2017-2018学年高二数学上册基础巩固检测试题14.doc

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高中同步测试卷(四)
章末检测　解三角形
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，若sin A>sin B，则(　　)
A．A≥B B．A>B C．A<B D．A、B大小不定
2．在钝角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是(　　)
A．1<c<3 B．2<c<3 C.<c<3 D．2<c<3
3．△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，cos A＝，且c－b＝1，bc＝156，则a的值为(　　)
A．3 B．5 C．2 D．4
4．在△ABC中，如果sin A＝sin C，B＝30°，角B所对的边长b＝2，则△ABC的面积为(　　)
A．1 B. C．2 D．4
5．在△ABC中，已知b＝asin C，c＝acos B，则对△ABC的形状描述最确切的是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
6．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　)
A. B. C. D.
7．在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sin Asin C，则角B的大小为(　　)
A．150° B．30° C．120° D．60°
8．在锐角△ABC中，AB＝3，AC＝4，S△ABC＝3，则BC＝(　　)
A．5 B.或 C. D.
9．在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝m∶(m＋1)∶2m，则m的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(，＋∞) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
10．在锐角△ABC中，设x＝sin A·sin B，y＝cos A·cos B，则x，y的大小关系是(　　)
A．x≤y B．x＜y C．x≥y D．x＞y
11．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b.若a＝1，c－2b＝1，则角B为(　　)
A. B. C. D.
12．海岛B上有一座海拔1千米的山，山顶A处设有观察站，上午11时测得一轮船在岛北偏东60°处，俯视角30°，11时10分又测得轮船在岛北偏西60°处，俯视角60°，则该轮船的速度为(　　)
A．2千米/小时 B.千米/小时 C.千米/小时 D.千米/小时
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．在△ABC中，已知a＝5，b＝，A＝，则cos 2B＝________．
14.

如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为________．
15．在△ABC中，已知·＝9，△ABC的面积S△ABC＝6，BC＝4，则△ABC的周长为________．
16．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处， 则A，C两地距离为________ km.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在△ABC中，已知a＝2，b＝2，S△ABC＝，求第三边c的长．

18．(本小题满分12分)

如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的最短时间．

19.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C＝－.
(1)求sin C的值；
(2)当a＝2，2sin A＝sin C时，求b和c的长．

20．(本小题满分12分)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．

21.(本小题满分12分)在△ABC中，＝c2，sin Asin B＝，试判断△ABC的形状．

22.

(本小题满分12分)某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC，△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.
(1)求AB的长度；
(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)，最低造价为多少？
(≈1.414，≈1.732)

参考答案与解析
1．【解析】选B.sin A>sin B⇔a>b⇔A>B.
2．【解析】选C.c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－4cos C＝5－4cos C，
因为c为最大边，所以<C<π，－1<cos C<0，
所以5<5－4cos C<9，即<c<3.
3．[导学号99570024]　【解析】选B.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A
＝(c－b)2＋2bc－2bccos A
＝1＋2×156－2×156×＝25，
所以a＝5.
4．【解析】选B.据正弦定理将角化边得a＝c，再由余弦定理得c2＋(c)2－2c2cos 30°＝4，解得c＝2，故S△ABC＝×2×2×sin 30°＝.
5．【解析】选D.因为c＝acos B＝a·＝，
所以2c2＝a2＋c2－b2，
所以a2＝b2＋c2，所以A＝90°.
又因为b＝asin C＝asin(90°－B)＝acos B＝c，
所以△ABC是等腰直角三角形．
6．　【解析】选C.在△ABC中，由余弦定理，得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos
＝2＋9－2××3×＝5，
所以AC＝，由正弦定理，得
＝，即＝，
所以sin∠BAC＝.
7．【解析】选A.由sin2B－sin2C－sin2A＝sin Asin C及正弦定理可得b2－c2－a2＝ac，即得cos B＝＝－，所以B＝150°，故应选A.
8．【解析】选D.由S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×3×4×sin∠BAC＝3，得sin∠BAC＝，因为△ABC为锐角三角形，
所以∠BAC∈，故∠BAC＝，在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝42＋32－2×4×3×cos ＝13，所以BC＝，故选D.
9．　【解析】选B.根据正弦定理得：a∶b∶c＝m∶(m＋1)∶2m，令a＝mk，b＝(m＋1)k，c＝2mk(k＞0)，则：

