2017届高考理科数学第一轮课时复习习题5.doc

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课时作业(二十九)　平面向量应用举例
一、选择题
1．(2016·益阳模拟)在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足＝2，则·等于(　　)
A．2　　　B．3
C．4 D．6
解析：由题意可知，
·＝·＝·＋·＝0＋×3×3cos45°＝3。
答案：B
2．(2016·西宁模拟)已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则2sinαcosα等于(　　)
A．3 B．－3
C. D．－
解析：由a∥b得cosα＝－2sinα，所以tanα＝－。
所以2sinαcosα＝＝＝－。
答案：D
3．(2016·邵阳模拟)已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于(　　)
A．1 B．－1
C. D.
解析：由|a·b|＝|a||b|知，a∥b。
所以sin2x＝2sin2x，即2sinxcosx＝2sin2x，
而x∈(0，π)，
所以sinx＝cosx，即x＝，故tanx＝1。
答案：A
4．(2016·南昌模拟)若|a|＝2sin15°，|b|＝4cos15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是(　　)
A. B.
C．2 D.
解析：a·b＝|a||b|cos30°＝8sin15°cos15°×＝4×sin30°×＝。
答案：B
5．(2016·哈尔滨模拟)函数y＝tan的部分图象如图所示，则(＋)·＝(　　)

A．4 B．6
C．1 D．2
解析：由条件可得B(3,1)，A(2,0)，∴(＋)·＝(＋)·(－)＝2－2＝10－4＝6。
答案：B
6．(2016·安庆二模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对应的三角形的边长，若4a＋2b＋3c＝0，则cosB＝(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：由4a＋2b＋3c＝0，得
4a＋3c＝－2b＝－2b(－)＝2b＋2b，所以4a＝3c＝2b。由余弦定理得cosB＝＝＝－。
答案：A
二、填空题
7．(2016·海口模拟)若向量a＝，b＝，且a∥b，则锐角α的大小是________。
解析：因为a∥b，所以×－sinαcosα＝0，
所以sin2α＝1，又α为锐角，故α＝。
答案：
8．(2016·东北三校一模)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cosA＝acosC，S△ABC＝，则·＝__________。
解析：依题意得(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即3sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB＞0，
于是有cosA＝，sinA＝＝，
又S△ABC＝·bcsinA＝bc× ＝，
所以bc＝3，·＝bccos(π－A)＝－bccosA＝－3×＝－1。
答案：－1
9．(2016·北京模拟)已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l ，垂足为Q，且·＝0，则点P到点C的距离的最大值是__________。
解析：设P(x，y)，则Q(8，y)，
由·＝0，得
||2－||2＝0，
即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，
化简得＋＝1，所以点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且a＝4，b＝2，c＝2，点C是其右焦点。
故|PC|max＝a＋c＝4＋2＝6。
答案：6
三、解答题
10．(2016·重庆模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a＋c，b－a)，n＝(a－c，b)，且m⊥n。
(1)求角C的大小。
(2)若向量s＝(0，－1)，t＝，试求|s＋t|的取值范围。
解析：(1)由题意得m·n＝(a＋c，b－a)·(a－c，b)＝a2－c2＋b2－ab＝0，即c2＝a2＋b2－ab。由余弦定理得cosC＝＝。因为0＜C＜π，所以C＝。
(2)因为s＋t＝＝(cosA，cosB)，
所以|s＋t|2＝cos2A＋cos2B
＝cos2A＋cos2
＝－sin＋1。
因为0＜A＜，所以－＜2A－＜，
所以－＜sin≤1。
所以≤|s＋t|2＜，故≤|s＋t|＜。

11．(2016·合肥模拟)如图，A，B是单位圆上的动点，C是单位圆与x轴的正半轴的交点，且∠AOB＝，记∠COA＝θ，θ∈(0，π)，△AOC的面积为S。
(1)若f(θ)＝·＋2S，试求f(θ)的最大值以及此时θ的值。
(2)当A点坐标为时，求||2的值。
解析：(1)S＝sinθ，
＝，＝(1,0)。
则f(θ)＝·＋2S
＝cos＋sinθ
＝sin，
因为θ∈(0，π)，故θ＝时，f(θ)max＝1。
(2)依题cosθ＝－，sinθ＝，
在△BOC中，∠BOC＝θ＋。
由余弦定理得：||2＝1＋1－2×1×1×cos＝2－cosθ＋sinθ＝。
12．(2016·吉林模拟)已知点A(－1,0)，B(1,0)，动点M的轨迹曲线C满足∠AMB＝2θ，||·||cos2θ＝3，过点B的直线交曲线C于P，Q两点。
(1)求||＋||的值，并写出曲线C的方程；
(2)设直线PQ的倾斜角是，试求△APQ的面积。
解析：(1)设M(x，y)，在△MAB中，|AB|＝2，∠AMB＝2θ，根据余弦定理得||2＋||2－2||·||cos2θ＝4。
即(||＋||)2－2||·||(1＋cos2θ)＝4。
(||＋||)2－4||·||cos2θ＝4。
而||·||cos2θ＝3，
所以(||＋||)2－4×3＝4。
所以||＋||＝4。
又||＋||＝4＞2＝||，
因此点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(点M在x轴上也符合题意)，a＝2，c＝1。
所以曲线C的方程为＋＝1。
(2)由题意得直线PQ的方程为：y＝x－1。
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得
7x2－8x－8＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝－，
y1＋y2＝x1＋x2－2＝－，
y1y2＝(x1－1)(x2－1)
＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝－，
因为A(－1,0)，B(1,0)，所以|AB|＝2。
所以S△APQ＝S△ABP＋S△ABQ
＝|AB||y1|＋|AB||y2|＝|y1－y2|
＝
＝
＝。
即△APQ的面积是。
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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