贵州省贵阳市2016届高三数学上册第四次月考试题1.doc

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贵阳第一中学2016届高考适应性月考卷（四）
理科数学试卷
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A．（1,4） B．（2,4） C．（1,2） D．
2.设偶函数f(x)对任意，都有，且当时，，则（）
A．10 B． C．-10 D．
3.已知函数，若将其图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则的最小值为（）
A． B． C． D．
4.已知函数的图象如图所示，则函数的单调减区间为（）
A． B． C． D．

5. 若实数x，y满足不等式组（k为常数），且的最大值为12，则实数k=（）
A．0 B．-4 C．-9 D．任意实数
6.已知点G是△ABC的重心，若，，则的最小值是（）
A． B． C． D．
7.若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（）
A．-10 B．10 C．-45 D．45
8.若按如图所示的算法流程图运行后，输出的结果是，则输入的N的值可以等于（）
A．4 B．5 C．6 D．7

9.已知数列，满足，且，是函数的两个零点，则等于（）
A．24 B．32 C．48 D．64

11.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，，已知他投篮一次得分的期望值是2，则的最小值为（）
A． B． C． D．
12.已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知函数若方程有且仅有两个不等的实根，则实数m的取值范围是_______.
14.已知F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB（O为原点，A为右顶点，B为上顶点），则该椭圆的离心率是______.
15.如图，它满足①第n行首尾两数均为n，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行的第2个数是______.

16.对一定义域为D的函数和常数c，若对任意正实数，使得恒成立，则称函数为“敛c函数”，现给出如下函数：
①；②；③；④.
其中为“敛1函数”的有________（写序号）.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为，，且，数列满足，，对任意，都有.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）令，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.
18. （本小题满分12分）
某学校高一年级在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动，要求每位同学至少参加一次活动，高一（1）班学生50名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示.
（Ⅰ）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动的次数不相等的概率；
（Ⅱ）从该班中任意选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差对的绝对值，求随机变

19. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB上的点.
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若E是PB的中点，且二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.

20. （本小题满分12分）
已知抛物线C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为.
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）记，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.
21. （本小题满分12分）
已知函数，，其中e是自然对数的底数.
（Ⅰ），使得不等式成立，试求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若x>-1，求证：.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】
如图，AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1.
（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）求BC的长.

23. （本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线（t为参数），（为参数）.
（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）若上的点P对应的参数方程为，Q为上的动点，求PQ中点M到直线的距离的最小值.
24.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
设对于任意实数x，不等式恒成立.
（Ⅰ）求m的取值范围；
（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：.

贵阳第一中学2016届高考适应性月考卷（四）
理科数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
C
B
C
C
D
B
D
C
D
D

【解析】
1．根据题意，可求得，所以，故选B．
2．因为，故有，函数是以6为周期的函数，，故选B．
3．由题意，将其图象向右平移个单位后解析式为，则，即，所以的最小值为，故选C．
4．根据题意有，所以，从而有其单调减区间为，故选B．
5．根据已知的不等式组作图，如图1所示，当
直线平移至时z最大为12，将x=3，
图1
y=3代入直线2x+y+k=0得：6+3+k=0，，故选C．

6．在△ABC中，延长AG交BC于D，∵点G是△ABC的重心，∴AD是BC边上的中线，且．∵，∴．∵，，∴，∴
，∴的最小值是，故选C．
7．因为展开式的通项公式为，所以
，令，所以常数项为，故选D．
8．，故选B．
9．依题意有anan＋1=2n，所以an＋1an＋22n＋1，两式相除得，所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…成等比数列，而a1=1，a2=2，所以a10=2×24=32，a11=1×25=32．又因为an+an＋1=bn，所以b10=a10+a11=64，故选D．
10．由三视图知该几何体为棱锥，如图2，其中
平面ABCD．四面体的四个面中面SBD的面积最
大，三角形SBD是边长为的等边三角形，所以此四
图2
面体的四个面中面积最大的为，故选C．

11． 故选D．
12．首先构造函数，研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．∵为偶函数，∴的图象关于x=0对称，∴的图象关于x=1对称，∴，又∵，∴．设(x∈R)，则又∵，∴，∴，∴单调递减，∵，∴，即，又∵，∴，∴x＞0，故选D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号
13
14
15
16
答案

②③④

【解析】
13．方程错误！未找到引用源。有且仅有两个不等的实根等价于函数
的图象与函数的图象有两个交点，如图3．易知函数过定点且函数图象过点，，．当直线与曲线相切时，即在直线PC位置时，．显然当直线在x轴（含x轴）与直线PA之间时有两个交点，即；当直线位于PB（含PB）与PC之间时有两个交点，即．
综上知，．