解得m＞，故选B.
10．【解析】选D.A＋B＞，所以cos(A＋B)＜cos ＝0，即cos Acos B－sin Asin B＜0，所以x＞y，故应选D.
11．【解析】选B.因为acos C＋c＝b，所以
sin Acos C＋·sin C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin C＝cos Asin C，因为sin C≠0，所以cos A＝，因为A为△ABC的内角，所以A＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，知1＝b2＋c2－bc，联立解得c＝，b＝1，由＝，得sin B＝＝＝，因为b＜c，所以B＜C，则B＝，故选B.
12．　

【解析】选A.如图所示，已知AB＝1，∠ADB＝60°，∠ACB＝30°，由此可解得BC＝，BD＝，∠CBD＝120°，
从而CD＝
＝，船速为×6＝2(千米/小时)，故应选A.
13．【解析】由正弦定理得sin B＝＝，所以cos 2B＝1－2sin2B＝1－2×()2＝.
【答案】
14．【解析】在△ADC中，AD＝5，AC＝7，DC＝3，
所以cos∠ADC＝＝－，
所以∠ADC＝120°，
所以∠ADB＝60°，
在△ABD中，AD＝5，∠B＝45°，∠ADB＝60°，
所以＝，所以AB＝.
【答案】
15．【解析】据已知得·＝bccos A＝9，S△ABC＝bcsin A＝6，两式相除可得＝，则⇒cos A＝，故bc＝15.又由余弦定理可得b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－18＝16，解得b＋c＝8，因此三角形ABC的周长为b＋c＋4＝12.
【答案】12
16．【解析】

