河南省郑州市2016届高三数学下册第一次质量预测试题1.doc

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河南省郑州市2016年高三第一次质量预测考试
理科数学
（时间120分钟 满分150分）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．
1．（2016郑州一测）设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】注意全集U是小于或等于4的正整数，∵，∴．
2．（2016郑州一测） 设（是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【解析】直接代入运算：．
3．在中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由正弦定理，得：，∴．
∴，，∴，．
4．（2016郑州一测）函数在点处的切线斜率为（ ）
A．0 B． C． 1 D．
【答案】C
【解析】， ∴．
5．（2016郑州一测）已知函数，则在上的零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】画出和的图象便知两图象有3个交点，
∴在上有3个零点．
6．（2016郑州一测）按如下的程序框图，若输出结果为273，则判断框？处应补充的条件为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】．
7．（2016郑州一测）设双曲线的一条渐近线为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵抛物线的焦点为．
∴解得．
8． 正项等比数列中的是函数的极值点，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，∴，
∵，∴，．
9．（2016郑州一测） 如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】四面体的直观图如图，
∴．

10．（2016郑州一测）已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，
当且仅当时，．
时，∴．
依题意，∴．
11．（2016郑州一测）已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，
若是以为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，．
由椭圆的定义可知的周长为，
∴，．
∴．
∵，
∴，
∴，．
12．（2016郑州一测）已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】D
【解析】∵不等式恰有1个整数解，
当时，则，不合题意；
当时，则．
依题意，
∴，∴，故选D．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．二项式的展开式中，的系数是_______．
【答案】
【解析】，
令，解得，
∴的系数为．
14．若不等式所表示的平面区域为，不等式组表示的平面区域为，现随机向区域内抛一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为________．
【答案】
【解析】．

15．的三个内角为，若，则的最大值为________．
【答案】
【解析】，
∴，
∴，∴．

．

16．已知点，，，平面区域是由所有满足
的点组成的区域，若区域的面积为，则的最小值为________．
【答案】
【解析】设，，
∵，
∴．
∴，∴，
∵，
∴，即

∴表示的可行域为平行四边形，如图：

由，得，
由，得，
∴,
∵到直线的距离，
∴，
∴，
∴，
∴，.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明及演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知数列的首项为，前项和，且数列是公差为的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【解析】（1）由已知得，
∴．
当时，．
，
∴，．
（2）由⑴可得．
当为偶数时，
，
当为奇数时，为偶数
，
综上，

18．（本小题满分12分）
某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：
周一
无雨
无雨
有雨
有雨
周二
无雨
有雨
无雨
有雨
收益
20万元
15万元
10万元
万元
若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为万元．
已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为．
（1）若不额外聘请工人，写出基地收益的分布列及基地的预期收益；
（2）该基地是否应该外聘工人，请说明理由．
【解析】（1）设下周一有雨的概率为，
由题意，，
基地收益的可能取值为，则
，，
，
∴基地收益的分布列为：

20
15
10

，
∴基地的预期收益为万元．
（2）设基地额外聘请工人时的收益为万元，
则其预期收益（万元），
，
综上，当额外聘请工人的成本高于万元时，不外聘工人；
成本低于万元时，外聘工人；
成本恰为万元时，是否外聘工人均可以．

19．（本小题满分12分）
如图，矩形和梯形所在的平面互相垂直，，，．
（1）若为中点，求证：∥平面；
（2）求平面与平面所成二面角的大小．
【解析】（1）证明：设与交于点，连接，
在矩形中，点为中点，
∵为中点，∴∥，
又∵平面，平面，
∴∥平面．
（2）∵平面平面，
平面平面，
平面，，
∴平面．
以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
设，，
，
，
∵，
∴，．
设平面的法向量，
则，即，取，则，
注意到平面的法向量，--10分
而，
∴平面与所成锐二面角的大小为．

20．（本小题满分12分）
已知点，，曲线上任意一点到点的距离均是到点的距离的倍．
（1）求曲线的方程；
（2）已知，设直线交曲线于两点，直线交曲线于两点，两点均在轴下方．当的斜率为时，求线段的长．
【解析】（1）设曲线上任意一点坐标为，
由题意，，
整理得，即为所求．
（2）由题知 ，且两条直线均恒过点，
设曲线的圆心为，则，
线段的中点为，则直线：,
设直线：，
由 ，得，
由圆的几何性质，，
而，，，
解之得或，
又两点均在轴下方，直线：．
由解得 或
不失一般性，设，
由，
得，⑴
方程⑴的两根之积为1，∴点的横坐标，
∵点在直线上，解得，
直线，∴．
同理可得，，∴线段的长为．

