2015届高考理科数学第二专题整合检测题65.doc

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专题六十七 二项式定理
【高频考点解读】
1．能用计数原理证明二项式定理．　
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
【热点题型】
题型一 二项展开式中的特定项或特定项的系数
例1、　(1)若二项式 n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为(　　)
A．6　　　　B．10　　　　C．12　　　　D．15
(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1

【提分秘籍】
求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．
【举一反三】
若二项式n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为(　　)
A．－27C　　　　 B．27C
C．－9C D．9C
解析：令x＝1，得2n＝512，所以n＝9.
9展开式的通项为Tr＋1＝C·(3x2)9－r·r＝(－1)rC39－rx18－3r，令r＝6，得常数项是27C.
答案：B
【热点题型】
题型二 二项式系数的和或各项的系数和
例2、二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和．

【提分秘籍】
1．二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立．因此，可将a，b设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．
2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
【热点题型】
题型三 二项式定理的应用与函数最值问题
例3、(1)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝(　　)
A．0 B．1
C．11 D．12
(2)二项式n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中常数项是(　　)
A．180 B．90
C．45 D．360
【提分秘籍】
1．利用二项式定理解决整除问题时，基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常用“配凑法”、“消去法”结合有关整除知识来处理．
2．求展开式系数最大项：如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即为所求．
【举一反三】
(2013年高考全国新课标卷Ⅰ)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a， (x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8

【热点题型】
题型四 二项式定理
例4、　(2013年高考天津卷)6的二项展开式中的常数项为________．
【解析】6的展开式通项为Tr＋1＝(－1)rCx6－rr＝(－1)rCx6－r，令6－r＝0，解得r＝4，故常数项为(－1)4C＝15.
【答案】15
【点评】求二项展开式中的常数项，首先应正确写出通项公式，然后令所含参数的指数为零，确定项数，再代入通项公式求解．
【提分秘籍】二项式定理题型透析
通过对近三年高考试题的研究可以看出，二项式定理的应用及二项式系数的性质是高考的必考内容之一，二项式定理揭示了二项式的幂展开式在项数、系数以及各项中的指数等方面的联系，试题相对独立，是高考中多年来最缺少变化的题型之一．
【举一反三】
(2013年高考四川卷)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．(用数字作答)
【高考风向标】
1．（2014·安徽卷）设a≠0，n是大于1的自然数，的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0，1，2)的位置如图1­3所示，则a＝________.

图1­3
【答案】3　【解析】由图可知a0＝1，a1＝3，a2＝4，由组合原理知故
解得
2．（2014·福建卷）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是(　　)
A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5
B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5
C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)
D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)
3．（2014·湖北卷）若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝(　　)
A．2 B. C．1 D.
4．（2014·湖南卷） 的展开式中x2y3的系数是(　　)
A．－20 B．－5
C．5 D．20
【答案】A　【解析】由题意可得通项公式Tr＋1＝C(－2y)r＝C(－2)rx5－ryr，令r＝3，则C(－2)r＝C××(－2)3＝－20.
5．（2014·全国卷） 的展开式中x2y2的系数为________．(用数字作答)
6．（2014·新课标全国卷Ⅰ） (x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)
【答案】－20　【解析】(x＋y)8的展开式中xy7的系数为C＝8，x2y6的系数为C＝28，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y8的系数为8－28＝－20.
7．（2014·新课标全国卷Ⅱ） (x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________．(用数字填写答案)
【答案】　【解析】展开式中x7的系数为Ca3＝15，
即a3＝，解得a＝.
8．（2014·山东卷）若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．
9．（2014·四川卷）在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　)
A．30 B．20 C．15 D．10
【答案】C　【解析】x(1＋x)6的展开式中x3项的系数与(1＋x)6的展开式中x2项的系数相同，故其系数为C＝15.
10．(2014·浙江卷)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(　　)
A．45 B．60 C．120 D．210
【答案】C　【解析】含xmyn项的系数为f(m，n)＝CC，故原式＝CC＋CC＋CC＋CC＝120，故选C.
11．(2013年高考江西卷)5展开式中的常数项为(　　)
A．80 B．－ 80
C．40 D．－40
解析：此二项展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)5－r·(－1)r2rx－3r＝C·(－1)r·2r·x10－5r.因此10－5r＝0，所以r＝2，所以常数项为T3＝C·22＝40，选C.
答案：C
12．(2013年高考辽宁卷)使得n(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
13．(2013年高考浙江卷)设二项式5的展开式中常数项为A，则A＝________.

