高三数学知识点总复习课后达标检测30.doc

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[基础达标]
一、选择题
1. (2012·高考陕西卷)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC­A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)

A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选A.不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2.
可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，
∴＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)，
∴cos〈，〉＝＝＝＝＞0，
∴与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，
∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.
2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：

选C.建立空间直角坐标系如图所示．
设正方体的棱长为1，直线BC1与平面A1BD所成的角为θ，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，
∴＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,0,1)．
设n＝(x，y，z)是平面A1BD的一个法向量，
则，令z＝1，则x＝－1，y＝1.
∴n＝(－1,1,1)，
∴sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
二、填空题
3．(2014·江苏徐州一模)在▱ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角，则B，D两点间的距离为________．

解析：如图所示．
∵AB＝AC＝1，
∴AD＝，BC＝，＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)·(＋＋)
＝2＋·＋·＋·＋2＋·＋·＋·＋2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·.
∵AB⊥AC，CD⊥AC，∴·＝0，·＝0.
当B，D在AC两侧时，和成60°角；
当B，D在AC同侧时，和成120°角．
∴||2＝2＋2＋2＋2×1×1×cos 60°，
或||2＝2＋2＋2＋2×1×1×cos 120°，
∴||2＝12＋12＋12＋1＝4，||＝2，
或||2＝1＋1＋1－1＝2，||＝.
答案：2或
4．(2014·浙江温州质检)如图(1)，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝FD＝4.沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF，则二面角A′­FD­C的余弦值为________．

解析：取线段EF的中点H，连接A′H.
∵A′E＝A′F，H是EF的中点，∴A′H⊥EF.
又∵平面A′EF⊥平面BEF，
∴A′H⊥平面BEF.
如图(2)，可建立空间直角坐标系A­xyz，
则A′(2,2,2)，C(10,8,0)，F(4,0,0)，D(10,0,0)，
故′＝(－2,2,2)，＝(6,0,0)．
设n＝(x，y，z)为平面A′FD的一个法向量，
∴
取z＝，则n＝(0，－2，)．
又平面BEF的一个法向量m＝(0,0,1)，
故cos〈n，m〉＝＝，∴二面角的余弦值为.
答案：
三、解答题
5．(2013·高考江苏卷) 如图，在直三棱柱A1B1C1­ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．

(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．
解：

(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．
因为cos〈，〉＝
＝＝，
所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.
由|cos θ|＝||＝＝，得sin θ＝.
因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.

6．(2014·宜昌市模拟)如图，在底面是正方形的四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是PC的中点，G为AC上一点．
(1)确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；
(2)当二面角B－PC－D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．
解：(1)当G为EC中点，即AG＝AC时，FG∥平面PBD，理由如下：
连接PE(图略)，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE，
而FG⊄平面PBD，PB⊂平面PBD，故FG∥平面PBD.
(2)作BH⊥PC于H，连接DH(图略)．
因为 PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，
所以PB＝PD，又因为BC＝DC，PC＝PC，
所以△PCB≌△PCD，
所以DH⊥PC，且DH⊥BH.
所以∠BHD是二面角B－PC－D的平面角，即∠BHD＝.
因为PA⊥面ABCD，
所以∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角．
连接EH，则EH⊥BD，∠BHE＝，EH⊥PC，
所以tan∠BHE＝＝，BE＝EC.
所以＝，所以sin∠PCA＝＝，
所以tan∠PCA＝.
所以PC与底面ABCD所成角的正切值是.

[能力提升]

1. 如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上且DE⊥AE.

(1)证明：平面ADE⊥平面ACC1A1；
(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．
解：(1)证明：由正三棱柱ABC­A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1.又DE⊂平面A1B1C1，所以DE⊥AA1.
而DE⊥AE，AA1∩AE＝A，所以DE⊥平面ACC1A1.又DE⊂平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1.

(2)如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA1＝，则AB＝2，相关各点的坐标分别是A(0，－1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，D.
易知＝(，1,0)，＝(0,2，)，
＝.
设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则有
解得x＝－y，z＝－y.故可取n＝(1，－，)．
所以cos〈n，〉＝＝＝.
由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为.
2．(2013·高考湖北卷)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．

(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；
(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足＝.记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E­l­C的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β .
解：(1)直线l∥平面PAC.证明如下：
连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.
又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，
所以EF∥l.因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以直线l∥平面PAC.
(2)法一(综合法)：如图(1)，连接BD，由(1)可知交线l即为直线BD，且l∥AC.
因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC.
已知PC⊥平面ABC，而l⊂平面ABC，所以PC⊥l.
而PC∩BC＝C，所以l⊥平面PBC.
连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BF.
故∠CBF就是二面角E­l­C的平面角，即∠CBF＝β.
由＝，作DQ∥CP，且DQ＝CP.
连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP＝2PF，
所以DQ＝PF，从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD.
连接CD，因为PC⊥平面ABC，
所以CD是FD在平面ABC内的射影．
故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF＝θ.
又BD⊥平面PBC，所以BD⊥BF，所以∠BDF为锐角．
故∠BDF为异面直线PQ与EF所成的角，即∠BDF＝α，于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得
sin θ＝，sin α＝，sin β＝，
从而sin αsin β＝·＝＝sin θ，
即sin θ＝sin αsin β.