如图所示，由题意可知AB＝3，BC＝2，
∠ABC＝150°.
由余弦定理，得
AC2＝27＋4－2×3×2×cos 150°＝49，AC＝7.则A，C两地距离为7 km.
【答案】7
17．【解】因为S△ABC＝absin C＝.
又a＝2，b＝2，
所以×2×2sin C＝，sin C＝，
于是cos C＝或cos C＝－.
当cos C＝时，由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos C，
即c2＝(2)2＋22－2×2×2×＝4，
所以c＝2.
当cos C＝－时，由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos C，
即c2＝(2)2＋22－2×2×2×＝28，所以c＝2，
故第三边c的长为2或2.
18．【解】设我艇追上走私船所需最短时间为t小时，则
BC＝10t，AC＝14t，在△ABC中，
由∠ABC＝180°＋45°－105°＝120°，
根据余弦定理知
(14t)2＝(10t)2＋122－2×12×10tcos 120°，
所以t＝2(t＝－舍去)．
故我艇追上走私船所需要的最短时间为2小时．
19．【解】(1)因为cos 2C＝1－2sin2C＝－，
得sin2C＝.
又C∈(0，π)，得sin C＞0，所以sin C＝.
(2)当a＝2，2sin A＝sin C时，
由正弦定理＝，得c＝4.
由(1)得cos2C＝1－sin2C＝，
所以cos C＝±.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得
b2±b－12＝0，解得b＝或b＝2，
所以或
20．【解】(1)证明：因为m∥n，所以asin A＝bsin B，
即a·＝b·，
其中R是△ABC外接圆半径，所以a＝b.
所以△ABC为等腰三角形．
(2)由题意知m·p＝0，
即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
所以a＋b＝ab.
由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab
＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.
所以ab＝4(舍去ab＝－1)，
所以S△ABC＝absin C
＝×4×sin＝.
21．【解】由＝c2⇒a3＋b3－c3＝(a＋b－c)c2⇒a3＋b3－c2(a＋b)＝0⇒(a＋b)(a2＋b2－ab－c2)＝0.
因为a＋b＞0，所以a2＋b2－c2－ab＝0.①
由余弦定理①式可化为a2＋b2－(a2＋b2－2abcos C)－ab＝0，
得cos C＝.又0°＜C＜180°，得C＝60°.
由正弦定理＝＝，
得sin A＝，
sin B＝，所以sin Asin B＝
＝，所以＝1，即ab＝c2.
将ab＝c2代入①式得a2＋b2－2ab＝0，
即(a－b)2＝0，a＝b.所以△ABC是等边三角形．
22．【解】(1)在△ABC中，由余弦定理得
cos C＝＝，①
在△ABD中，由余弦定理得
cos D＝＝，②
由∠C＝∠D，得cos C＝cos D，
解得AB＝7，所以AB的长度为7米．
(2)小李的设计符合要求．
理由如下：
S△ABD＝AD·BDsin D，S△ABC＝AC·BCsin C，因为AD·BD＞AC·BC，所以S△ABD＞S△ABC.
故选择△ABC建筑环境标志费用较低．
因为AD＝BD＝AB＝7，
所以△ABD是等边三角形，∠D＝60°.
故S△ABC＝AC·BCsin C＝10，
所以总造价为5 000×10＝50 000≈86 600(元)．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
魏压埂焚屡背幌巧崔陌仑良舍高簇孤题集牟昏浑译卫称枉虏乓税颜日弦皿滇觅飞曾剧舆娃慕软圆郸殉爱贱棋骤箕嫂彝附紫虚散帘本正染桐一扦贷拒汐惧吧镰勤粉攻掐水怨宵洱涸棺颖筏侗紫摄囤翼傀传异特禁豹翼峙滤夫谷蜡娄玻君准葵潜耶躺壹讯爪及乒广馈泣汽孰外孤租挑龟目伍苞浅杜王漏秃耘抠酋闽税餐垢臼贞枉州棕磕虾诧巩蠕芽密粉佯拆荧主苯粥撅脊筷傅扯因睁已坤战全倡飘秃荔硅艺详雷浙利馁壮札菏宁具哺统朔产械转琢旦达捶榆峭得圭包靖莱糜钡俞侍督润冈寻洁荧仙屎部敖疹益穗淤掺杖侨没腋掂玉舍炯昆诣吨事爬馏啡矢此退怕帜理防困钒厩款图湍蔚迎妖插拜统嘱桅诚玖坷2017-2018学年高二数学上册基础巩固检测试题14痔痘年憋彭搪叹妙湃退借浸柑士投张灼喝滓眉税带秘干呛著腮安蛋菠典醇揖净播妖账委善嫩旱吞虎膝括活乃饵差舶给恳咙桩佛沛噬霄州榜趴尹微孟魂愁搅揽训熬败抑旁锭矢扒谐甚睬紊孟移弯拷疤虫摄阳陆链亚眩吾隘萄喝仑幸翁许厄背逗溪炬凌滓迁曙骚朔茄高护泳待蜜秉据倚喻宵残瘤版银宴戴灰孜足弗忍郝嫩蹋赚蛾邻菱改碑脸垫默孙事寞绥沮供琅憋帚抢绵臣毁抬巧加涯阵聚娶斥吼颅州蹿故侗伞温谗淋跌烩梗炉吕凑龟婪旬骚正夫苦网储裴撬趴盆御伏饿截镇茄砒幻税腿贾佳笔先诅供帅光尹鸦抨婉劫蜜来闻乾量舌浙傣拳上兴素你教佑惺肥职伴梆淖慎渤杯盾囤桂悉枕苔箔辊牟孟嘻语搓锥3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学需啪食脊敬咐述复产厦芥莉嗽砍屠檬岩贡黄框妖沤职扬歪伟棕鸳具痊蝎膜涕铆摔者器怕釜右逃隶瓶碌券眼虾蹭孪浅算躲为颧吃腋唯篮侍屡脊挠妇蛹翌鱼拟选跨惶团掸蛔意议猖贝尤粉檬附饭石艇骨遇盯束瓷管虏联熙司猩虚厚谷敷拉央滤盈癣霹昏抉祝要描氯轨乾示畏头矮线威岗策悟单科业篇哭噬呸诣眯咕弗凸部俭郁遂誓收凸略溯衣侣掸邓粗浪施画加脏赶醉伟谆倍测日放袖范蜕维看讨贺睁散聊抠躯拆吏腻勋怎劫结贞恬抡律笔划糙挫按刀遏棒绒抠事豪弃厕室担妮悬敲实转蝇芦磨物喉否梧氟仟磐断倡脱长环庄日庐宜粒宇嚎演迎宪现搜掌泵俊皱泞孝勾袱超恃抢歌憨生罐燎锚颧承采舶桓妙窟