二次曲线的一般理论省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

主要内容主要内容二次曲线与直线相关位置二次曲线与直线相关位置二次曲线渐近方向、中心、渐近线二次曲线渐近方向、中心、渐近线二次曲线切线二次曲线切线二次曲线直径二次曲线直径二次曲线主直径与主方向二次曲线主直径与主方向二次曲线方程化简与分类二次曲线方程化简与分类用不变量化简二次曲线方程用不变量化简二次曲线方程第1页教学目标：教学目标：了解复平面特征；掌握二次曲线渐近方向、中心、渐近线、切线、直径、主方向和主直径概念及求法；搞清移轴变换和转轴变换对二次曲线方程系数影响规律，以及这两种坐标变换在化简二次曲线方程中所起作用；能判别二元二次方程所表示曲线类型，熟练地化简二次曲线方程，并写出对应变换关系式，作出其图形。教学重点：教学重点：二次曲线由渐近方向、中心、标准方程得出不一样分类方法；二次曲线方程化简、分类与作图。教学难点：教学难点：移轴变换和转轴变换对二次曲线方程系数影响规律及其在化简二次曲线方程中所起作用。第五章教学要求第2页5.1 二次曲线与直线相关位置 教学目标：教学目标：了解复平面特征；熟记二次曲线方程中相关记号；掌握二次曲线与直线相关位置及判别方法。教学重点：教学重点：二次曲线方程中相关记号及二次曲线与直线相关位置。教学难点：教学难点：二次曲线与直线位置判别方法。第3页二次曲线普通理论序言在平面上，由二元二次方程在平面上，由二元二次方程 所表示曲线，叫做所表示曲线，叫做二次曲线二次曲线。在这一章里，我们将讨。在这一章里，我们将讨论二次曲线几何性质，以及二次曲线化简，最终对二次论二次曲线几何性质，以及二次曲线化简，最终对二次曲线进行分类。曲线进行分类。一 平面上复元素平面上复元素 第4页今在复平面上引入以下复元素今在复平面上引入以下复元素 复向量：复直线：在直角系下在直角系下,一次方程一次方程ax+by+c=0(a,b为复数为复数)所表示图形所表示图形,称为复直线称为复直线;若若a,b,c与三实数对应成百分比与三实数对应成百分比,则称其为实直则称其为实直线线,不然称其为虚直线。注意不然称其为虚直线。注意:实直线能够有虚点。实直线能够有虚点。注：实直线上有没有穷多个复点，但虚直线上只有一注：实直线上有没有穷多个复点，但虚直线上只有一个实点。个实点。第5页 定比分点：共轭复元素：第6页三三 为了方便起见，特引进一些记号：为了方便起见，特引进一些记号：第7页第8页二次曲线与直线相关位置讨论二次曲线与直线交点，能够采取把直线方程代入曲线方程然后讨论关于t 方程。对或可分以下几个情况来讨论：第9页第10页第11页解解:将直将直线线化化为为参数形式参数形式得得:为为(1,0),所以直所以直线线在二次曲在二次曲线线上，即直上，即直线线上全部点均上全部点均为为交点。交点。例例 求直线求直线与二次曲与二次曲线线交点。交点。因因为为:第12页5.2 二次曲线渐近方向、中心、渐近线教学目标：教学目标：了解二次曲线渐近方向、中心、渐近线概念；了解二次曲线渐近方向、中心、渐近线概念；掌握二次曲线渐近方向、中心、渐近线求法；掌握二次曲线渐近方向、中心、渐近线求法；能依据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。能依据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。教学重点：教学重点：二次曲线渐近方向、中心、渐近线概念及求法。二次曲线渐近方向、中心、渐近线概念及求法。教学难点：教学难点：依据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。依据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。第13页5.2 5.2 二次曲线渐近方向、中心、渐近线二次曲线渐近方向、中心、渐近线1.二次曲线渐近方向二次曲线渐近方向定义定义5.2.1满足条件满足条件(X,Y)=0方向方向X:Y叫做二次叫做二次曲线渐近方向，不然叫做非渐近方向曲线渐近方向，不然叫做非渐近方向。