2015届高考数学第一轮基础巩固训练题54.doc

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第3讲　三角函数的图象与性质

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数f(x)＝2sin xcos x是 (　　)．
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
解析　f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x，即函数为最小正周期为π的奇函数．
答案　C
2．(2014·南昌模拟)已知函数f(x)＝sin －1(ω＞0)的最小正周期为，则f(x)的图像的一条对称轴方程是 (　　)．
A．x＝　 B．x＝　
C．x＝　 D．x＝
解析　依题意得，＝，|ω|＝3，又ω＞0，因此ω＝3，所以3x＋＝kπ＋，解得x＝＋，当k＝0时，x＝.
因此函数f(x)的图像的一条对称轴方程是x＝.
答案　A
3．已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函数，则θ的值为 (　　)．
A．0　 B．　
C．　 D．
解析　据已知可得f(x)＝2sin，若函数为偶函数，则必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝，经代入检验符合题意．
答案　B
4．(2014·济南调研)已知f(x)＝sin2 x＋sin xcos x，则f(x)的最小正周期和一个单调增区间分别为 (　　)．
A．π，[0，π]　 B．2π，
C．π，　 D．2π，
解析　由f(x)＝sin2x＋sin xcos x
＝＋sin 2x
＝＋＝＋sin.
∴T＝＝π.又∵2kπ－≤2x－≤2kπ＋，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)为函数的单调递增区间．故选C.
答案　C
5．(2014·榆林模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则f等于 (　　)．
A．2或0　 B．－2或2　　
C．0　 D．－2或0
解析　由f＝f知，函数图像关于x＝对称，f是函数f(x)的最大值或最小值．
答案　B
二、填空题
6．函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________．
解析　要使函数有意义必须有
即解得
∴2kπ＜x≤＋2kπ(k∈Z)，
∴函数的定义域为.
答案　(k∈Z)
7．函数y＝(0＜x＜π)的最小值为________．
解析　令sin x＝t∈(0,1]，则函数y＝1＋，t∈(0,1]．又y＝1＋在t∈(0,1]上是减函数，所以当t＝1时，y取得最小值2.
答案　2
8．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图像的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是______．
解析　由两三角函数图像的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin，那么当 x∈时，－≤2x－≤，
所以－≤sin(2x－)≤1，故f(x)∈.
答案　
三、解答题
9．(2013·宝鸡模拟)已知函数f(x)＝(sin2 x－cos2x)－2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)设x∈，求f(x)的单调递增区间．
解　(1)∵f(x)＝－(cos2x－sin2 x)－2sin xcos x
＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin，
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)∵x∈，∴－≤2x＋≤π，
当y＝sin单调递减时，f(x)单调递增．
∴≤2x＋≤π，即≤x≤.
故f(x)的单调递增区间为.
10．(1)求函数y＝2sin 的值域；
(2)求函数y＝sin x＋cos x＋sin xcos x的值域．
解　(1)∵－＜x＜，∴0＜2x＋＜，
∴0＜sin≤1，
∴y＝2sin的值域为(0,2]．
(2)y＝sin xcos x＋sin x＋cos x
＝＋sin
＝sin2＋sin－
＝2－1，所以当sin＝1时，
y取最大值1＋－＝＋.
当sin＝－时，y取最小值－1，
∴该函数值域为.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2013·西工大附中模拟)设ω＞0，m＞0，若函数f(x)＝msin cos在区间上单调递增，则ω的取值范围是 (　　)．
A． 　 B．
C．　 D．[1，＋∞)
解析　f(x)＝msin cos ＝msin ωx，若函数在区间上单调递增，则＝≥＋＝，即ω∈.
答案　B
2．已知函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于 (　　)．
A．　 B．　
C．2　 D．3
解析　∵f(x)＝2sin ωx(ω＞0)的最小值是－2，此时ωx＝2kπ－，k∈Z，∴x＝－，k∈Z，∴－≤－≤0，k∈Z，∴ω≥－6k＋且k≤0，k∈Z，∴ωmin＝.
答案　B
二、填空题
3．已知定义在R上的函数f(x)满足：当sin x≤cos x时，f(x)＝cos x，当sin x＞cos x时，f(x)＝sin x.
给出以下结论：
①f(x)是周期函数；
②f(x)的最小值为－1；
③当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值；
④当且仅当2kπ－＜x＜(2k＋1)π(k∈Z)时，f(x)＞0；
⑤f(x)的图像上相邻两个最低点的距离是2π.
其中正确的结论序号是________．
解析　易知函数f(x)是周期为2π的周期函数．
函数f(x)在一个周期内的图像如图所示．

由图像可得，f(x)的最小值为－，当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最小值；当且仅当2kπ－＜x＜(2k＋1)π(k∈Z)
时，f(x)＞0；f(x)的图像上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是①④⑤.
答案　①④⑤
三、解答题
4．(2013·宜春模拟)已知函数f(x)＝a＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；
(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．
解　f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b
＝asin＋a＋b.
(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，依题意知a≠0.
(ⅰ)当a＞0时，∴a＝3－3，b＝5.
(ⅱ)当a＜0时，
∴a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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