝4⇒q＝2，代入a3＝a1q2＝4，解得a1＝1.
(2)由Sn＝210－1，得Sn＝＝2n－1＝210－1，∴2n＝210，∴n＝10.
12．(15分)设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)．其中m为常数，m≠－3，且m≠0.
(1)求证：{an}是等比数列；
(2)若数列{an}的公比满足q＝f(m)且b1＝a1，
bn＝f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求证：{}为等差数列，并求bn.
解：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，
得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3.
两式相减，得(3＋m)an＋1＝2man(m≠－3)．
∴＝(m≠－3)．
从而可以知道，数列{an}是等比数列．[来源：高考%资源网 KS%5U]
(2)当n＝1时，(3－m)a1＋2ma1＝m＋3，a1＝＝1，
∴b1＝a1＝1，又q＝f(m)＝，
∴bn＝f(bn－1)＝·(n∈N*且n≥2)．
得bnbn－1＋3bn＝3bn－1⇒－＝.
∴{}是以1为首项，为公差的等差数列．
∴＝1＋＝，故bn＝.
13．(20分)(2010·潮州模拟)已知数列{an}、{bn}分别是等差数列、等比数列，a3＝8，a6＝17，b1＝2，b1b2b3＝9(a2＋a3＋a4)．
(1)分别求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝log3bn，求证：数列{cn}是等差数列，并求出其公差和首项；
(3)设Un＝b1＋b4＋b7＋…＋b3n－2，其中n＝1,2，…，求Un的值．
解：(1)设等差数列{an}的首项为a1、公差为d，等比数列{bn}的公比为q.
由a3＝8，a6＝17得a1＋2d＝8①
a1＋5d＝17②
由①②解得a1＝2，d＝3，
由b1b2b3＝9(a2＋a3＋a4)，得8q3＝9×24，解得q＝3.
所以数列{an}和{bn}的通项公式分别为
an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，bn＝2·3n－1.
(2)cn＝log3bn＝log32·3n－1＝log32＋(n－1)，
cn＋1－cn＝(log32＋n)－(log32＋n－1)＝1，
∴数列{cn}是首项为log32，公差为1的等差数列．
(3)由等比数列的性质知数列{b3n－2}是首项为2，公比为27的等比数列，
所以Un＝b1＋b4＋b7＋…＋b3n－2
＝＝(27n－1)．

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