实际实际上，上，为渐为渐近方向近方向 第14页实际实际上，上，为渐为渐近方向近方向 第15页可可见见，对椭圆对椭圆，对对双曲双曲线线 它有二不一它有二不一样实渐样实渐近方向；近方向；它有二相同它有二相同实渐实渐近方向；近方向；，它有二共它有二共轭轭复复渐渐近方向；近方向；对对抛物抛物线线对对双曲双曲线线 它也有二不一它也有二不一样实渐样实渐近方向；近方向；，第16页定义定义5.2.2没有实渐近方向二次曲线叫做椭圆型没有实渐近方向二次曲线叫做椭圆型,有一个实渐近方向二次曲线叫做抛物线型有一个实渐近方向二次曲线叫做抛物线型,有两个实渐有两个实渐近方向二次曲线叫做双曲型近方向二次曲线叫做双曲型。即即:椭圆型椭圆型:I20；抛物型抛物型:I20；双曲型双曲型:I202.二次曲线中心与渐近线二次曲线中心与渐近线定义定义5.2.3假如点假如点C是二次曲线经过它全部弦中点是二次曲线经过它全部弦中点(C是二次曲线对称中心是二次曲线对称中心)，那么点那么点C叫做二次曲线中心叫做二次曲线中心。定理定理5.2.1点点C(x0,y0)是二次曲线是二次曲线(1)中心中心，其充要其充要条件是条件是：第17页定理定理5.2.1点点C(x0,y0)是二次曲线是二次曲线(1)中心中心，其充要其充要条件是条件是：根，根，而而由弦由弦任意性任意性,第18页定理定理5.2.1点点C(x0,y0)是二次曲线是二次曲线(1)中心中心，其充要其充要条件是条件是：推论推论坐标原点是二次曲线中心，其充要条件是曲坐标原点是二次曲线中心，其充要条件是曲线方程里不含线方程里不含x与与y一次项一次项.第19页二次曲线二次曲线(1)中心坐标由下方程组决定：中心坐标由下方程组决定：假如假如I20，则，则(5.22)有唯一解，即为唯一中心坐标有唯一解，即为唯一中心坐标假如假如I20，分两种情况：，分两种情况：第20页 定义定义5.2.45.2.4 有唯一中心二次曲线叫中心二次曲线中心二次曲线,没有中心二次曲线叫无心二次曲线无心二次曲线,有一条中心直线二次曲线叫线心二次曲线线心二次曲线,无心二次曲线和线心二次曲线统称为非非中心二次曲线。中心二次曲线。二次曲线分类：二次曲线分类：第21页 渐近线求法渐近线求法1：求出中心，再求出渐近方向即可得到渐：求出中心，再求出渐近方向即可得到渐近线参数方程。近线参数方程。定义定义5.2.55.2.5 经过二次曲线中心，而且以渐近方向为方向直线叫做二次曲线渐近线。可可见见：椭圆椭圆型二次曲型二次曲线线有二共有二共轭轭复复渐渐近近线线;双曲型二次双曲型二次曲曲线线有二不一有二不一样实渐样实渐近近线线;而而对对抛物型二次曲抛物型二次曲线线,若其若其为为无无心心,则则其没有其没有渐渐近近线线,若其若其为线为线性性,则则因因为为其其渐渐近方向近方向为为，而，而这这正是中心直正是中心直线线方向，方向，它它渐渐近近线线即即为为中心直中心直线线。第22页 定理定理5.2.25.2.2 二次曲线渐近线与这二次曲线或者没有交二次曲线渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线组成点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线组成部分。部分。则则l与曲与曲线线不相交，不相交，第23页 例例1 1试证实假如二次曲线试证实假如二次曲线 a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0有渐近线，那么它两渐近线方程是有渐近线，那么它两渐近线方程是(x-x0,y-y0)a11(x-x0)2+2a12(x-x0)(y-y0)+a22(y-y0)2=0,式中式中(x0,y0)为二次曲线中心。为二次曲线中心。证实：证实：设设(x,y)为渐近线上任意一点，则曲线渐近为渐近线上任意一点，则曲线渐近方向为：方向为：X:Y=(x-x0):(y-y0)所以所以(x-x0,y-y0)=0即：即：a11(x-x0)2+2a12(x-x0)(y-y0)+a22(y-y0)2=0第24页例例2 2 求二次曲线求二次曲线x2-3xy+2y2+x-3y+4=0渐近线。渐近线。解法一解法一：由：由,解得中心为解得中心为C(-5,-3),由由(X,Y)=X2-3XY+2Y2=0解得渐近方向为解得渐近方向为:X1:Y1=2:1,X2:Y2=1:1,所以渐近线方程为所以渐近线方程为:,即即x-2y-1=0,x-y+2=0解法二解法二：同解法一求得中心为：同解法一求得中心为C(-5,-3)，由上题得渐近线为：由上题得渐近线为：(x+5,y+3)a11(x+5)2+2a12(x+5)(y+3)+a22(y+3)2=0或或(x+5)-2(y+3)(x+5)-(y+3)=0，即即x-2y-1=0,x-y+2=0第25页