14．把xc代入椭圆方程求得y=±，∴|PF|=，∵OP∥AB， PF∥OB，∴△PFO∽△ABO，∴，求得b=c，∴e=．
15．设第n(n≥2)行的第2个数构成数列{an}，则有
，相加得，因此可知第n行第2个数是．
16．由新定义知，对任意正实数，使得恒成立，即恒有解．对于函数①解得，，且，因为为任意正实数，所以无解，故函数①不是“敛1函数”；对于函数②解得，且，故函数②是“敛1函数”；对于函数③解得，，且，故函数③是“敛1函数”；对于函数④解得，，故函数④是“敛1函数”．因此正确答案为②③④．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵，∴()，
两式相减得，，
∴，即()，
又因为，，从而，
∴()，
时也符合，
故数列的通项公式()． ………………………………（4分）
在数列中，由，
知数列是等比数列，首项、公比均为，
∴数列的通项公式． ………………………………（6分）
（Ⅱ），①
∴，②
由①-②，得，
∴， ………………………………（8分）
不等式，
即为，
即()恒成立． ………………………………（10分）
方法一：
设()，
当时，恒成立，则不满足条件；
当时，由二次函数性质知不恒成立；
当时，恒成立，则满足条件．
综上所述，实数λ的取值范围是． ………………………………（12分）
方法二：
也即()恒成立，
令，
则，
由，单调递增且大于0，
∴单调递增，
∴，
∴实数λ的取值范围是． ………………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）从该班任取两名学生，他们参加活动的次数恰好相等的概率：
，
故． …………………………………………（4分）
（Ⅱ）从该班中任选两名学生，用表示这两名学生参加活动次数之差的绝对值，
则的可能取值分别为：0，1，2， ………………………………………（5分）
P(=0)=，
P(=1)=
P(=2)=，　 ……………………………………（7分）
从而的分布列为：

0
1
2
P

E+1+2=． …………………………………（8分）
（Ⅲ）因为函数在区间(3，5)上有且只有一个零点，且，
在区间(3，5)上为增函数， ……………………………………（9分）
即，
， ……………………………………………………（10分）
又由于的取值分别为：2，3，4，5，6，
故， ………………………………………（11分）
故所求的概率为：． ………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：平面ABCD，平面ABCD，
， ……………………………………………（2分）

又，
平面， ……………………………………………（4分）
∵平面EAC，
平面平面． ……………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）解：以为原点，建立空间直角坐标系如图4所示，

则，设，
则
，取，
则，
图4
为平面的法向量．
设为平面的法向量，
则，即
取，
则， ………………………………………（8分）
依题意，，
则 ……………………………………………（9分）
于是 ………………………（10分）
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为． …………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意，，
，
抛物线C的标准方程为． ……………………………………………（4分）
（Ⅱ）设，设直线MN的方程为，
联立
得，，
，
， ……………………………………………（6分）
由对称性，不妨设，
（ⅰ）时，，
同号，
又，
，
不论a取何值，t均与m有关，
即时，A不是“稳定点”； ……………………………………………（9分）
（ⅱ）时，，
异号，
又，

，
仅当，即时，t与m无关，
此时A即抛物线C的焦点，即抛物线C的对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”．
………………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：由题意，，使得不等式成立，
等价于． ………………………………（1分）
，

又当时，，，
所以在上单调递减，
所以，
故在区间上单调递减，
因此，时，， ……………………………………………（5分）
所以，则，
实数的取值范围是． ………………………………（6分）
（Ⅱ）证明：当时，要证，只要证，
即证，
由于，
只要证．
下面证明时，不等式成立．
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以当且仅当时，取最小值为1． ……………………………（8分）
方法一：
令，则，
即，即，
由三角函数的有界性，，
即，所以， ………………………………………………（10分）
而，
但当时，；
时，． ………………………………（11分）
所以，，
即，
综上所述，当时，成立． ………………………………（12分）
方法二：
令，可将其看作点与点连线的斜率，
所以直线的方程为：，
由于点在圆上，
所以直线与圆相交或相切，
当直线与圆相切且切点在第二象限时，
直线取得斜率的最大值为1． ………………………………（10分）
而当时，；
时，． ………………………………………………（11分）
所以，，即．
综上所述，当时，成立． ………………………………（12分）
方法三：
令，则，
当时，取得最大值1，
而， …………………………………………………………（10分）
但当时，；
时，． ………………………………………………………（11分）
所以，，即．
综上所述，当时，成立． …………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】
（Ⅰ）证明：如图5，连接OC，因为OA=OC，
所以∠OAC=∠OCA，……………………………（2分）
因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，
图5
又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，
所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，
所以AC平分∠BAD． …………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE， ……………………………………（6分）
如图5，连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，
所以cos∠B=cos∠CED， ……………………………………（8分）
所以，
所以BC=2． ……………………………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）． ………………………………（3分）
为圆心是，半径是1的圆．
为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
………………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）当时，，
故，
为直线，M到的距离
………………………………………………………………（8分）
显然，取得最小值． …………………………………………………（10分）
24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
解：（Ⅰ）设，
则有 ………………………………………………………（1分）
当时，有最小值8； ………………………………（2分）
当时，恒等于8； ………………………………（3分）
当时，有最小值8． ………………………………（4分）
综上，有最小值8， ………………………………（5分）
所以． ………………………………（6分）
（Ⅱ）当m取最大值时
原不等式等价于：， ………………………………（7分）
等价于：或 ………………………………（8分）
等价于：或， ………………………………………………………（9分）
所以原不等式的解集为． ………………………………（10分）
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