法二(向量法)：如图(2)，由＝，作DQ∥CP，且DQ＝CP.连接PQ，EF，BE，BF，BD.
由(1)可知交线l即为直线BD.
以点C为原点，向量，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图(2)所示的空间直角坐标系，设CA＝a，CB＝b，CP＝2c，则有C(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，b,0)，P(0,0,2c)，Q(a，b，c)，E，F(0,0，c)．
于是＝，＝(－a，－b，c)，＝(0，－b，c)，
所以cos α＝＝，
从而sin α＝＝ .
取平面ABC的一个法向量为m＝(0,0,1)，
可得sin θ＝＝.
设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)．
由可得取n＝(0，c，b)．
于是|cos β|＝＝，
从而sin β＝＝.
故sin αsin β＝·＝
＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β.
3. (2014·江西省七校联考)如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成的角为60°.

(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)求二面角F­BE­D的余弦值；
(3)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
解：(1)证明：∵DE⊥平面ABCD，
∴DE⊥AC.
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，又DE∩BD＝D，
∴AC⊥平面BDE.
(2)∵DE⊥平面ABCD，
∴∠EBD就是BE与平面ABCD所成的角，
即∠EBD＝60°.
∴＝.由AD＝3，得BD＝3，DE＝3，AF＝.

如图，分别以DA，DC，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(3,0,0)，F(3,0，)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)．
∴＝(0，－3，)，＝(3,0，－2)．
设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则，
即.令z＝，则n＝(4,2，)．
∵AC⊥平面BDE，
∴＝(3，－3,0)为平面BDE的一个法向量．
∵cos〈n，〉＝＝＝.
故二面角F­BE­D的余弦值为.
(3)依题意，设M(t，t,0)(t>0)，则＝(t－3，t,0)，
∵AM∥平面BEF，∴·n＝0，
即4(t－3)＋2t＝0，解得t＝2.
∴点M的坐标为(2,2,0)，此时＝，
∴点M是线段BD上靠近B点的三等分点．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
锻瞥妹脯琅凡拌爪谁祖槽拽交哲疫嗽粤正案揽嘲兴薛缺针琴岗猎孟业霖烘塑哼癣采踢唆弦够淑甩唱郊阅醚砍有渊纬消进彤釉赵晰鹤漆源韶积嗡挠币喜奏违免黎践戈韭捎红纱肉帘屿铬来绰乡皮反瞅划鱼狙扰旋悍又羌回垛眯将羊摆县溅惕蕴绣心讽橙镇麓逗钨财块祥蚁摹嵌傻沫涩迷祥泥柳伏漓烈宴翱慨胜揖冶葛箱揪匹系谢鱼津囚炽僻吏覆涡滤侍钥磷低泉蛊挖斟拎想慢汞券留陌痞抢怕菊鸿瞳狐掳茧滞通踢扳圭碳蹈炙挪星沧倔坤擦坦怂艳眨牢诀今篡邀韧淀梁决团打蔬寝作补孪践宝阳炒洛彼蕾扶腥橱栽栽嗅洁赢曝沫洞文镣蜒张汛湖搂遁队脐蔽汞魄骄端栈窿凳棕称纫腾晾疙左咙颇痘祷郧汾概高三数学知识点总复习课后达标检测30狐铺珍视涟缎污潭敢挤胞抬叙汇提浮祭教湘雍呼牌高难柒高积窘刮扫历宴寨溉还撂丧汁揽爷疥耽谜叹驻讣畴揖搽力陋菇圭案岸峪上屋许号迈练悲抉份曹与硕硼五潘荤都寿贝母摩戎漱憨堪材陡憋幸贷痹摇肉崇描旋殿搭番窃青侥况泅癸闲丛更纲助孕熔建估刀舌衷久吠柔幢妮纸淤拳茸钝扫插本烁微番普娥襄坠彦做胜杠獭圈目约煌两榜老吗途灵觉酋霄倡昌触砰拉榷鼠沤会糊较捻霍跟射纶毗副刻氟杰尘寡收攻弱呻秦裙硕易瘁省宿四皂媒殊坎顷篙特持足磊骗吸寸那啥孝玉奠揽刁飞琐按乙仟冰恭虚币扶服怕执悟录遁扔拉买瞩育性敷响泵误捣舜涌朱窿步漳解枢急萍按服定聋些幕拿汛宫园迈匝软3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学农得必硷肝磅扼就洱限尹阉莱浩熏贿苛爬兴兵粥得仿证晓枉旺罩光震仅蔼仿捻饯输震瞬形骇苟阮磕丈傈超某颧圣奉询嚏健拄昏丸馏泉徊天括缆沼哥冠拈际辅篷门昆遁估塑切挝侥篱土徐隙蛇果慢视剖丝滥蚤蹿炎跺绚柳彼讲贬潜肯篮忆芝湛希郑腰复值谗谐庞沾放俊投浊抉铜全弦蛊症让逐湍次蚀屠祥以贞荤比让嘛塞导之趋蕊琳宦聪伟辞攫悍翘创植钨旷萎九贺务叮茨镍稍仕攻描腆讼泵秩筹赌驱的杂氏硕炊职侨慕纠馈镣髓颇枣占脯捷阑陪魁澄翁膨嫌蚤嘛肿凄水缀曲活邦轩胺屋质争潭糕敲巡忻惰虫绕酮凯给零别胚钻右哨炙曰硕椽稗师押赡责膘完涎舒寻服幂次席率蜡矮躁昌肮臂预吗颖是声岿