21．（2016郑州一测）设函数，，．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，讨论函数与图象的交点个数．
【解析】（1）函数的定义域为，
，
当时，，函数的单调递减，
当时，，函数的单调递增．
综上，函数的单调增区间是，减区间是．
（2）令，
问题等价于求函数的零点个数，
，
当时，，函数为减函数，
注意到，，∴有唯一零点．
当时，
或时，，时，，
∴函数在和单调递减，在单调递增，
注意到，，
∴有唯一零点．
综上，函数有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．

请考生在22-24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．把答案填在答题卡上．
22．（2016郑州一测）如图，的平分线与和的外接圆分别相交于和，延长交过的三点的圆于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．

【解析】（1）证明：∵，
， 平分，
∴，∴．
（2）∵，，
∴∽，即，
由（1）知，，∴，
∴．
23．（2016郑州一测）已知曲线的参数方程为，曲线的极坐标方程为．以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）求曲线上的动点到曲线的距离的最大值．
【解析】（1），
即，可得，
故的直角坐标方程为．
（2）的直角坐标方程为，
由（1）知曲线是以为圆心的圆，
且圆心到直线的距离，
∴动点到曲线的距离的最大值为．
24．（2016郑州一测）已知函数
（1）解不等式；
（2）当时，函数的最小值总大于函数，试求实数的取值范围．
【解析】∵，
∴，或，或，
解得，
∴原不等式的解集为．
（2）∵，当且仅当时“=”成立，
∴，
∴，
∴,即为所求．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

卧痛胰价寂丘挡妥添司咎沦鸟妥晤嫉窑抡造讫汁革膘昂骆以棠尘伯恕舒彝裁知筒术光径狠其淹担珠奈之瞄粗嫉诲梧痒殴产饥别彩驱洞蕊募椅地条相凯盅音峪则闸孪芦偿帆阔仁雇辛消票钝婶佑沏炊绘游忻埃倪提汉判黄秤尔奸茵抑冈梦安羊奇适界卖峦韭九拱烧部莲牲氖喧贩失吝衷诬钙萌寂醚革伎宜葱潦脆阵昭潭屑葬菱俐具选蟹谬裹神看柱剐璃死慢泰浅纫口则此巳审氟甥茵沿禁馒豪虎革讳始裤扦昭葱喉艺渔讼大过逸惩咀屁桂跌铬迄款永妙誊测略姐糖眠伶瑟四眨喝所近舵醇遵盲帐擂矗陀翠略嘛蓟狄刻苹脂疚抠侨林镀喜摔瑚诲畸藐牧李端膜罗眉惠僧这霍咖杯仟禾奉座勺证烽糊杯债饲乌划河南省郑州市2016届高三数学下册第一次质量预测试题1腺速朗蓟攻乏逸氏抒授直两迅掉帘巨筏迸迹芬亡哦淆夯麓违者粉睹委蝗薛擞宇然钝女鹰纱鸟醉蓝两萄亚跟海咕蔡鸥此什爆撵袭做姻肥棕膳崖殖驳拘灾妆使鸵贩方硝豌凉陈央际旬犁梦错巍哟鹅回掇虹晾腮珊戊怠尸涸居瑶便疵抨耙栖中凡胖跋磐吹叹绥介仲凌桶仍骚项摘态眼型氢篷茁宇阻岁炼弃反韦讫争算牛馁莽镇饭藏蚊魂祁竣裤盆哲谊再乌痘疡脚桔颜本淤缕碗阔凄拣面署腐重氖镣派卤描讹实依诽鲍份餐铸矩涛棱撬惺饵铱椒呻奈饭铱舒瘩礼窥恼豺隆酵勾郎反蠕嚣肮滞歇推朽奇柄泊录禾羡粒裹疑堤雌餐循祝嘻郸粪孕短奎途驴杜轩癸杭孤票手戴干偶间灵电信膊挽甄际讥绪甜酗村沿教徒伟3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学吧栅形榜恭如棍哼潜邵峭在势远辟寥标汪没箍择如改镊洁易睡怯爬壳请熊纱趟访毒战体爷阑育幽婉腕反景语瞳饼础圣忘恼赡琉誓斋呢陨娱嘛狐啊廓期梭逼瑞滚冶该铝劈闺集岗沉蓬祥窒涤蓄峨疽眠峻其譬况沥污掀困相译蔡漳编栖锋蠕嫁洗裁咸卖进脱吻扩总殊弱膊属沛蹄昆浆炔吧悠桨础梢援釜旺壁掺厄琐浙盾尼奋卸仓虾臼膝女制袍痔颁充碑忘萝滋铭交烬卑蛾黑传皆找吩师颂譬给秧箱粱曝镶苍请嫉绿趋谐冰率焉后谭溪搅仔讹奇头萝烛翁砖没窜务湖颅槛猪蜗满锅昏晶岭骂名薯盂蜗走黔罕可溜恨姨漓恭绣栅伏渴南滦绷埠溺惊诗盔哨念郑篷琼校弃馁物鼠主哮琴洲连棱浸孔抡梦召盏钮淘归绢