双曲型方程的差分方法I市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

1第三章第三章 双曲型方程定解问题双曲型方程定解问题 有限差分法有限差分法3.1 一阶线性常系数双曲型方程一阶线性常系数双曲型方程3.2 一阶线性常系数双曲型方程组一阶线性常系数双曲型方程组3.3 变系数双曲型方程及方程组变系数双曲型方程及方程组第1页2双曲型方程初值问题双曲型方程初值问题一阶偏微分方程隶属于双曲型微分方程一阶偏微分方程隶属于双曲型微分方程比如比如波动方程波动方程:二阶线性微分方程是双曲型微分方程二阶线性微分方程是双曲型微分方程第2页3u定义在定义在xt平面上一个平面上一个区域区域内内.(一一)一一阶线性常阶线性常系数双曲型方程系数双曲型方程下面考查方程解下面考查方程解u在定义域内在定义域内直线直线x=at+C上改变规律上改变规律.解解u在在直线直线x=at+C上等于常数上等于常数.第3页4解解u在直线在直线x=at+C上等于常数上等于常数任意在任意在xt平面上方程定义域内取点平面上方程定义域内取点在此点做在此点做特征线特征线x=at+C,那么那么与与t=0交于点交于点-特征线特征线由点由点任意性任意性,可知可知解解u在在直线直线x=at+C上等于常数上等于常数.第4页51.迎格调式迎格调式关于空间偏导数用在特征线方向一个单边差商来关于空间偏导数用在特征线方向一个单边差商来代替。代替。第5页6第6页7条件稳定条件稳定条件满足条件满足第7页8条件稳定条件稳定第8页9绝对不稳定绝对不稳定绝对不稳定绝对不稳定同理同理第9页10绝对不稳定绝对不稳定课堂练习课堂练习证实：证实：第10页11差分格式与微分方程特征线走向一致，条件稳定。差分格式与微分方程特征线走向一致，条件稳定。所用网格点所用网格点第11页12迎格调式统一形式迎格调式统一形式第12页132 Lax-Friedrichs格式格式第13页14绝对不稳定绝对不稳定第14页15则则稳定稳定第15页16Lax-Friedrichs格式能够不考虑特征线走向，格式能够不考虑特征线走向，但截断误差比迎格调式截断误差大。但截断误差比迎格调式截断误差大。第16页173.Lax-Wendroff格式（格式（2阶精度）阶精度）第17页18第18页19左偏心格式左偏心格式P点数值解依赖于点数值解依赖于DC内节点上函数值内节点上函数值-依赖区域依赖区域4.Courant-Friedrichs-Lewy条件（条件（C.F.L条件）条件）第19页20P点数值解依赖于点数值解依赖于DC内节点上函数值内节点上函数值-依赖区域依赖区域点点 微分方程解依赖区域微分方程解依赖区域应在差分方程依赖区域应在差分方程依赖区域DC内内,不然解不收敛不然解不收敛.即差分即差分格式依赖区域应该包含微分方程解依赖区域格式依赖区域应该包含微分方程解依赖区域 微分方程微分方程解解C.F.L条件条件,第20页21不收敛不收敛第21页22微分方程解依赖区域不属于差分方程解依赖区域分方程解依赖区域不属于差分方程解依赖区域右偏心格式右偏心格式C.F.L条件条件第22页23Lax-Wendroff格式格式C.F.L条件条件第23页24C.F.L条件条件差分格式依赖区域差分格式依赖区域包含包含微分方程依赖区域微分方程依赖区域CFL是格式收敛必要条件是格式收敛必要条件.第24页25第25页26不稳定，不稳定，C.F.L条件下不收敛条件下不收敛C.F.L条件仍为条件仍为第26页27课堂练习课堂练习1.试给出一阶双曲型方程左偏心格式、右偏试给出一阶双曲型方程左偏心格式、右偏心格式、中心差分格式心格式、中心差分格式C.F.L条件。条件。第27页285.利用偏微分方程特征线来结构有限差分格式利用偏微分方程特征线来结构有限差分格式（两点式），第28页29第29页30设设A,B,C处值已知，下面来确定点处值已知，下面来确定点P处值处值u(P)第30页311.由由B、C线性插值求线性插值求u(Q)2.由由B、D线性插值求线性插值求u(Q)3.由由B、C、D二次插值求二次插值求u(Q)过过P做特征线做特征线第31页32B，C点插值点插值第32页33B，D点插值点插值第33页34B，C,D点插值点插值第34页35Lax-Wendroff格式格式第35页366.蛙跳格式蛙跳格式第36页37P33定理3.7详见详见p53第37页38第38页39第39页40作业作业P802.直接证实求解直接证实求解 Lax-Wendroff格式是二阶精度格式。格式是二阶精度格式。第40页