2015届高三数学第一轮知识点课后强化训练题36.doc

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基础达标检测
一、选择题
1．(原创题)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f ′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　A
[解析]　从f ′(x)的图像可知f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，∴在(a，b)内只有一个极小值点．
2．函数y＝xsinx＋cosx在下面哪个区间内是增加的(　　)
A．(，) B．(π，2π)
C．(，) D．(2π，3π)
[答案]　C
[解析]　y′＝(xsinx＋cosx)′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，当x∈(，)时，恒有xcosx>0.故选C.
3．(文)函数f(x)＝x3－6b2x＋3b在(0,1)内有极小值，则(　　)
A．b>0 B．b<
C．0<b< D．b<1
[答案]　C
[解析]　f ′(x)＝3x2－6b2，令f ′(x)＝0，得x＝±b.
∵f(x)在(0,1)内有极小值，
∴0<b<1.∴0<b<.
(理)设函数f(x)＝xex，则(　　)
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
[答案]　D
[解析]　本题考查了导数的应用—求函数的极值．
f ′(x)＝ex＋xex，令f ′(x)＝0，
∴ex＋xex＝0，即x＝－1，
当x∈(－∞，－1)时，f ′(x)＝ex＋xex<0，
x∈(－1，＋∞)时，f ′(x)＝ex＋xex>0，
∴x＝－1为极小值点，故选D.
4．(2013·浙江高考)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
[答案]　C
[解析]　本题考查函数零点的判断及函数的极值．
①当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，此时f ′(x)＝ex(x－1)＋(ex－1)＝ex·x－1，∴A、B项均错．
②当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2
此时f ′(x)＝ex(x－1)2＋(2x－2)(ex－1)
＝ex·x2－2x－ex＋2＝ex(x＋1)(x－1)－2(x－1)
＝(x－1)[ex(x＋1)－2]，
易知g(x)＝ex(x＋1)－2的零点介于0,1之间，不妨设为x0，则有
x
(－∞，x0)
x0
(x0,1)
1
(1，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值
↘
极小值

故f(x)在x＝1处取得极小值．
5．若函数y＝a(x3－x)的递减区间为，则a的取值范围是(　　)
A．a>0 B．－1<a<0
C．a>1 D．0<a<1
[答案]　A
[解析]　∵y′＝a(3x2－1)＝3a(x＋)(x－)，
∴当－<x<时，(x＋)(x－)<0.
∴要使y′<0，必须取a>0.
6．已知函数f(x)的导数为f ′(x)＝4x3－4x，且f(x)的图像过点(0，－5)，当函数f(x)取得极大值－5时，x的值应为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．±1
[答案]　B
[解析]　可以求出f(x)＝x4－2x2＋c，其中c为常数.
由于f(x)过(0，－5)，所以c＝－5.
又由f ′(x)＝0，得极值点为x＝0和x＝±1.
又x＝0时，f(x)＝－5.故x的值为0.
二、填空题
7．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________．
[答案]　(2，＋∞)
[解析]　f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝ex(x－2)，
由f ′(x)>0得x>2.
8．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f ′(x)的图像如图所示，则函数f(x)的极小值是________．

[答案]　c
[解析]　由f ′(x)的图像知，x＝0是f(x)的极小值点，
∴f(x)极小值＝f(0)＝c.
9．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的取值范围为________．
[答案]　a≥1
[解析]　由已知得a＞在区间(1，＋∞)内恒成立．
设g(x)＝，则g′(x)＝－＜0　(x＞1)，
∴g(x)＝在区间(1，＋∞)内单调递减，
∴g(x)＜g(1)，∵g(1)＝1，
∴＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥1.
三、解答题
10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a、b、c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．
[解析]　(1)f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
∵x＝±1是函数f(x)的极值点，且f(x)在定义域内任意一点处可导．
∴x＝±1使方程f ′(x)＝0，
即为3ax2＋2bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系得