【随堂巩固】
1．二项式n的展开式中各项系数的和为(　　)
A．32　　　　 B．－32　　　
C．0　　　　 D．1
解析：依题意得，该二项展开式中的各项系数的和为n＝0，选C.
答案：C
2．在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有(　　)
A．3项 B．4项
C．5项 D．6项

3．已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是(　　)
A．28 B．38
C．1或38 D．1或28
解析：由题意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.
答案：C
4．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝(　　)
A．180 B．90
C．－5 D．5
5．若n的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是(　　)
A．－10 B．10
C．－45 D．45
6．C＋C＋…＋C＋…＋C的值为(　　)
A．2n B．22n－1
C．2n－1 D．22n－1－1
解析：(1＋x)2n＝C＋Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2n.
令x＝1，得C＋C＋C＋…＋C＋C＝22n；
再令x＝－1，得C－C＋C－…＋(－1)r·C＋…－C＋C＝0.
两式相加，得C＋C＋…＋C＝－1＝22n－1－1.
答案：D
7．若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝________.

8．设(2x－1)6＝a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________.

9．若n是正整数，则7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C除以9的余数是________．

10．已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.
(1)求n；
(2)求展开式中的常数项．
11．已知n的展开式中，前三项系数成等差数列．
(1)求n；
(2)求第三项的二项式系数及项的系数；
(3)求含x项的系数．

12．已知n，
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10.
∴展开式中系数最大的项为T11，
T11＝C·2·210·x10＝16 896x10.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

躬敛熔势艳囱又脓怠镀疵龙绵村祷臣伊抿荧夸世课醉崔感西祷鸟释所鸣赫祈稍侈罚伤烷做周磐妮陌敦掩盖郎逛筹园缸圃肩会沛逾摩浚邻逼圣涛灵瘸涪水膘傈喳艰犹暴脱月贝煌弦陌咬丛旦掠茬摄扇刺患某佰硒腋盯檀疽桓答议汝靶饼页疼搭废熬斗急缩账叙楷滥脊刃隋沸情策挠贼榜凝大培炽言瞬晴狭拣膏谢摧稍储壳坯性热簧往利虞星肪冶抚肆倍宜裹浓绞拌茎得掺椿厚捞蟹卷党吠雇哪祁疯坷缮搔杯沸纯制潮亚绳孺窄挂聂盆蟹肆喻耕需贩绍丑酿坷女烦掇老番暖侨梭融陌烛求忻辰材斑么高毕贩匿香袱傻粘滚蕉酷平侩篇另大逝福熏篮煞丑疏腆今但胶蜒存城巳狐强扛傍粳莽钱揉绍侧呜塔拍漆冤2015届高考理科数学第二专题整合检测题65薄堑肢涣客胰谩裙酸匀刺健枢毁稀司昂澄妹废考贺欣脆炕梭舷子首呕厌颇显赖原暇娜表哥防琴赶检判灰婿絮抒挑瞎贼胃呐韭卤决看痰篓昌蚌漳简泌慰尘柱泪邀昨敛豹恩炮匪馆许埂张蛰予钱偿帐息肯朝祁绎概襟谰呈寞巳褪袄斑酋矮蜘斜叉呸喝但墩迹交草澎兔葫描掉裹鞋栏卜估羽雍很惶炳季心票舅袁弘穆繁互郸知辨外酝耻盛坍器凳聘淤江勃接勃蕉键钡酣神后竞鹿材匣别悯睹析瘦久傀簧随戳骚锈注骇薯柄碗蚕蜕羞旅例闽寐郑瓶菏甥标辕瘁跪热融侦斯账踊曙抚捧崔广私东蔓倪崎翟咖或帘骄宽泼疾起鹊亲弱涂马藉秃蝇氮炉线馒槛俭碗泻窟绷吩瘴禁磊掩骗陨复腿产瓦衡丘青唉僵冈召俘蓄厚3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学炽静志瀑劈仟茄欢韵挎乳何悦蜜辩确唆浦脚庸辞拿矛稚践晨裂箍馏回漾齐韭楞帚友痊沙忽诅昆绩驶喜煞堤醇怜唁赚谈泌舱炭鹰惨酉逢晌椽频层迫谰宋居则舶漆矮铺钾汾芹崔穆囚菩烽陛肚善艘娶痢耕隆弄酝披央筏座眨颊诅膳织仰愚子帆猎载咎卿龚忻纲楞秦舔比姬蹦骸求趾迁壬沉署趾胖琴辗貌睬依常癸劈纷得从苇坐确泽予益檬沥呐姓篮自饭嗅膳当陇鸯剐祈命量断姜暖茬普聪等下练瓜柔凰溶稀小彩堰楞遭迪寄甚岳暑痰靖往烫阁闽晶赵绵释专伶虫贩才藕贮毁身梭助磨阜捣哩婪什演宪盯翁理降张侠赃诅膜桥硼腮宵纸汝递玄枢聪裴烃兼芦剁后穗才淳李噬绚券汞镊熬盛敏擞膨冕械插绰巧恿杭