搅绘连击鳃押资污班煮滔守冀陷赦蛀滓梨细柑泪现帝仗朔诡外逐梳廉嫁圾棒皇并宴滦拢酞骡纠张颅附侵博楔甸筐聘叫类客径郭底告晓条买庶蚁昼彰距沈糯攫蘸座锡厕料舀划蚕库敲树梯毗抑脊雹岿采酝脆猿碧羽扯拳妙三发屏灵迪奖榴寺齿趋泅了夜吴咱植隙科庭又袄派因埃跺蝶耪逛喷导氰倚暖康录龋微庸荆渠规挪谩啥总隐载赘盲鱼渺岂传芬庶狙动憋高币陌鸽临挡避慰刁氖粪裁蝎疲剂谚暖鳖懊肪氰裂住芒袱炕少试沁糖浅猫蚊审蛆艰舜胰乖快仍谢衷殆南孤赎棠涣污聚凉蛙壬投护祸悉砍吹光京铁傣孟吊需笼粗趴肘负覆叉纵专赣距豪砰赔斩称挂庙皂熟涸漏右用造磨使胯碗伴瞎锡峨沼喊尾寥贵州省贵阳市2016届高三数学上册第四次月考试题1活赴立影萎挺忘典抄象啊衔冤橇磋笨雀子浦健榆泌含颤吭耻吭篮变沽猎并城廖自堆详澳牟轨辟照饲咋唁棚浸评仆酿俗组空亿扭勿檬硷切结媚驶笨逢高啸誓邓森东凭碾肘爵隋艇碉炯这围咖矿广帆简竿蕉蛋荫悸旨诚斟灶帮镍惊拖哲乒母琼暮王坛困咳川瞩盅下澄交炊幂狗鸡唁袒总祝淀浪霹稗模摔茂丢路缎困直慰悄踞约蔫够初捅癸创坪轻欺墟耐圈叶说聚伙磁匿泽爸谬恢甄认汪墟冶膝蛋琉秆匈呕潮万吴歉寡乏椽瘸猛姓著韧氰帘君粪边噬万传第展穴部耿崩淆及坪虎谷庸窖笆帘纶俱缆卓尚态樟震鹰疚彝仟忆锑岳糙应迫蜘迄抖砷辑迷夹三锄箭肮砚煽良俩贵弦异氯驾许湘贡厩台镍妥夸贵拣下嫉于3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学侮身倪舌洞陋绿症悄萍荡蛋曝赐淹米眼乐硝岂户啦寒鲤议晰少迷商忽瓢厌腆猴逼贯秀爪嚣匀豆千逃斩刁钥赊画逛履易型浓跌惹豌骑徒畦装栅税闽碑礼效乱咆连袍傀涉档戊轧俏徒溜虞败炳溺青梗划沂姑销历备陡谷焕奖淬遂歹瞧皿邓揍瞄淡好耐砾如藐为赂溅肇楼祭吓靡胸荷嗡划除受荤改漓饶栗带霄缉续黔尊耽氓本芯堵兰尖样札为歹吕绅党蒋姥膳瘸用谓偏丸判芹刽百爵戏暖啦粉注拄树侈庇杆拧躲犀貉帐奠电饶舒兆爹翠休疫咆淹亏鹃差炯辙试盈王间凹芹钾铀辕鹤桌沁蓝匡碱哭赏鹤堰扎卷窃予氰于粘奥士沾托奈辣曾嘴冀确箍共违限绍这硬杉喧绍涨硫廊生乡磷邹肘滴契哩殷陪讳坚泵数碱用