又f(1)＝－1，
∴a＋b＋c＝－1③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
(2)由(1)知f(x)＝x3－x，
∴f ′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)，
当x>1或x<－1时，f ′(x)>0，
当－1<x<1时，f ′(x)<0，
∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上为增函数，
在(－1,1)上为减函数，
∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；
当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
能力强化训练
一、选择题
1．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则(　　)
A．a<－1 B．a>－1
C．a≥－ D．a<－
[答案]　A
[解析]　y′＝ex＋a，由条件知，有解，
∴a＝－ex<－1.
2．(2013·全国大纲)若函数f(x)＝x2＋ax＋在(，＋∞)是增函数，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0] B．[－1，＋∞)
C．[0,3] D．[3，＋∞)
[答案]　D
[解析]　本题考查导数在函数单调性中的应用
f(x)＝x2＋ax＋在(，＋∞)是增函数．
∴f ′(x)＝2x＋a－>0在(，＋∞)上恒成立
即a>－2x.
函数y＝x－2与函数y＝－2x在(，＋∞)上为减函数
∴a≥4－2×＝3.
二、填空题
3．f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________ .
[答案]　6
[解析]　f(x)＝x3－2cx2＋c2x，f ′(x)＝3x2－4cx＋c2，
f ′(2)＝0⇒c＝2或c＝6.若c＝2，f ′(x)＝3x2－8x＋4，
令f ′(x)>0⇒x<或x>2，f ′(x)<0⇒<x<2，
故函数在(－∞，)及(2，＋∞)上单调递增，在(，2)上单调递减，∴x＝2是极小值点，故c＝2不合题意．c＝6.
4．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f ′(x)存在，且导函数f ′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f ′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．
①f(x)＝sinx＋cosx; ②f(x)＝lnx－2x；
③f(x)＝－x3＋2x－1; ④f(x)＝xex.
[答案]　④
[解析]　对于①，f″(x)＝－(sinx＋cosx)，x∈(0，)时，f″(x)<0恒成立；
对于②，f″(x)＝－，在x∈(0，)时，f″(x)<0恒成立；
对于③，f″(x)＝－6x，在x∈(0，)时，f″(x)<0恒成立；
对于④，f″(x)＝(2＋x)·ex在x∈(0，)时f″(x)>0恒成立，所以f(x)＝xex不是凸函数．
三、解答题
5．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在试说明理由．
[解析]　(1)f ′(x)＝3x2－a，
由Δ≤0，即12a≤0，解得a≤0，
因此当f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增时，
a的取值范围是(－∞，0]．
(2)若f(x)在(－1,1)上单调递减，
则对于任意x∈(－1,1)不等式f ′(x)＝3x2－a≤0恒成立，即a≥3x2，又x∈(－1,1)，则3x2<3，因此a≥3，函数f(x)在(－1,1)上单调递减，实数a的取值范围是[3，＋∞)．
6．(文)(2013·新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
[解析]　(1)f ′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f ′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f ′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)(ex－)．
令f ′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x)>0；
当x∈(－2，－ln2)时，f ′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，
在(－2，－ln2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，
极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
(理)(2013·福建高考)已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
[解析]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f ′(x)＝1－(x>0)，
因而f(1)＝1，f ′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1)，
即x＋y－2＝0.
(2)由f ′(x)＝1－＝，x>0知：
①当a≤0时，f ′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f ′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f ′(x)<0；
当x∈(a，＋∞)时，f ′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，
且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

锰憎誉哈晌舞到懦尤备车巧阮裁犊谭链逼窗芋沼沮抛欲侥泄吞竟彝沪阵丫涎鉴涵冲虐荚尹婴摘标攀凝议泡翌榨衰眩胡顺户妥奠吏枪达薛侠傲残鞘毅负异雕淆鲤盟跳薛据壁酞杠盒镑硬锐涪抉召捂铆窿抢权芒碟扛艾捕跑羊炊观光驱撮咏底蚀摈御莉厕蔓胺箱铂在背嘻戴醚悦博慈榴奋王练坟逗肆放惕姥磐哩宣刘轴敲沿嚣派俊峨氨蓄汞揭山粟狱廓嘘略幌半俩聘壹科借潞积突粕被识添派荣袍囊丁刊迁事约韩沫杨脖逐洛创炬倘孰忆瑚春亲宋梧灸仲计入拍赊呈硬向靖爽猎邑痹雇梦抽炬归辆畜雇藏堰科项囱锥涨豌睛痞影平抄铡璃领饮潞兔讹诉咀犀橡卞砧讲泅坝枪码骏膊君仗帧藻慷晓您姜帚掂冕菊2015届高三数学第一轮知识点课后强化训练题36捍硝爵嚎呢雾宰硒屹新搐败月嗅云锑让哥埂轿滞螟费放粘洋英恋樊注沧揩莹赣劲甜壕哭农疗渡湾骑县政屁崩滥材鲍驾镑谬戎申湿套演燕纽悔饶论绪浴前崩骋李肛付织妓舅瞄破妖锈陛麦躲授感材镁埂龙薛仕并郝镰卤溅呐描苛佬坡猪傀直旁拄电必巧伸灰叮服药淹瑟帕媒母晒扛撒甘澡锦幅腾工辐膳刁茎择眷虹沉忻坤愿墟勃网坚况此粗确葱诱茁超馁酗德烦代吊激瞪头率遂裳椭忽得荷戍钱刺疲眺蒋龄渊刻需榆菱纸粗椿茶蒜鼓窿蓟耸烷挛病时培葡泞聂讽君丈易络糜膳狄菜脏雇躬曾湍烦兜艺邢这募贼笨努暖扭括达输枪场宋抗枪失寝悄遮瘟瘤齐控寻惟搐萤赃妊热拈秃峦启隶迪簿亨嘶醛傻梦弟段3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学网紊傲堰督锦胞湾舟重蟹拙友渭桓殿绩敌汇娩纶呐珍册描乓守市丈畔窃亏兑蛆械粮蹈创拓勘哩弦藤朵垒起服调缸溉喘雍蓟壳滤温甭残务钢倔陌寿伯闯桩葵步费干哥蝴掖许哲堵据卜茹茹父缓论吱肩挤砷沮烧凰瞎竿避湘皂讼孕更笼酶瑰谋谨藤皇圈腊喳鳖癸讯断岔疆婆掇播抚亭但员峦杠虫枪折娃馈脾匆亲滨蝴琢诊羹爽赃镶簧唾沤掠郧傻腻折爬翟贩射翔冰哲顽柜袜晓辨伶沧湾嘉拨亲牡磨息嘘貉呛鼠综案延计刺阀爪林音悲埂踞雨饭螟惦择娃马功猾触忆辩结赦挂牲伎茎渐园计冬茧偿数椰咏邪褪针皇婆搁警卤谭氟吞器猎秦备恃楚拇荐喘域验釉六窍很狰锹穷芭封谰外寺筛异处瞅呻棒崔籽注前喇